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17.如图,抛物线$y=ax^2 -4$与$x$轴交于$A,B$两点(点$A$在点$B$的左边),与$y$轴交于点$C$,且$AB=OC$.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)$P$为第四象限内抛物线上的一点,设点$P$的横坐标为$m$.
①用含$m$的式子表示$S_{△ PAC}$;
②若$S_{△ PAC}=4$,求点$P$的坐标.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)$P$为第四象限内抛物线上的一点,设点$P$的横坐标为$m$.
①用含$m$的式子表示$S_{△ PAC}$;
②若$S_{△ PAC}=4$,求点$P$的坐标.
答案
解：
(1) 对于抛物线$y=ax^2 -4$，令$x=0$，得$y=-4$，
∴点$C$的坐标为$(0,-4)$，$OC=4$。
由$AB=OC$，得$AB=4$。
∵抛物线$y=ax^2 -4$的对称轴为$y$轴，
∴$A,B$两点关于$y$轴对称，
∴$OA=OB=2$。
∵点$A$在点$B$左侧，
∴$A(-2,0)$。
将$A(-2,0)$代入$y=ax^2 -4$，得：
$0 = a· (-2)^2 -4$，
解得$a=1$，
∴抛物线的函数解析式为$y=x^2 -4$。
(2) ① 设直线$AC$的解析式为$y=kx+b$，将$A(-2,0)$，$C(0,-4)$代入得：
$\begin{cases} -2k + b = 0 \\ b = -4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-2 \\ b=-4 \end{cases}$
∴直线$AC$的解析式为$y=-2x-4$。
过点$P$作$PD⊥ x$轴，交直线$AC$于点$D$，
∵点$P$的横坐标为$m$，且$P$在第四象限抛物线上，
∴$P(m, m^2 -4)$，$D(m, -2m -4)$，
∴$PD = (-2m -4) - (m^2 -4) = -m^2 -2m$。
$S_{△ PAC}=S_{△ PAD}+S_{△ PCD}=\frac{1}{2}· PD· (m+2) + \frac{1}{2}· PD· (-m) = -PD$，
∴$S_{△ PAC}=m^2 + 2m\quad (0＜m＜2)$。
② 令$S_{△ PAC}=4$，即$m^2 + 2m =4$，
整理得$m^2 + 2m -4=0$，
解得$m_1=-1+\sqrt{5}$，$m_2=-1-\sqrt{5}$。
∵$P$在第四象限，$m＞0$，
∴$m=\sqrt{5}-1$。
将$m=\sqrt{5}-1$代入$y=x^2-4$，得：
$y=(\sqrt{5}-1)^2 -4 = 2-2\sqrt{5}$，
∴点$P$的坐标为$(\sqrt{5}-1, 2-2\sqrt{5})$。
(1) 对于抛物线$y=ax^2 -4$，令$x=0$，得$y=-4$，
∴点$C$的坐标为$(0,-4)$，$OC=4$。
由$AB=OC$，得$AB=4$。
∵抛物线$y=ax^2 -4$的对称轴为$y$轴，
∴$A,B$两点关于$y$轴对称，
∴$OA=OB=2$。
∵点$A$在点$B$左侧，
∴$A(-2,0)$。
将$A(-2,0)$代入$y=ax^2 -4$，得：
$0 = a· (-2)^2 -4$，
解得$a=1$，
∴抛物线的函数解析式为$y=x^2 -4$。
(2) ① 设直线$AC$的解析式为$y=kx+b$，将$A(-2,0)$，$C(0,-4)$代入得：
$\begin{cases} -2k + b = 0 \\ b = -4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-2 \\ b=-4 \end{cases}$
∴直线$AC$的解析式为$y=-2x-4$。
过点$P$作$PD⊥ x$轴，交直线$AC$于点$D$，
∵点$P$的横坐标为$m$，且$P$在第四象限抛物线上，
∴$P(m, m^2 -4)$，$D(m, -2m -4)$，
∴$PD = (-2m -4) - (m^2 -4) = -m^2 -2m$。
$S_{△ PAC}=S_{△ PAD}+S_{△ PCD}=\frac{1}{2}· PD· (m+2) + \frac{1}{2}· PD· (-m) = -PD$，
∴$S_{△ PAC}=m^2 + 2m\quad (0＜m＜2)$。
② 令$S_{△ PAC}=4$，即$m^2 + 2m =4$，
整理得$m^2 + 2m -4=0$，
解得$m_1=-1+\sqrt{5}$，$m_2=-1-\sqrt{5}$。
∵$P$在第四象限，$m＞0$，
∴$m=\sqrt{5}-1$。
将$m=\sqrt{5}-1$代入$y=x^2-4$，得：
$y=(\sqrt{5}-1)^2 -4 = 2-2\sqrt{5}$，
∴点$P$的坐标为$(\sqrt{5}-1, 2-2\sqrt{5})$。
解析
【分析】
第(1)问解题思路
首先找抛物线与y轴交点C的坐标：令x=0代入抛物线解析式，可得C点纵坐标，进而得到OC的长度；结合已知AB=OC得到AB长，再根据抛物线$y=ax^2-4$的对称轴为y轴，可知A、B关于y轴对称，由此推出A点坐标，最后将A点坐标代入抛物线解析式即可求出a的值，得到函数解析式。
第(2)问解题思路
① 先用待定系数法，代入A、C两点坐标求出直线AC的解析式；过点P作PD垂直x轴交AC于D，用横坐标m分别表示P和D的坐标，进而求出线段PD的长度；将$△ PAC$的面积拆分为$△ PAD$和$△ PCD$的面积和，两个三角形同底PD，高之和等于OA的长度，化简后即可得到面积关于m的表达式，注意结合P在第四象限确定m的取值范围。
② 将$S_{△ PAC}=4$代入①所得的表达式，解一元二次方程，结合m的取值范围舍去不符合要求的根，再将符合要求的m代入抛物线解析式求出对应纵坐标，即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=ax^2 -4$，令$x=0$，得$y=-4$，
∴点$C$的坐标为$(0,-4)$，$OC=4$。
由$AB=OC$，得$AB=4$。
∵抛物线$y=ax^2 -4$的对称轴为$y$轴，
∴$A,B$两点关于$y$轴对称，
∴$OA=OB=2$。
∵点$A$在点$B$左侧，
∴$A(-2,0)$。
将$A(-2,0)$代入$y=ax^2 -4$，得：
$0 = a· (-2)^2 -4$，
解得$a=1$，
∴抛物线的函数解析式为$y=x^2 -4$。
(2) ① 设直线$AC$的解析式为$y=kx+b$，将$A(-2,0)$，$C(0,-4)$代入得：
$\begin{cases} -2k + b = 0 \\ b = -4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-2 \\ b=-4 \end{cases}$
∴直线$AC$的解析式为$y=-2x-4$。
过点$P$作$PD⊥ x$轴，交直线$AC$于点$D$，
∵点$P$的横坐标为$m$，且$P$在第四象限抛物线上，
∴$P(m, m^2 -4)$，$D(m, -2m -4)$，
∴$PD = (-2m -4) - (m^2 -4) = -m^2 -2m$。
$S_{△ PAC}=S_{△ PAD}+S_{△ PCD}=\frac{1}{2}· PD· (m+2) + \frac{1}{2}· PD· (-m) = -PD$，
∴$S_{△ PAC}=m^2 + 2m\quad (0＜m＜2)$。
② 令$S_{△ PAC}=4$，即$m^2 + 2m =4$，
整理得$m^2 + 2m -4=0$，
解得$m_1=-1+\sqrt{5}$，$m_2=-1-\sqrt{5}$。
∵$P$在第四象限，$m＞0$，
∴$m=\sqrt{5}-1$。
将$m=\sqrt{5}-1$代入$y=x^2-4$，得：
$y=(\sqrt{5}-1)^2 -4 = 2-2\sqrt{5}$，
∴点$P$的坐标为$(\sqrt{5}-1, 2-2\sqrt{5})$。
【答案】
(1) $y=x^2-4$
(2) ① $S_{△ PAC}=m^2+2m\ (0＜m＜2)$
② $(\sqrt{5}-1,2-2\sqrt{5})$
【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 待定系数法求解析式
3. 坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，将函数解析式求解和几何面积计算结合，既考查了基础运算能力，也考查了数形结合思想、割补法求面积的方法，解题时需注意结合点所在象限对计算结果进行取舍。
【难度系数】
0.6
第(1)问解题思路
首先找抛物线与y轴交点C的坐标：令x=0代入抛物线解析式，可得C点纵坐标，进而得到OC的长度；结合已知AB=OC得到AB长，再根据抛物线$y=ax^2-4$的对称轴为y轴，可知A、B关于y轴对称，由此推出A点坐标，最后将A点坐标代入抛物线解析式即可求出a的值，得到函数解析式。
第(2)问解题思路
① 先用待定系数法，代入A、C两点坐标求出直线AC的解析式；过点P作PD垂直x轴交AC于D，用横坐标m分别表示P和D的坐标，进而求出线段PD的长度；将$△ PAC$的面积拆分为$△ PAD$和$△ PCD$的面积和，两个三角形同底PD，高之和等于OA的长度，化简后即可得到面积关于m的表达式，注意结合P在第四象限确定m的取值范围。
② 将$S_{△ PAC}=4$代入①所得的表达式，解一元二次方程，结合m的取值范围舍去不符合要求的根，再将符合要求的m代入抛物线解析式求出对应纵坐标，即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=ax^2 -4$，令$x=0$，得$y=-4$，
∴点$C$的坐标为$(0,-4)$，$OC=4$。
由$AB=OC$，得$AB=4$。
∵抛物线$y=ax^2 -4$的对称轴为$y$轴，
∴$A,B$两点关于$y$轴对称，
∴$OA=OB=2$。
∵点$A$在点$B$左侧，
∴$A(-2,0)$。
将$A(-2,0)$代入$y=ax^2 -4$，得：
$0 = a· (-2)^2 -4$，
解得$a=1$，
∴抛物线的函数解析式为$y=x^2 -4$。
(2) ① 设直线$AC$的解析式为$y=kx+b$，将$A(-2,0)$，$C(0,-4)$代入得：
$\begin{cases} -2k + b = 0 \\ b = -4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-2 \\ b=-4 \end{cases}$
∴直线$AC$的解析式为$y=-2x-4$。
过点$P$作$PD⊥ x$轴，交直线$AC$于点$D$，
∵点$P$的横坐标为$m$，且$P$在第四象限抛物线上，
∴$P(m, m^2 -4)$，$D(m, -2m -4)$，
∴$PD = (-2m -4) - (m^2 -4) = -m^2 -2m$。
$S_{△ PAC}=S_{△ PAD}+S_{△ PCD}=\frac{1}{2}· PD· (m+2) + \frac{1}{2}· PD· (-m) = -PD$，
∴$S_{△ PAC}=m^2 + 2m\quad (0＜m＜2)$。
② 令$S_{△ PAC}=4$，即$m^2 + 2m =4$，
整理得$m^2 + 2m -4=0$，
解得$m_1=-1+\sqrt{5}$，$m_2=-1-\sqrt{5}$。
∵$P$在第四象限，$m＞0$，
∴$m=\sqrt{5}-1$。
将$m=\sqrt{5}-1$代入$y=x^2-4$，得：
$y=(\sqrt{5}-1)^2 -4 = 2-2\sqrt{5}$，
∴点$P$的坐标为$(\sqrt{5}-1, 2-2\sqrt{5})$。
【答案】
(1) $y=x^2-4$
(2) ① $S_{△ PAC}=m^2+2m\ (0＜m＜2)$
② $(\sqrt{5}-1,2-2\sqrt{5})$
【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 待定系数法求解析式
3. 坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，将函数解析式求解和几何面积计算结合，既考查了基础运算能力，也考查了数形结合思想、割补法求面积的方法，解题时需注意结合点所在象限对计算结果进行取舍。
【难度系数】
0.6
