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11.已知实数$x,y$满足$|2x - y + 1| + 2\sqrt{3x - 2y + 4} = 0$，求代数式$1 - \dfrac{x - y}{x - 2y} ÷ \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 - 4xy + 4y^2}$的值。
答案
11.解:原式=$1-\frac{x-y}{x-2y}·\frac{(x-2y)^2}{(x+y)(x-y)}$
=$1-\frac{x-2y}{x+y}=\frac{x+y}{x+y}-\frac{x-2y}{x+y}=\frac{3y}{x+y}$.
$\because |2x-y+1|+2\sqrt{3x-2y+4}=0$,
$\therefore \begin{cases}2x-y+1=0,\\3x-2y+4=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2,\\y=5.\end{cases}$
$\therefore$原式=$\frac{3×5}{2+5}=\frac{15}{7}$.
=$1-\frac{x-2y}{x+y}=\frac{x+y}{x+y}-\frac{x-2y}{x+y}=\frac{3y}{x+y}$.
$\because |2x-y+1|+2\sqrt{3x-2y+4}=0$,
$\therefore \begin{cases}2x-y+1=0,\\3x-2y+4=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2,\\y=5.\end{cases}$
$\therefore$原式=$\frac{3×5}{2+5}=\frac{15}{7}$.
解析
【分析】
本题分三步求解：第一步先化简待求代数式，按照分式混合运算顺序，先将除法转化为乘法，再对分子分母因式分解后约分，最后计算减法得到最简形式，能避免后续代入计算的繁琐；第二步利用非负数的性质列方程组求x、y的值，绝对值和算术平方根都是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此可列出二元一次方程组；第三步将求得的x、y代入化简后的代数式计算结果即可。
【解析】
步骤1：化简代数式
$1 - \dfrac{x - y}{x - 2y} ÷ \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 - 4xy + 4y^2}$
首先将除法转化为乘法，同时对分子分母因式分解：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，$x^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2$，得：
$=1-\frac{x-y}{x-2y}·\frac{(x-2y)^2}{(x+y)(x-y)}$
约去公因式$(x-y)$和$(x-2y)$得：
$=1-\frac{x-2y}{x+y}$
通分后计算减法：
$=\frac{x+y}{x+y}-\frac{x-2y}{x+y}=\frac{x+y-(x-2y)}{x+y}=\frac{3y}{x+y}$
步骤2：利用非负性列方程组求x、y
$\because |2x - y + 1| ≥ 0$，$\sqrt{3x - 2y + 4} ≥ 0$，且$|2x - y + 1| + 2\sqrt{3x - 2y + 4} = 0$
$\therefore$可得方程组：$\begin{cases}2x-y+1=0 \\ 3x-2y+4=0 \end{cases}$
解方程组：由第一个方程得$y=2x+1$，代入第二个方程得$3x-2(2x+1)+4=0$，化简得$-x+2=0$，解得$x=2$，将$x=2$代入$y=2x+1$得$y=5$，即$\begin{cases}x=2 \\ y=5 \end{cases}$
步骤3：代入化简后的式子求值
将$x=2,y=5$代入$\frac{3y}{x+y}$得：
原式$=\frac{3×5}{2+5}=\frac{15}{7}$
【答案】
$\dfrac{15}{7}$
【知识点】
非负数的性质；分式的混合运算；二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于代数综合基础题，解题核心是先化简代数式再代入求值，可大幅降低计算出错的概率；需要熟练掌握绝对值、算术平方根的非负性，以及分式运算中的因式分解、约分、通分规则，求解二元一次方程组时注意计算准确性即可。
【难度系数】
0.65
本题分三步求解：第一步先化简待求代数式，按照分式混合运算顺序，先将除法转化为乘法，再对分子分母因式分解后约分，最后计算减法得到最简形式，能避免后续代入计算的繁琐；第二步利用非负数的性质列方程组求x、y的值，绝对值和算术平方根都是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此可列出二元一次方程组；第三步将求得的x、y代入化简后的代数式计算结果即可。
【解析】
步骤1：化简代数式
$1 - \dfrac{x - y}{x - 2y} ÷ \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 - 4xy + 4y^2}$
首先将除法转化为乘法，同时对分子分母因式分解：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，$x^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2$，得：
$=1-\frac{x-y}{x-2y}·\frac{(x-2y)^2}{(x+y)(x-y)}$
约去公因式$(x-y)$和$(x-2y)$得：
$=1-\frac{x-2y}{x+y}$
通分后计算减法：
$=\frac{x+y}{x+y}-\frac{x-2y}{x+y}=\frac{x+y-(x-2y)}{x+y}=\frac{3y}{x+y}$
步骤2：利用非负性列方程组求x、y
$\because |2x - y + 1| ≥ 0$，$\sqrt{3x - 2y + 4} ≥ 0$，且$|2x - y + 1| + 2\sqrt{3x - 2y + 4} = 0$
$\therefore$可得方程组：$\begin{cases}2x-y+1=0 \\ 3x-2y+4=0 \end{cases}$
解方程组：由第一个方程得$y=2x+1$，代入第二个方程得$3x-2(2x+1)+4=0$，化简得$-x+2=0$，解得$x=2$，将$x=2$代入$y=2x+1$得$y=5$，即$\begin{cases}x=2 \\ y=5 \end{cases}$
步骤3：代入化简后的式子求值
将$x=2,y=5$代入$\frac{3y}{x+y}$得：
原式$=\frac{3×5}{2+5}=\frac{15}{7}$
【答案】
$\dfrac{15}{7}$
【知识点】
非负数的性质；分式的混合运算；二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于代数综合基础题，解题核心是先化简代数式再代入求值，可大幅降低计算出错的概率；需要熟练掌握绝对值、算术平方根的非负性，以及分式运算中的因式分解、约分、通分规则，求解二元一次方程组时注意计算准确性即可。
【难度系数】
0.65
12.先化简：$\frac{a^2 - 3a}{a^2 - 6a + 9} + \frac{2}{3 - a} ÷ \frac{a - 2}{a^2 - 9}$，再在2,3,-3,4这四个数中选一个合适的数作为a的值代入求值.
答案
12.解:原式=$\frac{a(a-3)}{(a-3)^2}-\frac{2}{a-3}·\frac{(a+3)(a-3)}{a-2}$
=$\frac{a}{a-3}-\frac{2(a+3)}{a-2}$
=$\frac{a(a-2)}{(a-3)(a-2)}-\frac{2(a+3)(a-3)}{(a-3)(a-2)}$
=$\frac{a^2-2a-2a^2+18}{(a-3)(a-2)}=\frac{-a^2-2a+18}{a^2-5a+6}$.
$\because a≠±3$且$a≠2$,
$\therefore a=4$,
$\therefore$原式=$\frac{-4^2-2×4+18}{4^2-5×4+6}=-3$.
=$\frac{a}{a-3}-\frac{2(a+3)}{a-2}$
=$\frac{a(a-2)}{(a-3)(a-2)}-\frac{2(a+3)(a-3)}{(a-3)(a-2)}$
=$\frac{a^2-2a-2a^2+18}{(a-3)(a-2)}=\frac{-a^2-2a+18}{a^2-5a+6}$.
$\because a≠±3$且$a≠2$,
$\therefore a=4$,
$\therefore$原式=$\frac{-4^2-2×4+18}{4^2-5×4+6}=-3$.
解析
【分析】
本题考查分式的化简求值，解题思路如下：1. 明确分式混合运算顺序：先算乘除，后算加减；2. 先对各分式的分子、分母因式分解，同时将除法运算转化为乘法运算，再约分；3. 对约分后的分式通分，计算加减得到最简结果；4. 先根据分式有意义的条件（分母不为0、除式不为0）筛选出符合要求的a值，再代入最简式计算结果。
【解析】
解：先对原式因式分解，同时将除法转化为乘法：
原式=$\frac{a(a-3)}{(a-3)^2}-\frac{2}{a-3}·\frac{(a+3)(a-3)}{a-2}$
约分后得：
=$\frac{a}{a-3}-\frac{2(a+3)}{a-2}$
取公分母$(a-3)(a-2)$通分计算：
=$\frac{a(a-2)}{(a-3)(a-2)}-\frac{2(a+3)(a-3)}{(a-3)(a-2)}$
=$\frac{a^2-2a-2a^2+18}{(a-3)(a-2)}=\frac{-a^2-2a+18}{a^2-5a+6}$
根据分式有意义的条件，得$a≠±3$且$a≠2$，因此可选$a=4$代入：
原式=$\frac{-4^2-2×4+18}{4^2-5×4+6}=\frac{-16-8+18}{16-20+6}=-3$
【答案】
化简结果为$\frac{-a^2-2a+18}{a^2-5a+6}$，代入$a=4$得值为$-3$
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，代数式求值
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，运算中要注意符号变化，如将$\frac{2}{3-a}$变形为$-\frac{2}{a-3}$时不要漏负号；选取代入值时，必须保证原式所有分母、除式的分母都不为0，不能仅验证化简后式子的分母。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的化简求值，解题思路如下：1. 明确分式混合运算顺序：先算乘除，后算加减；2. 先对各分式的分子、分母因式分解，同时将除法运算转化为乘法运算，再约分；3. 对约分后的分式通分，计算加减得到最简结果；4. 先根据分式有意义的条件（分母不为0、除式不为0）筛选出符合要求的a值，再代入最简式计算结果。
【解析】
解：先对原式因式分解，同时将除法转化为乘法：
原式=$\frac{a(a-3)}{(a-3)^2}-\frac{2}{a-3}·\frac{(a+3)(a-3)}{a-2}$
约分后得：
=$\frac{a}{a-3}-\frac{2(a+3)}{a-2}$
取公分母$(a-3)(a-2)$通分计算：
=$\frac{a(a-2)}{(a-3)(a-2)}-\frac{2(a+3)(a-3)}{(a-3)(a-2)}$
=$\frac{a^2-2a-2a^2+18}{(a-3)(a-2)}=\frac{-a^2-2a+18}{a^2-5a+6}$
根据分式有意义的条件，得$a≠±3$且$a≠2$，因此可选$a=4$代入：
原式=$\frac{-4^2-2×4+18}{4^2-5×4+6}=\frac{-16-8+18}{16-20+6}=-3$
【答案】
化简结果为$\frac{-a^2-2a+18}{a^2-5a+6}$，代入$a=4$得值为$-3$
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，代数式求值
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，运算中要注意符号变化，如将$\frac{2}{3-a}$变形为$-\frac{2}{a-3}$时不要漏负号；选取代入值时，必须保证原式所有分母、除式的分母都不为0，不能仅验证化简后式子的分母。
【难度系数】
0.7
