15.已知二次函数$y=(m+1)x^{m^2+m}$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大.
(1)求二次函数的解析式；
(2)在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象；
(3)当$-1≤ x≤ 2$时，函数$y$的最大值是，最小值是.

解：
(1) 由二次函数的定义可知：
$\begin{cases}m^2 + m = 2 \\ m+1 ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 + m - 2 = 0$，因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，
解得$m_1=1$，$m_2=-2$。
又因为当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，所以二次项系数$m+1＞0$，即$m＞-1$，
故舍去$m=-2$，取$m=1$。
因此二次函数的解析式为$\boldsymbol{y=2x^2}$。
(2) 列表：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|-----|------|------|-----|-----|-----|
| $y$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ |
在平面直角坐标系中描出上述对应点，用平滑曲线顺次连接各点，得到开口向上、顶点在原点、关于$y$轴对称的抛物线，即为所求函数图象。
(3) 对于$y=2x^2$，开口向上，顶点为$(0,0)$：
当$-1≤ x≤ 2$时，$x=0$处取得最小值$0$；
代入端点计算：$x=-1$时$y=2$，$x=2$时$y=8$，比较得最大值为$8$。
函数$y$的最大值是$\boldsymbol{8}$，最小值是$\boldsymbol{0}$。

【分析】
(1) 求二次函数解析式首先要依据二次函数的定义：自变量最高次数为2，且二次项系数不为0，列方程和不等式求出m的可能值；再结合“x＞0时y随x增大而增大”的性质，可知二次项系数大于0，筛选出符合条件的m，代入即可得到解析式。
(2) 画二次函数$y=ax^2$的图象，按照列表、描点、连线的步骤操作，选取关于y轴对称的几组点计算对应y值，描点后用平滑曲线连接即可。
(3) 求给定区间的最值，先明确$y=2x^2$开口向上、顶点在原点（是函数最低点），先判断区间是否包含顶点，包含则顶点处取最小值，再计算区间两个端点的函数值，比较大小得到最大值。
【解析】
(1) 根据二次函数的定义可得：
$\begin{cases}m^2 + m = 2 \\ m+1 ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 + m - 2 = 0$，因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m_1=1$，$m_2=-2$。
已知当x＞0时，y随x的增大而增大，因此二次项系数$m+1＞0$，即$m＞-1$，舍去$m=-2$，取$m=1$，代入得二次函数解析式为$y=2x^2$。
(2) ①列表：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|-----|------|------|-----|-----|-----|
| $y$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ |
②描点：在平面直角坐标系中描出表格中对应的点；
③连线：用平滑曲线顺次连接各点，得到开口向上、顶点在原点、关于y轴对称的抛物线，即为$y=2x^2$的图象。
(3) 对于$y=2x^2$，图象开口向上，顶点坐标为$(0,0)$：
当$-1≤x≤2$时，x=0在区间内，此时函数取得最小值$y=0$；
代入区间端点计算：当x=-1时，$y=2×(-1)^2=2$；当x=2时，$y=2×2^2=8$，比较得最大值为8。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=2x^2}$
(2) 图象为开口向上、顶点在原点、关于y轴对称的抛物线，绘制方法见解析
(3) $\boldsymbol{8}$，$\boldsymbol{0}$
【知识点】
二次函数的定义，二次函数$y=ax^2$的性质，二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数基础性质的典型习题，解题时需注意先根据定义确定参数的取值范围，再结合单调性筛选参数，求区间最值时要结合函数图象的开口方向、顶点位置，同时不要忽略区间端点的函数值比较，有助于夯实二次函数的基础认知。
【难度系数】
0.7

16.(新课标·运算能力)抛物线$y=ax^2(a≠0)$与直线$y=2x-3$相交于点$(1,b)$.
(1)求$a$与$b$的值,并在所给的平面直角坐标系中画出两函数的图象;
(2)在二次函数$y=ax^2$中,当$-1＜x＜3$时,求$y$的取值范围;
(3)求抛物线与过$(0,-2)$且平行于$x$轴的直线的两个交点与抛物线顶点所围成的三角形的面积.

解：
(1) 将点$(1,b)$代入直线$y=2x-3$，得：
$b=2×1-3=-1$
∴交点坐标为$(1,-1)$
将$(1,-1)$代入抛物线$y=ax^2$，得：
$-1=a·1^2$，解得$a=-1$
即$a=-1$，$b=-1$。
画图：描出点$(0,0)$、$(1,-1)$、$(-1,-1)$、$(2,-4)$、$(-2,-4)$，用平滑曲线连接得到抛物线$y=-x^2$；描出点$(0,-3)$、$(1,-1)$，过两点画直线得到$y=2x-3$的图象。
(2) 由(1)得二次函数解析式为$y=-x^2$，该抛物线开口向下，顶点为$(0,0)$，函数最大值为$0$。
当$x=-1$时，$y=-(-1)^2=-1$；当$x=3$时，$y=-3^2=-9$。
∵$-1＜x＜3$，
∴$y$的取值范围是$-9＜y≤0$。
(3) 过点$(0,-2)$且平行于$x$轴的直线解析式为$y=-2$。
联立$\begin{cases}y=-2 \\ y=-x^2\end{cases}$，得$-x^2=-2$，解得$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$。
∴两个交点坐标为$(\sqrt{2},-2)$、$(-\sqrt{2},-2)$。
抛物线$y=-x^2$的顶点为$(0,0)$。
该三角形的底长为$|\sqrt{2}-(-\sqrt{2})|=2\sqrt{2}$，底边上的高为点$(0,0)$到直线$y=-2$的距离，值为$2$。
∴三角形面积$S=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2=2\sqrt{2}$。

【分析】
(1) 交点同时在直线和抛物线上，因此先将点代入直线解析式求出b的值，得到完整交点坐标后再代入抛物线解析式即可求出a的值；绘制图象时，二次函数选取顶点、对称点等特殊点用平滑曲线连接，直线选取两个点连线即可。
(2) 先明确二次函数的开口方向和顶点坐标，确定函数的最值，再分别计算区间端点x=-1和x=3对应的函数值，结合开口方向判断y的取值范围，注意区间为开区间，要正确取舍端点值。
(3) 先写出过(0,-2)且平行于x轴的直线解析式，联立抛物线解析式求出两个交点坐标，再确定抛物线顶点坐标，以两个交点的距离为三角形的底，顶点到该直线的距离为高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 将点$(1,b)$代入直线$y=2x-3$，得：
$b=2×1-3=-1$
∴交点坐标为$(1,-1)$
将$(1,-1)$代入抛物线$y=ax^2$，得：
$-1=a·1^2$，解得$a=-1$
即$a=-1$，$b=-1$。
画图：描出点$(0,0)$、$(1,-1)$、$(-1,-1)$、$(2,-4)$、$(-2,-4)$，用平滑曲线连接得到抛物线$y=-x^2$；描出点$(0,-3)$、$(1,-1)$，过两点画直线得到$y=2x-3$的图象。
(2) 由(1)得二次函数解析式为$y=-x^2$，该抛物线开口向下，顶点为$(0,0)$，函数最大值为$0$。
当$x=-1$时，$y=-(-1)^2=-1$；当$x=3$时，$y=-3^2=-9$。
∵$-1＜x＜3$，
∴$y$的取值范围是$-9＜y≤0$。
(3) 过点$(0,-2)$且平行于$x$轴的直线解析式为$y=-2$。
联立$\begin{cases}y=-2 \\ y=-x^2\end{cases}$，得$-x^2=-2$，解得$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$。
∴两个交点坐标为$(\sqrt{2},-2)$、$(-\sqrt{2},-2)$。
抛物线$y=-x^2$的顶点为$(0,0)$。
该三角形的底长为$|\sqrt{2}-(-\sqrt{2})|=2\sqrt{2}$，底边上的高为点$(0,0)$到直线$y=-2$的距离，值为$2$。
∴三角形面积$S=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2=2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $a=-1$，$b=-1$，图象见解析；
(2) $-9＜y≤0$；
(3) $2\sqrt{2}$
【知识点】
1. 二次函数y=ax²的性质
2. 函数交点坐标求解
3. 三角形面积计算
【点评】
本题围绕二次函数$y=ax^2$的基础知识点展开，结合一次函数的性质，综合考查了解析式求解、图象绘制、函数取值范围计算、交点求解及面积计算，侧重基础运算能力的考查，是二次函数部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7