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1.已知$a+b=5$，$ab=3$，则$\frac{b}{a+1}+\frac{a}{b+1}$的值为(
A.2
B.$\frac{8}{3}$
C.4
D.$\frac{34}{9}$
B
).A.2
B.$\frac{8}{3}$
C.4
D.$\frac{34}{9}$
答案
1.B
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，已知a+b和ab的整体数值，无需单独求解a、b的具体值。解题思路为：先对所求的两个分式进行通分，再分别展开、化简分子和分母，将其转化为含有a+b和ab的代数式，最后整体代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
先对原式通分，公分母为$(a+1)(b+1)$：
$\frac{b}{a+1}+\frac{a}{b+1}=\frac{b(b+1)+a(a+1)}{(a+1)(b+1)}$
1. 化简分子：
$b(b+1)+a(a+1)=b^2 + b + a^2 + a=(a^2+b^2)+(a+b)$
根据完全平方公式变形得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入$a+b=5$，$ab=3$：
$a^2+b^2=5^2 - 2×3=25-6=19$
因此分子$=19 + 5=24$
2. 化简分母：
$(a+1)(b+1)=ab + a + b + 1=ab+(a+b)+1$
代入$a+b=5$，$ab=3$：
分母$=3 + 5 + 1=9$
3. 计算结果：
原式$=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}$
【答案】
B
【知识点】
分式化简求值，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题侧重考查整体代入思想在代数式求值中的应用，解题关键是将所求代数式转化为用已知整体量表示的形式，无需计算单个未知数的值，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，已知a+b和ab的整体数值，无需单独求解a、b的具体值。解题思路为：先对所求的两个分式进行通分，再分别展开、化简分子和分母，将其转化为含有a+b和ab的代数式，最后整体代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
先对原式通分，公分母为$(a+1)(b+1)$：
$\frac{b}{a+1}+\frac{a}{b+1}=\frac{b(b+1)+a(a+1)}{(a+1)(b+1)}$
1. 化简分子：
$b(b+1)+a(a+1)=b^2 + b + a^2 + a=(a^2+b^2)+(a+b)$
根据完全平方公式变形得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入$a+b=5$，$ab=3$：
$a^2+b^2=5^2 - 2×3=25-6=19$
因此分子$=19 + 5=24$
2. 化简分母：
$(a+1)(b+1)=ab + a + b + 1=ab+(a+b)+1$
代入$a+b=5$，$ab=3$：
分母$=3 + 5 + 1=9$
3. 计算结果：
原式$=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}$
【答案】
B
【知识点】
分式化简求值，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题侧重考查整体代入思想在代数式求值中的应用，解题关键是将所求代数式转化为用已知整体量表示的形式，无需计算单个未知数的值，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
2.若$|a|=3$，则$(1-\dfrac{1}{a-2})÷\dfrac{a-3}{a^2-4}$的值为(
A.5
B.-1
C.5或-1
D.0
B
).A.5
B.-1
C.5或-1
D.0
答案
2.B
【提示】原式=$\frac{a-3}{a-2}·\frac{(a+2)(a-2)}{a-3}=a+2$.
$\because |a|=3,a≠±2$且$a≠3$,
$\therefore a=-3$.
$\therefore$原式=$-3+2=-1$.
【提示】原式=$\frac{a-3}{a-2}·\frac{(a+2)(a-2)}{a-3}=a+2$.
$\because |a|=3,a≠±2$且$a≠3$,
$\therefore a=-3$.
$\therefore$原式=$-3+2=-1$.
解析
【分析】
这是分式化简求值与绝对值性质结合的题型，解题思路可分为三步：①先化简给定的分式，先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分得到最简结果；②结合分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0），筛选出满足$|a|=3$的合法$a$值；③将合法的$a$值代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
1. 化简原式：
先计算括号内的部分：
$1-\dfrac{1}{a-2}=\dfrac{a-2}{a-2}-\dfrac{1}{a-2}=\dfrac{a-3}{a-2}$
再将除法转化为乘法，同时对$a^2-4$因式分解得$a^2-4=(a+2)(a-2)$，因此：
原式$=\dfrac{a-3}{a-2}÷\dfrac{a-3}{(a+2)(a-2)}=\dfrac{a-3}{a-2}×\dfrac{(a+2)(a-2)}{a-3}$
约分后得最简式：原式$=a+2$
2. 确定$a$的合法取值：
要使分式有意义，需满足所有分母、除数不为0，即：
$a-2≠0$，$a^2-4≠0$，$a-3≠0$，解得$a≠\pm2$且$a≠3$
已知$|a|=3$，因此$a=3$或$a=-3$，排除$a=3$，得$a=-3$
3. 代入计算：
将$a=-3$代入最简式$a+2$，得结果为$-3+2=-1$
【答案】
B
【知识点】
分式化简求值；绝对值的性质；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式化简的典型综合题，易错点是容易忽略分式有意义的隐含限制，错误代入$a=3$得到错解，解题时需先确定字母的取值范围，再代入求值。
【难度系数】
0.6
这是分式化简求值与绝对值性质结合的题型，解题思路可分为三步：①先化简给定的分式，先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分得到最简结果；②结合分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0），筛选出满足$|a|=3$的合法$a$值；③将合法的$a$值代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
1. 化简原式：
先计算括号内的部分：
$1-\dfrac{1}{a-2}=\dfrac{a-2}{a-2}-\dfrac{1}{a-2}=\dfrac{a-3}{a-2}$
再将除法转化为乘法，同时对$a^2-4$因式分解得$a^2-4=(a+2)(a-2)$，因此：
原式$=\dfrac{a-3}{a-2}÷\dfrac{a-3}{(a+2)(a-2)}=\dfrac{a-3}{a-2}×\dfrac{(a+2)(a-2)}{a-3}$
约分后得最简式：原式$=a+2$
2. 确定$a$的合法取值：
要使分式有意义，需满足所有分母、除数不为0，即：
$a-2≠0$，$a^2-4≠0$，$a-3≠0$，解得$a≠\pm2$且$a≠3$
已知$|a|=3$，因此$a=3$或$a=-3$，排除$a=3$，得$a=-3$
3. 代入计算：
将$a=-3$代入最简式$a+2$，得结果为$-3+2=-1$
【答案】
B
【知识点】
分式化简求值；绝对值的性质；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式化简的典型综合题，易错点是容易忽略分式有意义的隐含限制，错误代入$a=3$得到错解，解题时需先确定字母的取值范围，再代入求值。
【难度系数】
0.6
3.计算：$\frac{1}{2x} - \frac{1}{x+y}( \frac{x+y}{2x} - x - y ) =$
$1$
答案
3.1
解析
【分析】
首先观察算式结构，属于分式的混合运算，括号内的式子含有与括号外相同的因式$(x+y)$，可以优先运用乘法分配律去括号，简化计算，避免先计算括号内带来的复杂通分。去括号时要注意括号前是负号，括号内各项都要变号，再对各项约分后合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：利用乘法分配律去括号计算
$\begin{aligned}原式 &= \frac{1}{2x} - \frac{1}{x+y}·\frac{x+y}{2x} + \frac{1}{x+y}·(x+y) \\&= \frac{1}{2x} - \frac{1}{2x} + 1 \\&= 1\end{aligned}$
也可先提取括号内公因式$(x+y)$再计算：
$\begin{aligned}原式 &= \frac{1}{2x} - \frac{1}{x+y}[ \frac{x+y}{2x} - (x+y) ] \\&= \frac{1}{2x} - \frac{1}{x+y}· (x+y)( \frac{1}{2x} -1 ) \\&= \frac{1}{2x} - ( \frac{1}{2x} - 1 ) \\&= 1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
分式混合运算；乘法分配律；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题时优先观察式子结构，合理选择运算律可以大幅简化计算过程，需要注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
首先观察算式结构，属于分式的混合运算，括号内的式子含有与括号外相同的因式$(x+y)$，可以优先运用乘法分配律去括号，简化计算，避免先计算括号内带来的复杂通分。去括号时要注意括号前是负号，括号内各项都要变号，再对各项约分后合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：利用乘法分配律去括号计算
$\begin{aligned}原式 &= \frac{1}{2x} - \frac{1}{x+y}·\frac{x+y}{2x} + \frac{1}{x+y}·(x+y) \\&= \frac{1}{2x} - \frac{1}{2x} + 1 \\&= 1\end{aligned}$
也可先提取括号内公因式$(x+y)$再计算：
$\begin{aligned}原式 &= \frac{1}{2x} - \frac{1}{x+y}[ \frac{x+y}{2x} - (x+y) ] \\&= \frac{1}{2x} - \frac{1}{x+y}· (x+y)( \frac{1}{2x} -1 ) \\&= \frac{1}{2x} - ( \frac{1}{2x} - 1 ) \\&= 1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
分式混合运算；乘法分配律；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题时优先观察式子结构，合理选择运算律可以大幅简化计算过程，需要注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
4.若$a＞0＞b＞c$，$a+b+c=1$，$M=\dfrac{b+c}{a}$，$N=\dfrac{a+c}{b}$，$P=\dfrac{a+b}{c}$，则$M$，$N$，$P$的大小关系是
$N＜P＜M$
。答案
4.$N＜P＜M$
【提示】$M+1=\frac{a+b+c}{a}=\frac{1}{a}$,
$N+1=\frac{a+b+c}{b}=\frac{1}{b},P+1=\frac{a+b+c}{c}=\frac{1}{c}$.
$\because a＞0＞b＞c$,
$\therefore \frac{1}{b}＜\frac{1}{c}＜\frac{1}{a}$.
$\therefore N＜P＜M$.
【提示】$M+1=\frac{a+b+c}{a}=\frac{1}{a}$,
$N+1=\frac{a+b+c}{b}=\frac{1}{b},P+1=\frac{a+b+c}{c}=\frac{1}{c}$.
$\because a＞0＞b＞c$,
$\therefore \frac{1}{b}＜\frac{1}{c}＜\frac{1}{a}$.
$\therefore N＜P＜M$.
解析
【分析】
要比较M、N、P的大小，直接作差或通分比较复杂度较高，观察M、N、P的分子分别为b+c、a+c、a+b，结合已知条件a+b+c=1，可尝试对M、N、P分别加1变形，凑出分子为a+b+c的形式，将原式转化为倒数的大小比较，再结合已知a、b、c的正负和大小关系、不等式性质即可推出结果。
【解析】
已知$a+b+c=1$，对三个式子分别变形：
$M+1=\dfrac{b+c}{a}+1=\dfrac{b+c+a}{a}=\dfrac{1}{a}$
$N+1=\dfrac{a+c}{b}+1=\dfrac{a+c+b}{b}=\dfrac{1}{b}$
$P+1=\dfrac{a+b}{c}+1=\dfrac{a+b+c}{c}=\dfrac{1}{c}$
$\because a＞0＞b＞c$
$\therefore \dfrac{1}{a}$为正数，$\dfrac{1}{b}$、$\dfrac{1}{c}$为负数，且两个负数中较大的数倒数更小，即$\dfrac{1}{b}＜\dfrac{1}{c}$
因此可得$\dfrac{1}{b}＜\dfrac{1}{c}＜\dfrac{1}{a}$，即$N+1＜P+1＜M+1$
根据不等式的性质，不等式两边同时减1，不等号方向不变，得$N＜P＜M$
【答案】
$N＜P＜M$
【知识点】
代数式变形、倒数比较大小、不等式的性质
【点评】
本题解题的核心是灵活运用$a+b+c=1$的条件，通过加1的巧算将复杂分式转化为易比较的倒数形式，大大降低了比较难度，考查了学生的代数式变形能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要比较M、N、P的大小，直接作差或通分比较复杂度较高，观察M、N、P的分子分别为b+c、a+c、a+b，结合已知条件a+b+c=1，可尝试对M、N、P分别加1变形，凑出分子为a+b+c的形式，将原式转化为倒数的大小比较，再结合已知a、b、c的正负和大小关系、不等式性质即可推出结果。
【解析】
已知$a+b+c=1$，对三个式子分别变形：
$M+1=\dfrac{b+c}{a}+1=\dfrac{b+c+a}{a}=\dfrac{1}{a}$
$N+1=\dfrac{a+c}{b}+1=\dfrac{a+c+b}{b}=\dfrac{1}{b}$
$P+1=\dfrac{a+b}{c}+1=\dfrac{a+b+c}{c}=\dfrac{1}{c}$
$\because a＞0＞b＞c$
$\therefore \dfrac{1}{a}$为正数，$\dfrac{1}{b}$、$\dfrac{1}{c}$为负数，且两个负数中较大的数倒数更小，即$\dfrac{1}{b}＜\dfrac{1}{c}$
因此可得$\dfrac{1}{b}＜\dfrac{1}{c}＜\dfrac{1}{a}$，即$N+1＜P+1＜M+1$
根据不等式的性质，不等式两边同时减1，不等号方向不变，得$N＜P＜M$
【答案】
$N＜P＜M$
【知识点】
代数式变形、倒数比较大小、不等式的性质
【点评】
本题解题的核心是灵活运用$a+b+c=1$的条件，通过加1的巧算将复杂分式转化为易比较的倒数形式，大大降低了比较难度，考查了学生的代数式变形能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
5.已知$a^{2x}=3$，求$\frac{a^{3x}+a^{-3x}}{a^{x}+a^{-x}}$的值.
答案
5.解:原式=$\frac{\frac{1}{a^{3x}}(a^{6x}+1)}{\frac{1}{a^x}(a^{2x}+1)}=\frac{1}{a^{2x}}×\frac{(a^{2x})^3+1}{a^{2x}+1}$
把$a^{2x}=3$代入原式，原式=$\frac{1}{3}×\frac{3^3+1}{3+1}=\frac{28}{12}=\frac{7}{3}$.
把$a^{2x}=3$代入原式，原式=$\frac{1}{3}×\frac{3^3+1}{3+1}=\frac{28}{12}=\frac{7}{3}$.
解析
【分析】
解题时无需单独求$a^x$的具体值，优先采用整体代入思想。观察所求分式的结构，分子是两个三次幂相加，分母是两个一次幂相加，可利用立方和公式对分子因式分解，约去分母的公因式后，将式子转化为含$a^{2x}$的形式，再代入已知条件计算即可；也可通过提取负指数公因式变形分子分母，再代入已知条件求解。
【解析】
方法1：利用立方和公式化简
根据立方和公式$m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)$，对分子变形：
$a^{3x}+a^{-3x}=(a^x)^3+(a^{-x})^3=(a^x+a^{-x})(a^{2x}-a^x· a^{-x}+a^{-2x})$
代入原式约去公因式$a^x+a^{-x}$（$a^x+a^{-x}≠0$），得：
原式$=a^{2x}-1+a^{-2x}$
由$a^{2x}=3$可得$a^{-2x}=\frac{1}{a^{2x}}=\frac{1}{3}$，代入得：
原式$=3-1+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$
方法2：提取公因式化简
对分子提取$a^{-3x}$，分母提取$a^{-x}$，得：
原式$=\frac{a^{-3x}(a^{6x}+1)}{a^{-x}(a^{2x}+1)}=\frac{1}{a^{2x}}·\frac{(a^{2x})^3+1}{a^{2x}+1}$
将$a^{2x}=3$代入，得：
原式$=\frac{1}{3}×\frac{3^3+1}{3+1}=\frac{1}{3}×\frac{28}{4}=\frac{7}{3}$
【答案】
$\frac{7}{3}$
【知识点】
整数指数幂运算，立方和因式分解，整体代入求值
【点评】
本题重点考查整数指数幂的运算规则，解题关键是对分子进行合理变形，将未知式子转化为含已知条件的形式，借助整体代入思想简化运算，避免单独求解$a^x$的复杂步骤。
【难度系数】
0.7
解题时无需单独求$a^x$的具体值，优先采用整体代入思想。观察所求分式的结构，分子是两个三次幂相加，分母是两个一次幂相加，可利用立方和公式对分子因式分解，约去分母的公因式后，将式子转化为含$a^{2x}$的形式，再代入已知条件计算即可；也可通过提取负指数公因式变形分子分母，再代入已知条件求解。
【解析】
方法1：利用立方和公式化简
根据立方和公式$m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)$，对分子变形：
$a^{3x}+a^{-3x}=(a^x)^3+(a^{-x})^3=(a^x+a^{-x})(a^{2x}-a^x· a^{-x}+a^{-2x})$
代入原式约去公因式$a^x+a^{-x}$（$a^x+a^{-x}≠0$），得：
原式$=a^{2x}-1+a^{-2x}$
由$a^{2x}=3$可得$a^{-2x}=\frac{1}{a^{2x}}=\frac{1}{3}$，代入得：
原式$=3-1+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$
方法2：提取公因式化简
对分子提取$a^{-3x}$，分母提取$a^{-x}$，得：
原式$=\frac{a^{-3x}(a^{6x}+1)}{a^{-x}(a^{2x}+1)}=\frac{1}{a^{2x}}·\frac{(a^{2x})^3+1}{a^{2x}+1}$
将$a^{2x}=3$代入，得：
原式$=\frac{1}{3}×\frac{3^3+1}{3+1}=\frac{1}{3}×\frac{28}{4}=\frac{7}{3}$
【答案】
$\frac{7}{3}$
【知识点】
整数指数幂运算，立方和因式分解，整体代入求值
【点评】
本题重点考查整数指数幂的运算规则，解题关键是对分子进行合理变形，将未知式子转化为含已知条件的形式，借助整体代入思想简化运算，避免单独求解$a^x$的复杂步骤。
【难度系数】
0.7
