登录
1.二次函数$y=2x^2 -3$图象的对称轴是，顶点坐标是；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而。
答案
解：
将二次函数$y=2x^2-3$化为顶点式得$y=2(x-0)^2-3$，
对照$y=a(x-h)^2+k$的形式，可得$a=2＞0$，$h=0$，$k=-3$。
因此该二次函数图象的对称轴是直线$x=0$（即y轴），顶点坐标是$(0,-3)$；
当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
将二次函数$y=2x^2-3$化为顶点式得$y=2(x-0)^2-3$，
对照$y=a(x-h)^2+k$的形式，可得$a=2＞0$，$h=0$，$k=-3$。
因此该二次函数图象的对称轴是直线$x=0$（即y轴），顶点坐标是$(0,-3)$；
当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质：首先将给定的二次函数解析式转化为标准顶点式，确定参数$a$、$h$、$k$的值；$a$的正负决定抛物线的开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；再结合开口方向和对称轴，就能判断不同$x$取值范围内$y$随$x$的变化规律。
【解析】
将二次函数$y=2x^2-3$化为顶点式得$y=2(x-0)^2-3$，
对照顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，可得$a=2＞0$，$h=0$，$k=-3$。
因此该二次函数图象的对称轴是直线$x=0$（即y轴），顶点坐标是$(0,-3)$；
由于抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$，因此当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
直线$x=0$（或y轴）；$(0,-3)$；减小；增大
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数对称轴与顶点坐标；二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，核心是掌握顶点式中各参数对应的图象性质，熟记开口方向、对称轴和增减性的对应规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质：首先将给定的二次函数解析式转化为标准顶点式，确定参数$a$、$h$、$k$的值；$a$的正负决定抛物线的开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；再结合开口方向和对称轴，就能判断不同$x$取值范围内$y$随$x$的变化规律。
【解析】
将二次函数$y=2x^2-3$化为顶点式得$y=2(x-0)^2-3$，
对照顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，可得$a=2＞0$，$h=0$，$k=-3$。
因此该二次函数图象的对称轴是直线$x=0$（即y轴），顶点坐标是$(0,-3)$；
由于抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$，因此当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
直线$x=0$（或y轴）；$(0,-3)$；减小；增大
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数对称轴与顶点坐标；二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，核心是掌握顶点式中各参数对应的图象性质，熟记开口方向、对称轴和增减性的对应规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 对于二次函数$y=2x^2+1$，下列说法错误的是（）
A.函数的最小值为1
B.y随x的增大而减小
C.图象开口向上
D.图象的对称轴是y轴
A.函数的最小值为1
B.y随x的增大而减小
C.图象开口向上
D.图象的对称轴是y轴
答案
B
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的基本性质，解题思路为：首先根据解析式确定参数$a$、$k$的取值，再依次推导函数的开口方向、对称轴、最值、增减性，逐一核对每个选项的表述，判断正误即可。
【解析】
对于二次函数$y=2x^2+1$，其中$a=2$，$k=1$：
1. 由$a=2＞0$，可得函数图象开口向上，因此C选项表述正确，不符合题意；
2. 该函数为$y=ax^2+k$的形式，对称轴为$x=0$，即y轴，因此D选项表述正确，不符合题意；
3. 图象开口向上，顶点坐标为$(0,1)$，因此函数的最小值为1，因此A选项表述正确，不符合题意；
4. 函数的增减性需结合对称轴范围判断：当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，B选项未限定范围直接表述“$y$随$x$的增大而减小”，表述错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题是基础类习题，核心考查二次函数$y=ax^2+k$的相关规律，需特别注意：描述二次函数增减性时必须限定在对称轴的某一侧，缺少范围的增减性表述一定是错误的。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的基本性质，解题思路为：首先根据解析式确定参数$a$、$k$的取值，再依次推导函数的开口方向、对称轴、最值、增减性，逐一核对每个选项的表述，判断正误即可。
【解析】
对于二次函数$y=2x^2+1$，其中$a=2$，$k=1$：
1. 由$a=2＞0$，可得函数图象开口向上，因此C选项表述正确，不符合题意；
2. 该函数为$y=ax^2+k$的形式，对称轴为$x=0$，即y轴，因此D选项表述正确，不符合题意；
3. 图象开口向上，顶点坐标为$(0,1)$，因此函数的最小值为1，因此A选项表述正确，不符合题意；
4. 函数的增减性需结合对称轴范围判断：当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，B选项未限定范围直接表述“$y$随$x$的增大而减小”，表述错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题是基础类习题，核心考查二次函数$y=ax^2+k$的相关规律，需特别注意：描述二次函数增减性时必须限定在对称轴的某一侧，缺少范围的增减性表述一定是错误的。
【难度系数】
0.8
3. 抛物线$y=x^2$，$y=-\frac{1}{2}x^2+1$，$y=\frac{1}{2}x^2+1$共有的性质是 （）
A.开口都向上
B.都有最低点
C.顶点都是原点
D.对称轴都是$y$轴
A.开口都向上
B.都有最低点
C.顶点都是原点
D.对称轴都是$y$轴
答案
D
解析
【分析】
要判断三个抛物线共有的性质，需先回忆二次函数$y=ax^2+k$的性质：开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$开口向上有最低点，$a＜0$开口向下有最高点；顶点坐标为$(0,k)$，对称轴为$y$轴。我们可以逐个分析每个选项，排除不符合的，找到三个函数都满足的性质。
【解析】
我们先分别梳理三个抛物线的性质：
1. 抛物线$y=x^2$：$a=1＞0$，开口向上，有最低点，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴；
2. 抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+1$：$a=-\frac{1}{2}＜0$，开口向下，有最高点，顶点坐标为$(0,1)$，对称轴为$y$轴；
3. 抛物线$y=\frac{1}{2}x^2+1$：$a=\frac{1}{2}＞0$，开口向上，有最低点，顶点坐标为$(0,1)$，对称轴为$y$轴。
接下来逐一判断选项：
A选项：第二个抛物线开口向下，不是都向上，错误；
B选项：第二个抛物线有最高点，不是都有最低点，错误；
C选项：后两个抛物线顶点为$(0,1)$，不是原点，错误；
D选项：三个抛物线的对称轴都是$y$轴，正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质；对称轴判定；顶点坐标判定
【点评】
本题考查基础的二次函数性质，需要熟练掌握$y=ax^2+k$型二次函数的开口方向、最值、顶点、对称轴与参数$a、k$的对应关系，通过逐一排查选项即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要判断三个抛物线共有的性质，需先回忆二次函数$y=ax^2+k$的性质：开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$开口向上有最低点，$a＜0$开口向下有最高点；顶点坐标为$(0,k)$，对称轴为$y$轴。我们可以逐个分析每个选项，排除不符合的，找到三个函数都满足的性质。
【解析】
我们先分别梳理三个抛物线的性质：
1. 抛物线$y=x^2$：$a=1＞0$，开口向上，有最低点，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴；
2. 抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+1$：$a=-\frac{1}{2}＜0$，开口向下，有最高点，顶点坐标为$(0,1)$，对称轴为$y$轴；
3. 抛物线$y=\frac{1}{2}x^2+1$：$a=\frac{1}{2}＞0$，开口向上，有最低点，顶点坐标为$(0,1)$，对称轴为$y$轴。
接下来逐一判断选项：
A选项：第二个抛物线开口向下，不是都向上，错误；
B选项：第二个抛物线有最高点，不是都有最低点，错误；
C选项：后两个抛物线顶点为$(0,1)$，不是原点，错误；
D选项：三个抛物线的对称轴都是$y$轴，正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质；对称轴判定；顶点坐标判定
【点评】
本题考查基础的二次函数性质，需要熟练掌握$y=ax^2+k$型二次函数的开口方向、最值、顶点、对称轴与参数$a、k$的对应关系，通过逐一排查选项即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
4.已知抛物线$y=x^2 -4$与$x$轴交于$B,C$两点,顶点为$A$,则$△ ABC$的面积为（）
A.16
B.8
C.4
D.2
A.16
B.8
C.4
D.2
答案
B
解析
【分析】
要计算△ABC的面积，需先确定三个顶点的坐标：①先求抛物线与x轴交点B、C的坐标，令y=0解方程可得两点横坐标，进而得到底边BC的长度；②再求抛物线顶点A的坐标，该抛物线为y=ax²+k的形式，顶点在y轴上，代入x=0可得顶点纵坐标，顶点到x轴的距离即为三角形的高；最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求B、C两点坐标：
令y=0，得方程$x^2 -4=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-2$，
∴B点坐标为(-2,0)，C点坐标为(2,0)，
∴底边BC的长度为$|2 - (-2)|=4$。
2. 求顶点A的坐标：
抛物线$y=x^2-4$的对称轴为y轴（直线x=0），将x=0代入解析式得$y=0^2-4=-4$，
∴顶点A的坐标为(0,-4)，点A到x轴的距离（即△ABC的高）为$|-4|=4$。
3. 计算三角形面积：
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，
得$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×4×4=8$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与坐标轴交点、二次函数顶点坐标、三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，解题关键是准确求出抛物线与x轴交点及顶点坐标，结合几何图形的面积公式即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
要计算△ABC的面积，需先确定三个顶点的坐标：①先求抛物线与x轴交点B、C的坐标，令y=0解方程可得两点横坐标，进而得到底边BC的长度；②再求抛物线顶点A的坐标，该抛物线为y=ax²+k的形式，顶点在y轴上，代入x=0可得顶点纵坐标，顶点到x轴的距离即为三角形的高；最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求B、C两点坐标：
令y=0，得方程$x^2 -4=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-2$，
∴B点坐标为(-2,0)，C点坐标为(2,0)，
∴底边BC的长度为$|2 - (-2)|=4$。
2. 求顶点A的坐标：
抛物线$y=x^2-4$的对称轴为y轴（直线x=0），将x=0代入解析式得$y=0^2-4=-4$，
∴顶点A的坐标为(0,-4)，点A到x轴的距离（即△ABC的高）为$|-4|=4$。
3. 计算三角形面积：
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，
得$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×4×4=8$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与坐标轴交点、二次函数顶点坐标、三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，解题关键是准确求出抛物线与x轴交点及顶点坐标，结合几何图形的面积公式即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
5.已知点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$均在抛物线$y=x^2+1$上,下列说法正确的是 （）
A.若$y_1=y_2$,则$x_1=x_2$
B.若$x_1=-x_2$,则$y_1=-y_2$
C.若$0＜x_1＜x_2$,则$y_1＞y_2$
D.若$x_1＜x_2＜0$,则$y_1＞y_2$
A.若$y_1=y_2$,则$x_1=x_2$
B.若$x_1=-x_2$,则$y_1=-y_2$
C.若$0＜x_1＜x_2$,则$y_1＞y_2$
D.若$x_1＜x_2＜0$,则$y_1＞y_2$
答案
D
解析
【分析】首先明确抛物线$y=x^2+1$的基本性质：它开口向上，对称轴是y轴（直线$x=0$），在对称轴左侧（$x＜0$）时，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧（$x＞0$）时，$y$随$x$的增大而增大，且图象关于y轴对称，即互为相反数的两个$x$值对应的$y$值相等。接下来结合这些性质，逐一判断每个选项的正误，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】首先分析抛物线$y=x^2+1$的性质：
该抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；且满足当$x=-a$和$x=a$时，对应的$y$值相等。
对各选项逐一判断：
A选项：若$y_1=y_2$，例如$y_1=y_2=2$时，$x_1=1$，$x_2=-1$也满足条件，此时$x_1≠ x_2$，故A错误；
B选项：若$x_1=-x_2$，代入函数得$y_1=x_1^2+1$，$y_2=x_2^2+1=(-x_1)^2+1=x_1^2+1=y_1$，即$y_1=y_2$，不是$y_1=-y_2$，故B错误；
C选项：若$0＜x_1＜x_2$，两个点都在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大，因此$y_1＜y_2$，故C错误；
D选项：若$x_1＜x_2＜0$，两个点都在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小，因此$x$越小$y$越大，即$y_1＞y_2$，故D正确。
【答案】D
【知识点】二次函数图象性质；二次函数增减性；二次函数对称性
【点评】本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是准确掌握抛物线的开口方向、对称轴对应的增减性以及对称性，通过举反例或者直接用性质判断的方式排除错误选项即可，做题时要注意区分对称轴左右两侧的增减性，避免混淆。
【难度系数】0.8
【解析】首先分析抛物线$y=x^2+1$的性质：
该抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；且满足当$x=-a$和$x=a$时，对应的$y$值相等。
对各选项逐一判断：
A选项：若$y_1=y_2$，例如$y_1=y_2=2$时，$x_1=1$，$x_2=-1$也满足条件，此时$x_1≠ x_2$，故A错误；
B选项：若$x_1=-x_2$，代入函数得$y_1=x_1^2+1$，$y_2=x_2^2+1=(-x_1)^2+1=x_1^2+1=y_1$，即$y_1=y_2$，不是$y_1=-y_2$，故B错误；
C选项：若$0＜x_1＜x_2$，两个点都在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大，因此$y_1＜y_2$，故C错误；
D选项：若$x_1＜x_2＜0$，两个点都在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小，因此$x$越小$y$越大，即$y_1＞y_2$，故D正确。
【答案】D
【知识点】二次函数图象性质；二次函数增减性；二次函数对称性
【点评】本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是准确掌握抛物线的开口方向、对称轴对应的增减性以及对称性，通过举反例或者直接用性质判断的方式排除错误选项即可，做题时要注意区分对称轴左右两侧的增减性，避免混淆。
【难度系数】0.8
6.抛物线$y=ax^2 +k$是由抛物线$y=ax^2$沿轴上下平行移动得到的.当$k＞0$时,向上平移个单位长度;当$k＜0$时,向下平移个单位长度.
答案
解：
抛物线$y=ax^2 +k$是由抛物线$y=ax^2$沿$\boldsymbol{y}$轴上下平行移动得到的.当$k＞0$时,向上平移$\boldsymbol{k}$个单位长度;当$k＜0$时,向下平移$\boldsymbol{|k|}$个单位长度。
抛物线$y=ax^2 +k$是由抛物线$y=ax^2$沿$\boldsymbol{y}$轴上下平行移动得到的.当$k＞0$时,向上平移$\boldsymbol{k}$个单位长度;当$k＜0$时,向下平移$\boldsymbol{|k|}$个单位长度。
解析
【分析】
首先回忆二次函数图象的平移规律：“左加右减自变量，上加下减常数项”。对比抛物线$y=ax^2$和$y=ax^2+k$，二者的差异仅在常数项$k$，属于上下平移的范畴，上下平移是沿$y$轴方向进行的。再结合平移距离为非负数的要求，就能确定不同$k$取值对应的平移方向和距离。
【解析】
1. 确定平移对应的坐标轴：抛物线$y=ax^2$的顶点坐标为$(0,0)$，抛物线$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，两个顶点均在$y$轴上，因此图象是沿$y$轴上下平行移动得到的。
2. 确定平移单位长度：
当$k＞0$时，顶点$(0,k)$在$(0,0)$的上方，两点纵坐标的差为$k$，因此是向上平移$k$个单位长度；
当$k＜0$时，顶点$(0,k)$在$(0,0)$的下方，平移距离为非负数，因此向下平移$|k|$个单位长度。
【答案】
$\boldsymbol{y}$；$\boldsymbol{k}$；$\boldsymbol{|k|}$
【知识点】
二次函数图象平移规律，二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础考查题，核心是掌握“上加下减常数项”的平移规则，注意平移距离需为非负数，避免误填负数。
【难度系数】
0.9
首先回忆二次函数图象的平移规律：“左加右减自变量，上加下减常数项”。对比抛物线$y=ax^2$和$y=ax^2+k$，二者的差异仅在常数项$k$，属于上下平移的范畴，上下平移是沿$y$轴方向进行的。再结合平移距离为非负数的要求，就能确定不同$k$取值对应的平移方向和距离。
【解析】
1. 确定平移对应的坐标轴：抛物线$y=ax^2$的顶点坐标为$(0,0)$，抛物线$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，两个顶点均在$y$轴上，因此图象是沿$y$轴上下平行移动得到的。
2. 确定平移单位长度：
当$k＞0$时，顶点$(0,k)$在$(0,0)$的上方，两点纵坐标的差为$k$，因此是向上平移$k$个单位长度；
当$k＜0$时，顶点$(0,k)$在$(0,0)$的下方，平移距离为非负数，因此向下平移$|k|$个单位长度。
【答案】
$\boldsymbol{y}$；$\boldsymbol{k}$；$\boldsymbol{|k|}$
【知识点】
二次函数图象平移规律，二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础考查题，核心是掌握“上加下减常数项”的平移规则，注意平移距离需为非负数，避免误填负数。
【难度系数】
0.9
7.将抛物线$y=-2x^2$向上平移2个单位长度后再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为。
答案
$\boldsymbol{y=-2x^2-1}$
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握二次函数图象的平移规律：上下平移时，对函数的常数项进行“上加下减”操作（向上平移n个单位，常数项加n；向下平移n个单位，常数项减n），左右平移才对自变量进行“左加右减”操作。本题仅涉及上下平移，因此只需逐步对原解析式的常数项按平移要求调整即可。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=-2x^2$：
1. 先向上平移2个单位长度，根据“上加下减”的规律，可得平移后的解析式为：$y=-2x^2 + 2$；
2. 再将得到的抛物线向下平移3个单位长度，继续按“上加下减”规律调整，解析式变为：$y=-2x^2 + 2 - 3$；
3. 化简后得：$y=-2x^2 -1$。
【答案】
$\boldsymbol{y=-2x^2-1}$
【知识点】
二次函数平移规律，二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查对平移口诀的理解和运用，只要牢记“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律，分清平移方向，就能准确求解，不易出错。
【难度系数】
0.85
解决本题的核心是掌握二次函数图象的平移规律：上下平移时，对函数的常数项进行“上加下减”操作（向上平移n个单位，常数项加n；向下平移n个单位，常数项减n），左右平移才对自变量进行“左加右减”操作。本题仅涉及上下平移，因此只需逐步对原解析式的常数项按平移要求调整即可。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=-2x^2$：
1. 先向上平移2个单位长度，根据“上加下减”的规律，可得平移后的解析式为：$y=-2x^2 + 2$；
2. 再将得到的抛物线向下平移3个单位长度，继续按“上加下减”规律调整，解析式变为：$y=-2x^2 + 2 - 3$；
3. 化简后得：$y=-2x^2 -1$。
【答案】
$\boldsymbol{y=-2x^2-1}$
【知识点】
二次函数平移规律，二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查对平移口诀的理解和运用，只要牢记“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律，分清平移方向，就能准确求解，不易出错。
【难度系数】
0.85
8.将抛物线$y=ax^2 +k$向下平移4个单位长度后，得到抛物线$y=-x^2$，则$a=$，$k=$.
答案
$a=-1$，$k=4$。
解析
【分析】
解决这道题首先要明确二次函数图象平移的核心规律：一是平移不会改变抛物线的开口方向和大小，因此二次项系数a是固定不变的；二是上下平移遵循“上加下减”的规则，即图象向下平移几个单位，函数表达式的常数项就减去几，向上平移则加上几。我们可以先根据平移前后a不变确定a的取值，再结合向下平移4个单位的条件列等式求出k的值。
【解析】
1. 确定a的值：二次函数平移时开口方向、大小不变，因此二次项系数a与平移后抛物线的二次项系数一致。已知平移后抛物线为$y=-x^2$，因此$a=-1$。
2. 推导平移后的函数表达式：原抛物线为$y=ax^2+k$，向下平移4个单位后，根据“上加下减”的规则，平移后的表达式为$y=ax^2+k-4$。
3. 求解k的值：将$a=-1$代入平移后的表达式，可得$y=-x^2+k-4$，该式与题目给出的平移后表达式$y=-x^2$完全相等，因此常数项满足$k-4=0$，解得$k=4$。
【答案】
$a=-1$，$k=4$
【知识点】
二次函数图象平移规律，二次函数系数性质
【点评】
本题属于二次函数平移类基础题，重点考察平移规则的应用，只要牢记平移时二次项系数不变，以及上下平移“上加下减”的运算原则，就能快速求解此类题型。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确二次函数图象平移的核心规律：一是平移不会改变抛物线的开口方向和大小，因此二次项系数a是固定不变的；二是上下平移遵循“上加下减”的规则，即图象向下平移几个单位，函数表达式的常数项就减去几，向上平移则加上几。我们可以先根据平移前后a不变确定a的取值，再结合向下平移4个单位的条件列等式求出k的值。
【解析】
1. 确定a的值：二次函数平移时开口方向、大小不变，因此二次项系数a与平移后抛物线的二次项系数一致。已知平移后抛物线为$y=-x^2$，因此$a=-1$。
2. 推导平移后的函数表达式：原抛物线为$y=ax^2+k$，向下平移4个单位后，根据“上加下减”的规则，平移后的表达式为$y=ax^2+k-4$。
3. 求解k的值：将$a=-1$代入平移后的表达式，可得$y=-x^2+k-4$，该式与题目给出的平移后表达式$y=-x^2$完全相等，因此常数项满足$k-4=0$，解得$k=4$。
【答案】
$a=-1$，$k=4$
【知识点】
二次函数图象平移规律，二次函数系数性质
【点评】
本题属于二次函数平移类基础题，重点考察平移规则的应用，只要牢记平移时二次项系数不变，以及上下平移“上加下减”的运算原则，就能快速求解此类题型。
【难度系数】
0.8
9. 抛物线$y=ax^2+c$的顶点是$A(0,3)$，且形状和开口方向都与抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$相同，则该抛物线的解析式为.
答案
解：
∵ 抛物线$y=ax^2+c$的形状和开口方向都与抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$相同，
∴ $a=\frac{1}{2}$。
∵ 抛物线$y=ax^2+c$的顶点为$A(0,3)$，
将$(0,3)$代入$y=\frac{1}{2}x^2 + c$，得$3 = \frac{1}{2} × 0^2 + c$，
解得$c=3$。
∴ 该抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}x^2 + 3$。
∵ 抛物线$y=ax^2+c$的形状和开口方向都与抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$相同，
∴ $a=\frac{1}{2}$。
∵ 抛物线$y=ax^2+c$的顶点为$A(0,3)$，
将$(0,3)$代入$y=\frac{1}{2}x^2 + c$，得$3 = \frac{1}{2} × 0^2 + c$，
解得$c=3$。
∴ 该抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}x^2 + 3$。
解析
【分析】
解题可分两步推导：首先，明确抛物线的形状和开口方向由二次项系数$a$决定，若两条抛物线形状、开口方向均相同，则二者的二次项系数相等，可先求出$a$的值；其次，已知抛物线的顶点坐标，将其代入含$a$的解析式中，就能求出常数项$c$，最终得到完整的抛物线解析式。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2+c$的形状和开口方向都与抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$相同，
∴ 二次项系数相等，即$a=\frac{1}{2}$。
∵ 抛物线$y=ax^2+c$的顶点为$A(0,3)$，
将$x=0$，$y=3$代入$y=\frac{1}{2}x^2 + c$，得$3 = \frac{1}{2} × 0^2 + c$，
解得$c=3$。
∴ 该抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}x^2 + 3$。
【答案】
$y=\frac{1}{2}x^2 + 3$
【知识点】
二次函数系数的意义；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查抛物线性质的基础应用，只要掌握二次项系数与抛物线开口、形状的对应关系，结合代入法计算即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题可分两步推导：首先，明确抛物线的形状和开口方向由二次项系数$a$决定，若两条抛物线形状、开口方向均相同，则二者的二次项系数相等，可先求出$a$的值；其次，已知抛物线的顶点坐标，将其代入含$a$的解析式中，就能求出常数项$c$，最终得到完整的抛物线解析式。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2+c$的形状和开口方向都与抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$相同，
∴ 二次项系数相等，即$a=\frac{1}{2}$。
∵ 抛物线$y=ax^2+c$的顶点为$A(0,3)$，
将$x=0$，$y=3$代入$y=\frac{1}{2}x^2 + c$，得$3 = \frac{1}{2} × 0^2 + c$，
解得$c=3$。
∴ 该抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}x^2 + 3$。
【答案】
$y=\frac{1}{2}x^2 + 3$
【知识点】
二次函数系数的意义；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查抛物线性质的基础应用，只要掌握二次项系数与抛物线开口、形状的对应关系，结合代入法计算即可快速求解。
【难度系数】
0.85
