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10.写出一个开口向上、对称轴是y轴、顶点在y轴负半轴上的抛物线的解析式
答案
解：
设抛物线的解析式为$y=ax^2+k$。
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$，可取$a=1$。
∵抛物线对称轴是y轴，顶点坐标为$(0,k)$，且顶点在y轴负半轴上，
∴$k＜0$，可取$k=-1$。
可得满足条件的一个抛物线解析式为$\boldsymbol{y=x^2-1}$（答案不唯一）。
设抛物线的解析式为$y=ax^2+k$。
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$，可取$a=1$。
∵抛物线对称轴是y轴，顶点坐标为$(0,k)$，且顶点在y轴负半轴上，
∴$k＜0$，可取$k=-1$。
可得满足条件的一个抛物线解析式为$\boldsymbol{y=x^2-1}$（答案不唯一）。
解析
【分析】
要写出符合要求的抛物线解析式，优先选用二次函数顶点式分析更简便：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：①$a$的符号决定开口方向，开口向上则$a＞0$；②对称轴为直线$x=h$，题目要求对称轴是y轴即$x=0$，因此$h=0$，解析式可简化为$y=ax^2+k$；③顶点坐标为$(h,k)$，顶点在y轴负半轴即横坐标为0、纵坐标小于0，因此$k＜0$。最后选取满足$a＞0$、$k＜0$的任意数值代入，即可得到符合条件的解析式。
【解析】
设抛物线的解析式为$y=ax^2+k$。
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$，可取$a=1$。
∵抛物线对称轴是y轴，顶点坐标为$(0,k)$，且顶点在y轴负半轴上，
∴$k＜0$，可取$k=-1$。
将$a=1$、$k=-1$代入解析式，可得满足条件的一个抛物线解析式。
【答案】
$y=x^2-1$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数的性质；二次函数顶点式；二次函数解析式确定
【点评】
本题是开放性基础题，核心考查二次函数顶点式中各参数的几何意义，只要掌握$a$、$h$、$k$分别对应抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标的规律，即可快速写出符合要求的解析式，注意本题答案不唯一，满足条件即可。
【难度系数】
0.8
要写出符合要求的抛物线解析式，优先选用二次函数顶点式分析更简便：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：①$a$的符号决定开口方向，开口向上则$a＞0$；②对称轴为直线$x=h$，题目要求对称轴是y轴即$x=0$，因此$h=0$，解析式可简化为$y=ax^2+k$；③顶点坐标为$(h,k)$，顶点在y轴负半轴即横坐标为0、纵坐标小于0，因此$k＜0$。最后选取满足$a＞0$、$k＜0$的任意数值代入，即可得到符合条件的解析式。
【解析】
设抛物线的解析式为$y=ax^2+k$。
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$，可取$a=1$。
∵抛物线对称轴是y轴，顶点坐标为$(0,k)$，且顶点在y轴负半轴上，
∴$k＜0$，可取$k=-1$。
将$a=1$、$k=-1$代入解析式，可得满足条件的一个抛物线解析式。
【答案】
$y=x^2-1$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数的性质；二次函数顶点式；二次函数解析式确定
【点评】
本题是开放性基础题，核心考查二次函数顶点式中各参数的几何意义，只要掌握$a$、$h$、$k$分别对应抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标的规律，即可快速写出符合要求的解析式，注意本题答案不唯一，满足条件即可。
【难度系数】
0.8
11.一次函数$y=bx+a$的图象如图所示，则二次函数$y=ax^2+b$的图象为（）
答案
$\boxed{B}$
解析
【分析】
解题时先从已知的一次函数图象入手，结合一次函数的图象性质判断系数a、b的正负，再根据二次函数$y=ax^2+b$的图象特征（开口方向、顶点位置）筛选正确选项：第一步，一次函数$y=kx+c$中，$k$的符号决定图象增减性，$c$是图象与y轴交点的纵坐标，据此得出$a$、$b$的符号；第二步，二次函数$y=ax^2+b$的开口方向由$a$的符号决定，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,b)$，结合$a$、$b$的符号即可匹配对应图象。
【解析】
观察一次函数$y=bx+a$的图象：
1. 图象从左到右下降，可得斜率$b＜0$；
2. 图象与y轴交于正半轴，可得x=0时$y=a＞0$。
分析二次函数$y=ax^2+b$的特征：
1. 二次项系数$a＞0$，因此抛物线开口向上，排除开口向下的C、D选项；
2. 该函数无一次项，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,b)$，结合$b＜0$可知顶点在y轴负半轴，排除顶点在y轴正半轴的A选项，只有B符合要求。
【答案】
$\boxed{B}$
【知识点】
一次函数的图象与性质，二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质
【点评】
本题是函数性质的基础应用题，需要学生熟练掌握一次函数、二次函数的图象和系数的对应关系，解题核心是通过已知函数的图象推导未知函数的系数符号。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的一次函数图象入手，结合一次函数的图象性质判断系数a、b的正负，再根据二次函数$y=ax^2+b$的图象特征（开口方向、顶点位置）筛选正确选项：第一步，一次函数$y=kx+c$中，$k$的符号决定图象增减性，$c$是图象与y轴交点的纵坐标，据此得出$a$、$b$的符号；第二步，二次函数$y=ax^2+b$的开口方向由$a$的符号决定，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,b)$，结合$a$、$b$的符号即可匹配对应图象。
【解析】
观察一次函数$y=bx+a$的图象：
1. 图象从左到右下降，可得斜率$b＜0$；
2. 图象与y轴交于正半轴，可得x=0时$y=a＞0$。
分析二次函数$y=ax^2+b$的特征：
1. 二次项系数$a＞0$，因此抛物线开口向上，排除开口向下的C、D选项；
2. 该函数无一次项，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,b)$，结合$b＜0$可知顶点在y轴负半轴，排除顶点在y轴正半轴的A选项，只有B符合要求。
【答案】
$\boxed{B}$
【知识点】
一次函数的图象与性质，二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质
【点评】
本题是函数性质的基础应用题，需要学生熟练掌握一次函数、二次函数的图象和系数的对应关系，解题核心是通过已知函数的图象推导未知函数的系数符号。
【难度系数】
0.7
12.抛物线$y=2x^2+1$上有两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，若$y_1＜y_2$，则下列结论正确的是（）
A.$0≤ x_1＜x_2$
B.$x_2＜x_1≤0$
C.$0≤ x_1＜x_2$或$x_2＜x_1≤0$
D.$|x_1|＜|x_2|$
A.$0≤ x_1＜x_2$
B.$x_2＜x_1≤0$
C.$0≤ x_1＜x_2$或$x_2＜x_1≤0$
D.$|x_1|＜|x_2|$
答案
D
解析
【分析】
首先明确抛物线$y=2x^2+1$的基本性质：开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值$y$越大。已知$y_1＜y_2$，说明点$A$到对称轴的距离小于点$B$到对称轴的距离，即横坐标的绝对值满足$|x_1|＜|x_2|$。同时可通过举反例排除仅考虑自变量在对称轴同侧的错误选项A、B、C，最终得到正确结论。
【解析】
抛物线$y=2x^2+1$的开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），其函数值的大小由点到对称轴的距离决定：点到y轴的距离越远，对应的$y$值越大。
因为$y_1＜y_2$，所以点$A(x_1,y_1)$到y轴的距离小于点$B(x_2,y_2)$到y轴的距离，即$|x_1|＜|x_2|$，故D选项正确。
举反例排除其他选项：取$x_1=-1$，$x_2=2$，代入抛物线得$y_1=2×(-1)^2+1=3$，$y_2=2×2^2+1=9$，满足$y_1＜y_2$。此时既不满足A选项$0≤ x_1＜x_2$，也不满足B选项$x_2＜x_1≤0$，更不符合C选项的两种情况，因此A、B、C均错误。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质，绝对值的几何意义
【点评】
本题重点考查二次函数的图象性质，解题时需结合开口方向、对称轴分析函数值与自变量的对应关系，要注意自变量可能分布在对称轴两侧的情况，避免仅考虑同侧情形错选C。
【难度系数】
0.6
首先明确抛物线$y=2x^2+1$的基本性质：开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值$y$越大。已知$y_1＜y_2$，说明点$A$到对称轴的距离小于点$B$到对称轴的距离，即横坐标的绝对值满足$|x_1|＜|x_2|$。同时可通过举反例排除仅考虑自变量在对称轴同侧的错误选项A、B、C，最终得到正确结论。
【解析】
抛物线$y=2x^2+1$的开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），其函数值的大小由点到对称轴的距离决定：点到y轴的距离越远，对应的$y$值越大。
因为$y_1＜y_2$，所以点$A(x_1,y_1)$到y轴的距离小于点$B(x_2,y_2)$到y轴的距离，即$|x_1|＜|x_2|$，故D选项正确。
举反例排除其他选项：取$x_1=-1$，$x_2=2$，代入抛物线得$y_1=2×(-1)^2+1=3$，$y_2=2×2^2+1=9$，满足$y_1＜y_2$。此时既不满足A选项$0≤ x_1＜x_2$，也不满足B选项$x_2＜x_1≤0$，更不符合C选项的两种情况，因此A、B、C均错误。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质，绝对值的几何意义
【点评】
本题重点考查二次函数的图象性质，解题时需结合开口方向、对称轴分析函数值与自变量的对应关系，要注意自变量可能分布在对称轴两侧的情况，避免仅考虑同侧情形错选C。
【难度系数】
0.6
13.已知二次函数$y=x^2 -2$，当$-1≤ x≤2$时，函数值$y$的取值范围是 （）
A.$-1≤ y≤2$
B.$-2≤ y≤2$
C.$0≤ y≤2$
D.$-1≤ y≤0$
A.$-1≤ y≤2$
B.$-2≤ y≤2$
C.$0≤ y≤2$
D.$-1≤ y≤0$
答案
B
解析
【分析】
求解定区间内二次函数的取值范围，可按照以下思路分析：首先明确二次函数的开口方向、对称轴，判断对称轴是否落在给定的x的取值区间内。若二次函数开口向上，顶点处取得最小值，最大值为区间两端点函数值中的较大值；若开口向下，顶点处取得最大值，最小值为区间两端点函数值中的较小值。本题中二次函数$y=x^2-2$开口向上，对称轴为$x=0$，落在区间$-1≤x≤2$内，因此先求顶点处的最小值，再比较区间两端点的函数值得到最大值，即可确定$y$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=x^2-2$，可变形为$y=(x-0)^2-2$：
1. 由二次项系数$a=1＞0$，可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,-2)$；
2. 因为对称轴$x=0$在区间$-1≤x≤2$内，所以当$x=0$时，$y$取得最小值，代入得$y_{\mathrm{min}}=0^2-2=-2$；
3. 分别计算区间两端点的函数值：
当$x=-1$时，$y=(-1)^2-2=-1$；
当$x=2$时，$y=2^2-2=2$；
4. 比较两个端点的函数值，$2＞-1$，因此$y$的最大值为$2$；
综上，当$-1≤x≤2$时，$y$的取值范围是$-2≤y≤2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 二次函数区间最值求解
【点评】
本题是二次函数取值范围求解的基础题型，解题关键是结合抛物线的开口方向、对称轴与给定区间的位置关系确定最值的取值点，注意不要忽略顶点处的最值，仅代入区间端点计算。
【难度系数】
0.8
求解定区间内二次函数的取值范围，可按照以下思路分析：首先明确二次函数的开口方向、对称轴，判断对称轴是否落在给定的x的取值区间内。若二次函数开口向上，顶点处取得最小值，最大值为区间两端点函数值中的较大值；若开口向下，顶点处取得最大值，最小值为区间两端点函数值中的较小值。本题中二次函数$y=x^2-2$开口向上，对称轴为$x=0$，落在区间$-1≤x≤2$内，因此先求顶点处的最小值，再比较区间两端点的函数值得到最大值，即可确定$y$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=x^2-2$，可变形为$y=(x-0)^2-2$：
1. 由二次项系数$a=1＞0$，可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,-2)$；
2. 因为对称轴$x=0$在区间$-1≤x≤2$内，所以当$x=0$时，$y$取得最小值，代入得$y_{\mathrm{min}}=0^2-2=-2$；
3. 分别计算区间两端点的函数值：
当$x=-1$时，$y=(-1)^2-2=-1$；
当$x=2$时，$y=2^2-2=2$；
4. 比较两个端点的函数值，$2＞-1$，因此$y$的最大值为$2$；
综上，当$-1≤x≤2$时，$y$的取值范围是$-2≤y≤2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 二次函数区间最值求解
【点评】
本题是二次函数取值范围求解的基础题型，解题关键是结合抛物线的开口方向、对称轴与给定区间的位置关系确定最值的取值点，注意不要忽略顶点处的最值，仅代入区间端点计算。
【难度系数】
0.8
14.已知二次函数$y=(k+2)x^2 +k^2 -3$的图象经过点(1,5)，且该抛物线有最低点，则k的值为 （）
A.2
B.－3
C.－3或2
D.－2或3
A.2
B.－3
C.－3或2
D.－2或3
答案
A
解析
【分析】
要解决本题，可分两步推导：①利用函数图象过点(1,5)的条件，将点坐标代入二次函数解析式，得到关于k的一元二次方程，求出k的候选值；②结合“抛物线有最低点”的性质分析：抛物线有最低点说明二次函数开口向上，即二次项系数大于0，同时二次函数的二次项系数不能为0，据此对候选值进行筛选，即可得到正确的k值。
【解析】
∵二次函数$y=(k+2)x^2 +k^2 -3$的图象经过点$(1,5)$，
∴将$x=1$，$y=5$代入解析式得：
$5=(k+2)×1^2 + k^2 -3$
整理得：$k^2 +k -6=0$
因式分解得：$(k+3)(k-2)=0$
解得：$k_1=2$，$k_2=-3$。
又
∵该抛物线有最低点，说明二次函数开口向上，二次项系数需大于0，
∴$k+2＞0$，解得$k＞-2$，
∴$k=-3$不符合条件，舍去，故$k=2$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，易错点是忽略“抛物线有最低点”的限制条件，直接将方程的两个解作为结果，解题时要注意结合二次项系数的取值范围对参数的解进行筛选。
【难度系数】
0.7
要解决本题，可分两步推导：①利用函数图象过点(1,5)的条件，将点坐标代入二次函数解析式，得到关于k的一元二次方程，求出k的候选值；②结合“抛物线有最低点”的性质分析：抛物线有最低点说明二次函数开口向上，即二次项系数大于0，同时二次函数的二次项系数不能为0，据此对候选值进行筛选，即可得到正确的k值。
【解析】
∵二次函数$y=(k+2)x^2 +k^2 -3$的图象经过点$(1,5)$，
∴将$x=1$，$y=5$代入解析式得：
$5=(k+2)×1^2 + k^2 -3$
整理得：$k^2 +k -6=0$
因式分解得：$(k+3)(k-2)=0$
解得：$k_1=2$，$k_2=-3$。
又
∵该抛物线有最低点，说明二次函数开口向上，二次项系数需大于0，
∴$k+2＞0$，解得$k＞-2$，
∴$k=-3$不符合条件，舍去，故$k=2$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，易错点是忽略“抛物线有最低点”的限制条件，直接将方程的两个解作为结果，解题时要注意结合二次项系数的取值范围对参数的解进行筛选。
【难度系数】
0.7
15.已知抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 +1$具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点$F(0,2)$的距离与到$x$轴的距离始终相等.如图，点$M$的坐标为$(\sqrt{3},3)$，$P$是抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 +1$上的一个动点，则$△ PMF$周长的最小值是（）
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
C
解析
【分析】
要计算△PMF周长的最小值，首先明确周长由PF、PM、MF三部分组成，其中F和M是定点，因此MF的长度为定值，只需找到PF+PM的最小值即可。根据题目给出的抛物线性质，抛物线上点P到F的距离等于P到x轴的距离，可将PF转化为P到x轴的垂线段长度，再利用垂线段最短的性质求出PF+PM的最小值，最后加上定值MF即可得到最小周长。
【解析】
解：△PMF的周长为$PF + PM + MF$。
1. 计算定值MF：
已知$F(0,2)$，$M(\sqrt{3},3)$，由两点间距离公式得：
$MF=\sqrt{(\sqrt{3}-0)^2 + (3-2)^2}=\sqrt{3+1}=2$，因此MF为定值2。
2. 求$PF+PM$的最小值：
根据题意，抛物线上任意一点到F的距离等于到x轴的距离，因此$PF$等于点P到x轴的垂线段长度。
根据垂线段最短的性质，过M作x轴的垂线，该垂线与抛物线的交点即为所求点P，此时$PF+PM$的最小值等于点M到x轴的距离。
因为M的纵坐标为3，所以M到x轴的距离为3，即$PF+PM$的最小值为3。
3. 计算最小周长：
△PMF周长的最小值为$2+3=5$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；最短路径问题；两点间距离计算
【点评】
本题结合二次函数性质考查最短路径的求解，解题的核心是利用题给抛物线性质将未知线段和进行转化，再结合几何最短原理求解，是二次函数综合类的典型题型。
【难度系数】
0.6
要计算△PMF周长的最小值，首先明确周长由PF、PM、MF三部分组成，其中F和M是定点，因此MF的长度为定值，只需找到PF+PM的最小值即可。根据题目给出的抛物线性质，抛物线上点P到F的距离等于P到x轴的距离，可将PF转化为P到x轴的垂线段长度，再利用垂线段最短的性质求出PF+PM的最小值，最后加上定值MF即可得到最小周长。
【解析】
解：△PMF的周长为$PF + PM + MF$。
1. 计算定值MF：
已知$F(0,2)$，$M(\sqrt{3},3)$，由两点间距离公式得：
$MF=\sqrt{(\sqrt{3}-0)^2 + (3-2)^2}=\sqrt{3+1}=2$，因此MF为定值2。
2. 求$PF+PM$的最小值：
根据题意，抛物线上任意一点到F的距离等于到x轴的距离，因此$PF$等于点P到x轴的垂线段长度。
根据垂线段最短的性质，过M作x轴的垂线，该垂线与抛物线的交点即为所求点P，此时$PF+PM$的最小值等于点M到x轴的距离。
因为M的纵坐标为3，所以M到x轴的距离为3，即$PF+PM$的最小值为3。
3. 计算最小周长：
△PMF周长的最小值为$2+3=5$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；最短路径问题；两点间距离计算
【点评】
本题结合二次函数性质考查最短路径的求解，解题的核心是利用题给抛物线性质将未知线段和进行转化，再结合几何最短原理求解，是二次函数综合类的典型题型。
【难度系数】
0.6
16.已知函数$y=\begin{cases}x^2+2(x≤2),\\x-2(x＞2).\end{cases}$
(1)在平面直角坐标系中画出它的图象；
(2)求当自变量$x=\sqrt{3}$时函数$y$的值；
(3)求当函数$y=8$时自变量$x$的值；
(4)当$-\sqrt{6}≤ x≤ t$时，$y$的取值范围为$0＜y≤8$，则$t$的取值范围为。
(1)在平面直角坐标系中画出它的图象；
(2)求当自变量$x=\sqrt{3}$时函数$y$的值；
(3)求当函数$y=8$时自变量$x$的值；
(4)当$-\sqrt{6}≤ x≤ t$时，$y$的取值范围为$0＜y≤8$，则$t$的取值范围为。
答案
解：
(1) 图象绘制说明：
当$x ≤ 2$时，函数为$y=x^2+2$，是开口向上的抛物线的一部分，取点$(-2,6)$、$(-1,3)$、$(0,2)$、$(1,3)$、$(2,6)$连线绘制；
当$x＞2$时，函数为$y=x-2$，是斜率为1的射线，取点$(3,1)$、$(6,4)$等，从点$(2,0)$（空心点）出发向右上方延伸，即可得到分段函数的完整图象。
(2) 因为$\sqrt{3} \approx 1.732 ＜ 2$，满足$x ≤ 2$的区间，将$x=\sqrt{3}$代入$y=x^2+2$：
$y=(\sqrt{3})^2 + 2 = 3 + 2 = 5$
即此时函数值$y=5$。
(3) 分两种情况讨论：
- 当$x ≤ 2$时，令$y=8$，即$x^2 + 2 = 8$，整理得$x^2=6$，解得$x=\sqrt{6}$（$\sqrt{6}＞2$，不符合$x ≤ 2$的条件，舍去）或$x=-\sqrt{6}$；
- 当$x ＞ 2$时，令$y=8$，即$x - 2 = 8$，解得$x=10$，符合$x＞2$的条件。
因此当$y=8$时，自变量$x$的值为$-\sqrt{6}$或$10$。
(4) $2 < t ≤ 10$
(1) 图象绘制说明：
当$x ≤ 2$时，函数为$y=x^2+2$，是开口向上的抛物线的一部分，取点$(-2,6)$、$(-1,3)$、$(0,2)$、$(1,3)$、$(2,6)$连线绘制；
当$x＞2$时，函数为$y=x-2$，是斜率为1的射线，取点$(3,1)$、$(6,4)$等，从点$(2,0)$（空心点）出发向右上方延伸，即可得到分段函数的完整图象。
(2) 因为$\sqrt{3} \approx 1.732 ＜ 2$，满足$x ≤ 2$的区间，将$x=\sqrt{3}$代入$y=x^2+2$：
$y=(\sqrt{3})^2 + 2 = 3 + 2 = 5$
即此时函数值$y=5$。
(3) 分两种情况讨论：
- 当$x ≤ 2$时，令$y=8$，即$x^2 + 2 = 8$，整理得$x^2=6$，解得$x=\sqrt{6}$（$\sqrt{6}＞2$，不符合$x ≤ 2$的条件，舍去）或$x=-\sqrt{6}$；
- 当$x ＞ 2$时，令$y=8$，即$x - 2 = 8$，解得$x=10$，符合$x＞2$的条件。
因此当$y=8$时，自变量$x$的值为$-\sqrt{6}$或$10$。
(4) $2 < t ≤ 10$
解析
【分析】
本题考查分段函数的图象与性质相关问题，解题思路如下：
(1) 画分段函数图象需按x的取值范围分两段处理：x≤2时对应二次函数$y=x^2+2$，取x≤2的部分，端点$(2,6)$为实心点；x＞2时对应一次函数$y=x-2$，取x＞2的部分，端点$(2,0)$为空心点，分别描出关键点后连线即可。
(2) 求$x=\sqrt{3}$的函数值时，先判断$\sqrt{3}＜2$，属于x≤2的区间，代入对应解析式计算即可。
(3) 求y=8对应的x值时，分两种情况讨论：分别代入两段函数的解析式解方程，再验证解是否符合对应x的取值范围，舍去不符合的解。
(4) 结合图象分析：$x=-\sqrt{6}$时y=8，是y的取值上限；x＞2时$y=x-2$单调递增，y=8时x=10，因此t不能超过10；同时要保证y的取值范围为$0＜y≤8$，t最小为4，最终得到t的范围。
【解析】
(1) 图象绘制步骤：
① 当$x ≤ 2$时，函数为$y=x^2+2$，是开口向上、顶点为$(0,2)$的抛物线，取$x ≤ 2$的部分，端点$(2,6)$为实心点；
② 当$x ＞ 2$时，函数为$y=x-2$，是斜率为1的射线，起点为空心点$(2,0)$，向右上方延伸；
在坐标系中描出各段的关键点，分别连线即得到该分段函数的图象。
(2) 先判断自变量所属区间：$\because \sqrt{3} ＜ 2$，属于$x ≤ 2$的范围，
$\therefore$ 将$x=\sqrt{3}$代入$y=x^2+2$，得$y=(\sqrt{3})^2 + 2 = 3 + 2 = 5$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$x ≤ 2$时，令$x^2+2=8$，解得$x^2=6$，即$x=\sqrt{6}$或$x=-\sqrt{6}$，
$\because \sqrt{6} ＞ 2$，不符合$x ≤ 2$的条件，故舍去，
$\therefore$ 该区间的解为$x=-\sqrt{6}$；
② 当$x ＞ 2$时，令$x-2=8$，解得$x=10$，符合$x ＞ 2$的条件。
综上，当$y=8$时，自变量$x$的值为$-\sqrt{6}$或$10$。
(4) 结合图象分析：当$x=-\sqrt{6}$时$y=8$，若$t＞10$则$y=x-2＞8$，超出取值范围；若$t＜4$，无法满足y的取值范围恰好为$0＜y≤8$，因此t的取值范围为$4 ≤ t ≤ 10$。
【答案】
(1) 图象见解析绘制步骤；
(2) $\boxed{5}$；
(3) $\boxed{-\sqrt{6}}$或$\boxed{10}$；
(4) $\boxed{4 ≤ t ≤ 10}$
【知识点】
分段函数、二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质
【点评】
本题围绕分段函数展开考查，需要注意分段函数求值时要先判断自变量所属的区间再代入对应解析式，求解对应函数值的自变量时要检验解是否符合区间要求，最后一问结合值域求参数范围需要结合函数图象分析，较好地考查了数形结合的思想和分类讨论的能力。
【难度系数】
0.6
本题考查分段函数的图象与性质相关问题，解题思路如下：
(1) 画分段函数图象需按x的取值范围分两段处理：x≤2时对应二次函数$y=x^2+2$，取x≤2的部分，端点$(2,6)$为实心点；x＞2时对应一次函数$y=x-2$，取x＞2的部分，端点$(2,0)$为空心点，分别描出关键点后连线即可。
(2) 求$x=\sqrt{3}$的函数值时，先判断$\sqrt{3}＜2$，属于x≤2的区间，代入对应解析式计算即可。
(3) 求y=8对应的x值时，分两种情况讨论：分别代入两段函数的解析式解方程，再验证解是否符合对应x的取值范围，舍去不符合的解。
(4) 结合图象分析：$x=-\sqrt{6}$时y=8，是y的取值上限；x＞2时$y=x-2$单调递增，y=8时x=10，因此t不能超过10；同时要保证y的取值范围为$0＜y≤8$，t最小为4，最终得到t的范围。
【解析】
(1) 图象绘制步骤：
① 当$x ≤ 2$时，函数为$y=x^2+2$，是开口向上、顶点为$(0,2)$的抛物线，取$x ≤ 2$的部分，端点$(2,6)$为实心点；
② 当$x ＞ 2$时，函数为$y=x-2$，是斜率为1的射线，起点为空心点$(2,0)$，向右上方延伸；
在坐标系中描出各段的关键点，分别连线即得到该分段函数的图象。
(2) 先判断自变量所属区间：$\because \sqrt{3} ＜ 2$，属于$x ≤ 2$的范围，
$\therefore$ 将$x=\sqrt{3}$代入$y=x^2+2$，得$y=(\sqrt{3})^2 + 2 = 3 + 2 = 5$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$x ≤ 2$时，令$x^2+2=8$，解得$x^2=6$，即$x=\sqrt{6}$或$x=-\sqrt{6}$，
$\because \sqrt{6} ＞ 2$，不符合$x ≤ 2$的条件，故舍去，
$\therefore$ 该区间的解为$x=-\sqrt{6}$；
② 当$x ＞ 2$时，令$x-2=8$，解得$x=10$，符合$x ＞ 2$的条件。
综上，当$y=8$时，自变量$x$的值为$-\sqrt{6}$或$10$。
(4) 结合图象分析：当$x=-\sqrt{6}$时$y=8$，若$t＞10$则$y=x-2＞8$，超出取值范围；若$t＜4$，无法满足y的取值范围恰好为$0＜y≤8$，因此t的取值范围为$4 ≤ t ≤ 10$。
【答案】
(1) 图象见解析绘制步骤；
(2) $\boxed{5}$；
(3) $\boxed{-\sqrt{6}}$或$\boxed{10}$；
(4) $\boxed{4 ≤ t ≤ 10}$
【知识点】
分段函数、二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质
【点评】
本题围绕分段函数展开考查，需要注意分段函数求值时要先判断自变量所属的区间再代入对应解析式，求解对应函数值的自变量时要检验解是否符合区间要求，最后一问结合值域求参数范围需要结合函数图象分析，较好地考查了数形结合的思想和分类讨论的能力。
【难度系数】
0.6
