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9.抛物线$y=ax^2(a＞0)$经过点$(-2,m)$和$(1,n)$，则$m$与$n$的大小关系为。
答案
$\boldsymbol{m＞n}$
解析
【分析】
解决这道题有两种符合学段要求的思路：①直接代入法：把两个点的横坐标分别代入抛物线解析式，用含a的式子表示出m和n，再结合a＞0的条件比较大小；②性质判断法：利用二次函数$y=ax^2(a＞0)$的性质分析，该函数开口向上、对称轴为y轴，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，通过计算两点到对称轴的距离即可比较m和n的大小。
【解析】
解法1（代入计算法）：
将点$(-2,m)$代入$y=ax^2$，得：
$m=a×(-2)^2=4a$
将点$(1,n)$代入$y=ax^2$，得：
$n=a×1^2=a$
已知$a＞0$，因此$4a＞a$，即$m＞n$。
解法2（性质判断法）：
抛物线$y=ax^2(a＞0)$开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，对应函数值越大。
点$(-2,m)$到对称轴的距离为$|-2-0|=2$，点$(1,n)$到对称轴的距离为$|1-0|=1$，
因为$2＞1$，所以$m＞n$。
【答案】
$\boldsymbol{m＞n}$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题型，两种解题方法都围绕二次函数$y=ax^2$的核心特征设计，能够帮助学生巩固基础，灵活选择解题策略。
【难度系数】
0.9
解决这道题有两种符合学段要求的思路：①直接代入法：把两个点的横坐标分别代入抛物线解析式，用含a的式子表示出m和n，再结合a＞0的条件比较大小；②性质判断法：利用二次函数$y=ax^2(a＞0)$的性质分析，该函数开口向上、对称轴为y轴，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，通过计算两点到对称轴的距离即可比较m和n的大小。
【解析】
解法1（代入计算法）：
将点$(-2,m)$代入$y=ax^2$，得：
$m=a×(-2)^2=4a$
将点$(1,n)$代入$y=ax^2$，得：
$n=a×1^2=a$
已知$a＞0$，因此$4a＞a$，即$m＞n$。
解法2（性质判断法）：
抛物线$y=ax^2(a＞0)$开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，对应函数值越大。
点$(-2,m)$到对称轴的距离为$|-2-0|=2$，点$(1,n)$到对称轴的距离为$|1-0|=1$，
因为$2＞1$，所以$m＞n$。
【答案】
$\boldsymbol{m＞n}$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题型，两种解题方法都围绕二次函数$y=ax^2$的核心特征设计，能够帮助学生巩固基础，灵活选择解题策略。
【难度系数】
0.9
10. 二次函数 $ y=x^2 $，$ y=2x^2 $ 和 $ y=-x^2 $ 在同一直角坐标系中的图象如图，请在序号后面分别填上对应的函数关系式：
① ______；② ______；③ ______。
① ______；② ______；③ ______。
答案
①$\boldsymbol{y=2x^2}$；②$\boldsymbol{y=x^2}$；③$\boldsymbol{y=-x^2}$。
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的核心性质：第一，开口方向由$a$的正负决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；第二，开口宽窄由$|a|$的大小决定，$|a|$越大，开口越窄。解题第一步先根据开口方向判断出$a$为负的函数对应图象，第二步再根据开口宽窄对比两个$a$为正的函数对应的图象即可。
【解析】
1. 判断开口方向：对于二次函数$y=ax^2$，$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时抛物线开口向下。三个函数中只有$y=-x^2$的$a=-1＜0$，开口向下，因此图象③对应$y=-x^2$。
2. 判断开口宽窄：开口向上的两个函数$y=2x^2$和$y=x^2$，$|a|$越大开口越窄，$|2|＞|1|$，因此开口更窄的图象①对应$y=2x^2$，开口更宽的图象②对应$y=x^2$。
【答案】
①$\boldsymbol{y=2x^2}$；②$\boldsymbol{y=x^2}$；③$\boldsymbol{y=-x^2}$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象性质、开口方向与$a$的关系、开口宽窄与$|a|$的关系
【点评】
本题属于二次函数图象性质的基础考查题，牢记$a$的符号、$|a|$的大小对抛物线的影响，即可快速完成判断，出错率较低。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的核心性质：第一，开口方向由$a$的正负决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；第二，开口宽窄由$|a|$的大小决定，$|a|$越大，开口越窄。解题第一步先根据开口方向判断出$a$为负的函数对应图象，第二步再根据开口宽窄对比两个$a$为正的函数对应的图象即可。
【解析】
1. 判断开口方向：对于二次函数$y=ax^2$，$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时抛物线开口向下。三个函数中只有$y=-x^2$的$a=-1＜0$，开口向下，因此图象③对应$y=-x^2$。
2. 判断开口宽窄：开口向上的两个函数$y=2x^2$和$y=x^2$，$|a|$越大开口越窄，$|2|＞|1|$，因此开口更窄的图象①对应$y=2x^2$，开口更宽的图象②对应$y=x^2$。
【答案】
①$\boldsymbol{y=2x^2}$；②$\boldsymbol{y=x^2}$；③$\boldsymbol{y=-x^2}$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象性质、开口方向与$a$的关系、开口宽窄与$|a|$的关系
【点评】
本题属于二次函数图象性质的基础考查题，牢记$a$的符号、$|a|$的大小对抛物线的影响，即可快速完成判断，出错率较低。
【难度系数】
0.9
11.(新课标·推理能力)已知点$A(m,-2),B(n,-2)$是抛物线$y=ax^2$上的两点,当$x=m+n$时,$y$的值是.
答案
$\boldsymbol{0}$
解析
【分析】
首先观察点A、B的坐标特征，两点纵坐标相等，说明这两个点关于抛物线的对称轴对称；接着回忆抛物线$y=ax^2$的对称轴是y轴（直线$x=0$），根据对称点的横坐标的中点在对称轴上，即可求出$m+n$的值，最后将$x=m+n$代入抛物线解析式计算$y$的值即可。
【解析】
解：
∵点$A(m,-2)$、$B(n,-2)$的纵坐标相同，
∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线$y=ax^2$的对称轴为直线$x=0$（y轴），
∴两点横坐标的中点在对称轴上，即$\frac{m+n}{2}=0$，
解得：$m+n=0$，
将$x=m+n=0$代入$y=ax^2$得：
$y=a×0^2=0$。
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数图象性质，函数值计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数$y=ax^2$的对称性应用，解题的突破口是通过纵坐标相同的两点的坐标特征快速得到$m+n$的取值，掌握二次函数的基本性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
首先观察点A、B的坐标特征，两点纵坐标相等，说明这两个点关于抛物线的对称轴对称；接着回忆抛物线$y=ax^2$的对称轴是y轴（直线$x=0$），根据对称点的横坐标的中点在对称轴上，即可求出$m+n$的值，最后将$x=m+n$代入抛物线解析式计算$y$的值即可。
【解析】
解：
∵点$A(m,-2)$、$B(n,-2)$的纵坐标相同，
∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线$y=ax^2$的对称轴为直线$x=0$（y轴），
∴两点横坐标的中点在对称轴上，即$\frac{m+n}{2}=0$，
解得：$m+n=0$，
将$x=m+n=0$代入$y=ax^2$得：
$y=a×0^2=0$。
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数图象性质，函数值计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数$y=ax^2$的对称性应用，解题的突破口是通过纵坐标相同的两点的坐标特征快速得到$m+n$的取值，掌握二次函数的基本性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
12.已知二次函数$y=(a-2)x^2$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，则实数$a$的取值范围是（）
A.$a≠2$
B.$a＞2$
C.$a＜2$
D.$a＜0$
A.$a≠2$
B.$a＞2$
C.$a＜2$
D.$a＜0$
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的图象与性质，解题思路如下：首先明确二次函数$y=ax^2$的增减性由二次项系数$a$的符号决定：当$a＞0$时，抛物线开口向上，$x＞0$时$y$随$x$增大而增大；当$a＜0$时，抛物线开口向下，$x＞0$时$y$随$x$增大而减小。结合题目给出的“$x＞0$时$y$随$x$增大而减小”的条件，可得到关于$a$的不等式，解不等式即可得到$a$的取值范围，因题目已明确是二次函数，无需额外考虑二次项系数为0的情况。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，其增减性规律为：
1. 若$a＞0$，抛物线开口向上，对称轴为$y$轴，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
2. 若$a＜0$，抛物线开口向下，对称轴为$y$轴，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
本题中二次函数为$y=(a-2)x^2$，对应的二次项系数为$a-2$，根据题意$x＞0$时$y$随$x$增大而减小，可得：
$a - 2 ＜ 0$
解得$a ＜ 2$，因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 一元一次不等式求解
【点评】
本题属于基础题，核心考查对二次函数$y=ax^2$增减性规律的掌握，只要熟记二次项系数符号与开口方向、增减性的对应关系，即可快速求解，解题时注意不要混淆系数符号和开口方向的对应关系。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2$的图象与性质，解题思路如下：首先明确二次函数$y=ax^2$的增减性由二次项系数$a$的符号决定：当$a＞0$时，抛物线开口向上，$x＞0$时$y$随$x$增大而增大；当$a＜0$时，抛物线开口向下，$x＞0$时$y$随$x$增大而减小。结合题目给出的“$x＞0$时$y$随$x$增大而减小”的条件，可得到关于$a$的不等式，解不等式即可得到$a$的取值范围，因题目已明确是二次函数，无需额外考虑二次项系数为0的情况。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，其增减性规律为：
1. 若$a＞0$，抛物线开口向上，对称轴为$y$轴，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
2. 若$a＜0$，抛物线开口向下，对称轴为$y$轴，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
本题中二次函数为$y=(a-2)x^2$，对应的二次项系数为$a-2$，根据题意$x＞0$时$y$随$x$增大而减小，可得：
$a - 2 ＜ 0$
解得$a ＜ 2$，因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 一元一次不等式求解
【点评】
本题属于基础题，核心考查对二次函数$y=ax^2$增减性规律的掌握，只要熟记二次项系数符号与开口方向、增减性的对应关系，即可快速求解，解题时注意不要混淆系数符号和开口方向的对应关系。
【难度系数】
0.8
13.如图,正方形四个顶点的坐标依次为$(1,1),(3,1),(3,3),(1,3)$.若抛物线$y=ax^2$与正方形有公共点,则实数$a$的取值范围是（）
A.$\frac{1}{9} ≤ a ≤ 3$
B.$\frac{1}{9} ≤ a ≤ 1$
C.$\frac{1}{3} ≤ a ≤ 3$
D.$\frac{1}{3} ≤ a ≤ 1$
A.$\frac{1}{9} ≤ a ≤ 3$
B.$\frac{1}{9} ≤ a ≤ 1$
C.$\frac{1}{3} ≤ a ≤ 3$
D.$\frac{1}{3} ≤ a ≤ 1$
答案
A
解析
【分析】
要确定抛物线$y=ax^2$与正方形有公共点时$a$的取值范围，首先明确该抛物线顶点在原点、开口向上（$a＞0$），$a$的大小决定抛物线开口宽窄：$a$越大，开口越窄；$a$越小，开口越宽。当抛物线刚好和正方形有公共点时，会经过正方形的两个临界顶点：①开口最宽（$a$最小）时，经过正方形右下角点$(3,1)$；②开口最窄（$a$最大）时，经过正方形左上角点$(1,3)$。将这两个点分别代入抛物线解析式，即可求出$a$的两个边界值，进而得到取值范围。
【解析】
已知抛物线$y=ax^2$的顶点在原点，且与位于第一象限的正方形有公共点，因此$a＞0$。
1. 求$a$的最小值：当抛物线经过正方形右下角顶点$(3,1)$时，$a$最小，将$x=3$，$y=1$代入解析式得：
$1=a× 3^2$，解得$a=\frac{1}{9}$。
2. 求$a$的最大值：当抛物线经过正方形左上角顶点$(1,3)$时，$a$最大，将$x=1$，$y=3$代入解析式得：
$3=a× 1^2$，解得$a=3$。
因此实数$a$的取值范围是$\frac{1}{9} ≤ a ≤ 3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与性质，待定系数法求值，数形结合思想
【点评】
本题解题核心是利用数形结合思想，结合二次函数开口宽窄和$a$的对应关系，找到抛物线与正方形有交点的两个临界位置，代入顶点计算即可快速得到取值范围，避免复杂的范围讨论。
【难度系数】
0.7
要确定抛物线$y=ax^2$与正方形有公共点时$a$的取值范围，首先明确该抛物线顶点在原点、开口向上（$a＞0$），$a$的大小决定抛物线开口宽窄：$a$越大，开口越窄；$a$越小，开口越宽。当抛物线刚好和正方形有公共点时，会经过正方形的两个临界顶点：①开口最宽（$a$最小）时，经过正方形右下角点$(3,1)$；②开口最窄（$a$最大）时，经过正方形左上角点$(1,3)$。将这两个点分别代入抛物线解析式，即可求出$a$的两个边界值，进而得到取值范围。
【解析】
已知抛物线$y=ax^2$的顶点在原点，且与位于第一象限的正方形有公共点，因此$a＞0$。
1. 求$a$的最小值：当抛物线经过正方形右下角顶点$(3,1)$时，$a$最小，将$x=3$，$y=1$代入解析式得：
$1=a× 3^2$，解得$a=\frac{1}{9}$。
2. 求$a$的最大值：当抛物线经过正方形左上角顶点$(1,3)$时，$a$最大，将$x=1$，$y=3$代入解析式得：
$3=a× 1^2$，解得$a=3$。
因此实数$a$的取值范围是$\frac{1}{9} ≤ a ≤ 3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与性质，待定系数法求值，数形结合思想
【点评】
本题解题核心是利用数形结合思想，结合二次函数开口宽窄和$a$的对应关系，找到抛物线与正方形有交点的两个临界位置，代入顶点计算即可快速得到取值范围，避免复杂的范围讨论。
【难度系数】
0.7
14.已知二次函数 $ y = ax^2 $，当 $ x=3 $ 时，$ y=3 $。
(1)求当 $ x=-2 $ 时 $ y $ 的值；
(2)写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)求当 $ x=-2 $ 时 $ y $ 的值；
(2)写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
答案
解：
(1) 将$x=3$，$y=3$代入$y=ax^2$，得
$3 = a· 3^2$
即$9a=3$，解得$a=\frac{1}{3}$
因此二次函数解析式为$y=\frac{1}{3}x^2$
把$x=-2$代入$y=\frac{1}{3}x^2$，得
$y=\frac{1}{3}×(-2)^2=\frac{4}{3}$
(2) $\because a=\frac{1}{3}＞0$，
$\therefore$ 该函数图象开口向上，
对称轴为$y$轴（即直线$x=0$），
顶点坐标为$(0,0)$。
(1) 将$x=3$，$y=3$代入$y=ax^2$，得
$3 = a· 3^2$
即$9a=3$，解得$a=\frac{1}{3}$
因此二次函数解析式为$y=\frac{1}{3}x^2$
把$x=-2$代入$y=\frac{1}{3}x^2$，得
$y=\frac{1}{3}×(-2)^2=\frac{4}{3}$
(2) $\because a=\frac{1}{3}＞0$，
$\therefore$ 该函数图象开口向上，
对称轴为$y$轴（即直线$x=0$），
顶点坐标为$(0,0)$。
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路清晰：①首先需要确定二次函数的完整解析式，题目中解析式仅含未知系数a，可利用给定的x=3、y=3的条件，通过待定系数法代入计算求出a的值；②求解第一小问：将x=-2代入已确定的解析式中，计算即可得到对应的y值；③求解第二小问：直接结合二次函数$y=ax^2$的性质，根据a的正负判断开口方向，再直接写出该类函数的对称轴和顶点坐标即可。
【解析】
(1) 将$x=3$，$y=3$代入$y=ax^2$，得
$3 = a· 3^2$
即$9a=3$，解得$a=\frac{1}{3}$
因此二次函数解析式为$y=\frac{1}{3}x^2$
把$x=-2$代入$y=\frac{1}{3}x^2$，得
$y=\frac{1}{3}×(-2)^2=\frac{4}{3}$
(2) $\because a=\frac{1}{3}＞0$，
$\therefore$ 该函数图象开口向上，
对称轴为$y$轴（即直线$x=0$），
顶点坐标为$(0,0)$。
【答案】
(1) $\frac{4}{3}$；(2) 开口向上，对称轴为直线$x=0$（或$y$轴），顶点坐标为$(0,0)$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数$y=ax^2$的性质
3. 二次函数求值
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，主要考查待定系数法的应用和二次函数$y=ax^2$的基础性质，运算难度低，牢记相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
本题分为两小问，解题思路清晰：①首先需要确定二次函数的完整解析式，题目中解析式仅含未知系数a，可利用给定的x=3、y=3的条件，通过待定系数法代入计算求出a的值；②求解第一小问：将x=-2代入已确定的解析式中，计算即可得到对应的y值；③求解第二小问：直接结合二次函数$y=ax^2$的性质，根据a的正负判断开口方向，再直接写出该类函数的对称轴和顶点坐标即可。
【解析】
(1) 将$x=3$，$y=3$代入$y=ax^2$，得
$3 = a· 3^2$
即$9a=3$，解得$a=\frac{1}{3}$
因此二次函数解析式为$y=\frac{1}{3}x^2$
把$x=-2$代入$y=\frac{1}{3}x^2$，得
$y=\frac{1}{3}×(-2)^2=\frac{4}{3}$
(2) $\because a=\frac{1}{3}＞0$，
$\therefore$ 该函数图象开口向上，
对称轴为$y$轴（即直线$x=0$），
顶点坐标为$(0,0)$。
【答案】
(1) $\frac{4}{3}$；(2) 开口向上，对称轴为直线$x=0$（或$y$轴），顶点坐标为$(0,0)$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数$y=ax^2$的性质
3. 二次函数求值
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，主要考查待定系数法的应用和二次函数$y=ax^2$的基础性质，运算难度低，牢记相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
