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1. 抛物线$y=-2(x-3)^2$的顶点坐标是 （）
A.$(-3,0)$
B.$(3,0)$
C.$(0,-3)$
D.$(0,3)$
A.$(-3,0)$
B.$(3,0)$
C.$(0,-3)$
D.$(0,3)$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式的结构特征：形如$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的函数是二次函数的顶点式，其顶点坐标可直接由式中参数$h$、$k$确定为$(h,k)$。本题给出的函数解析式已经是顶点式的形式，只需要对应找到$h$、$k$的取值即可得到顶点坐标，需要格外注意$h$的符号，避免符号判断错误。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$a$、$h$、$k$为常数），该形式对应的顶点坐标为$(h,k)$。
将题中抛物线解析式$y=-2(x-3)^2$变形为顶点式的标准形式：$y=-2(x-3)^2+0$，对应可得$h=3$，$k=0$，因此该抛物线的顶点坐标为$(3,0)$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式的性质，二次函数顶点坐标求解
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对二次函数顶点式的理解与应用，解题的易错点是容易误将$h$的符号判断错误，只要熟练掌握顶点式的参数对应关系即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数顶点式的结构特征：形如$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的函数是二次函数的顶点式，其顶点坐标可直接由式中参数$h$、$k$确定为$(h,k)$。本题给出的函数解析式已经是顶点式的形式，只需要对应找到$h$、$k$的取值即可得到顶点坐标，需要格外注意$h$的符号，避免符号判断错误。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$a$、$h$、$k$为常数），该形式对应的顶点坐标为$(h,k)$。
将题中抛物线解析式$y=-2(x-3)^2$变形为顶点式的标准形式：$y=-2(x-3)^2+0$，对应可得$h=3$，$k=0$，因此该抛物线的顶点坐标为$(3,0)$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式的性质，二次函数顶点坐标求解
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对二次函数顶点式的理解与应用，解题的易错点是容易误将$h$的符号判断错误，只要熟练掌握顶点式的参数对应关系即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 下列抛物线中,对称轴为直线$x=-1$的是 （）
A.$y=-2(x+1)^2$
B.$y=-2(x-1)^2$
C.$y=-2x^2 -1$
D.$y=-2x^2 +1$
A.$y=-2(x+1)^2$
B.$y=-2(x-1)^2$
C.$y=-2x^2 -1$
D.$y=-2x^2 +1$
答案
A
解析
【分析】
这道题考查二次函数对称轴的判断，解题思路如下：首先牢记两种常见形式二次函数的对称轴公式：①顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的对称轴为直线$x=h$；②一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。再逐一计算每个选项的对称轴，和题干要求的直线$x=-1$比对，即可选出正确答案。
【解析】
我们根据二次函数对称轴的计算公式逐一分析选项：
1. 对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），对称轴为直线$x=h$：
选项A：$y=-2(x+1)^2$可改写为$y=-2[x-(-1)]^2$，对应$h=-1$，因此对称轴为直线$x=-1$，符合题干要求；
选项B：$y=-2(x-1)^2$中$h=1$，因此对称轴为直线$x=1$，不符合要求；
2. 对于一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$：
选项C：$y=-2x^2-1$中$a=-2$，$b=0$，代入公式得对称轴为直线$x=-\frac{0}{2×(-2)}=0$（即$y$轴），不符合要求；
选项D：$y=-2x^2+1$中$a=-2$，$b=0$，代入公式得对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），不符合要求。
综上，符合条件的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数顶点式的性质
【点评】
本题是二次函数章节的基础常考题，核心考查不同形式下二次函数对称轴的求解方法，只要熟练掌握对应公式，就能快速作答，是巩固二次函数基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.9
这道题考查二次函数对称轴的判断，解题思路如下：首先牢记两种常见形式二次函数的对称轴公式：①顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的对称轴为直线$x=h$；②一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。再逐一计算每个选项的对称轴，和题干要求的直线$x=-1$比对，即可选出正确答案。
【解析】
我们根据二次函数对称轴的计算公式逐一分析选项：
1. 对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），对称轴为直线$x=h$：
选项A：$y=-2(x+1)^2$可改写为$y=-2[x-(-1)]^2$，对应$h=-1$，因此对称轴为直线$x=-1$，符合题干要求；
选项B：$y=-2(x-1)^2$中$h=1$，因此对称轴为直线$x=1$，不符合要求；
2. 对于一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$：
选项C：$y=-2x^2-1$中$a=-2$，$b=0$，代入公式得对称轴为直线$x=-\frac{0}{2×(-2)}=0$（即$y$轴），不符合要求；
选项D：$y=-2x^2+1$中$a=-2$，$b=0$，代入公式得对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），不符合要求。
综上，符合条件的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数顶点式的性质
【点评】
本题是二次函数章节的基础常考题，核心考查不同形式下二次函数对称轴的求解方法，只要熟练掌握对应公式，就能快速作答，是巩固二次函数基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.9
3.如图，二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$的大致图象是（
）
）答案
解：在二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$中，
$\because a=\frac{1}{2}＞0$，
$\therefore$抛物线开口向上，排除开口向下的选项B、D；
该二次函数的顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$，排除对称轴为直线$x=-1$的选项A。
综上，答案为C。
$\because a=\frac{1}{2}＞0$，
$\therefore$抛物线开口向上，排除开口向下的选项B、D；
该二次函数的顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$，排除对称轴为直线$x=-1$的选项A。
综上，答案为C。
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分两步筛选正确选项：第一步先根据二次项系数a的正负判断抛物线的开口方向，排除开口方向不符合的选项；第二步再根据顶点式的特点确定抛物线的顶点坐标和对称轴，排除剩余选项中不符合的，最终得到正确答案。
【解析】
在二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$中：
1. 判断开口方向：
$\because$ 二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，
$\therefore$ 抛物线开口向上，选项B、D的抛物线开口向下，因此排除B、D；
2. 判断顶点与对称轴：
该函数是顶点式$y=a(x-h)^2$的形式，对应$h=1$，因此顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$。
选项A的对称轴为直线$x=-1$，不符合要求，因此排除A。
综上，只有选项C符合该二次函数的图象性质。
【答案】
C
【知识点】
二次函数开口判断；二次函数顶点式性质
【点评】
本题是二次函数图象的基础考查题，重点考察对顶点式$y=a(x-h)^2$图象性质的掌握，熟练记忆开口方向、顶点、对称轴的判断规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以分两步筛选正确选项：第一步先根据二次项系数a的正负判断抛物线的开口方向，排除开口方向不符合的选项；第二步再根据顶点式的特点确定抛物线的顶点坐标和对称轴，排除剩余选项中不符合的，最终得到正确答案。
【解析】
在二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$中：
1. 判断开口方向：
$\because$ 二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，
$\therefore$ 抛物线开口向上，选项B、D的抛物线开口向下，因此排除B、D；
2. 判断顶点与对称轴：
该函数是顶点式$y=a(x-h)^2$的形式，对应$h=1$，因此顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$。
选项A的对称轴为直线$x=-1$，不符合要求，因此排除A。
综上，只有选项C符合该二次函数的图象性质。
【答案】
C
【知识点】
二次函数开口判断；二次函数顶点式性质
【点评】
本题是二次函数图象的基础考查题，重点考察对顶点式$y=a(x-h)^2$图象性质的掌握，熟练记忆开口方向、顶点、对称轴的判断规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.抛物线$y=2(x-3)^2$可以通过平移抛物线$y=2x^2$得到，下列平移过程正确的是（）
A.向上平移3个单位长度
B.向下平移3个单位长度
C.向左平移3个单位长度
D.向右平移3个单位长度
A.向上平移3个单位长度
B.向下平移3个单位长度
C.向左平移3个单位长度
D.向右平移3个单位长度
答案
D
解析
【分析】
解决这道题需要用到二次函数图像平移的相关规律，我们可以通过两种思路推导：一是对比两条抛物线的顶点坐标，通过顶点的平移方向判断整个抛物线的平移过程；二是直接运用二次函数平移的口诀“左加右减，上加下减”分析函数式的变化，注意“左加右减”是针对自变量x的变化，“上加下减”是针对函数整体的常数项变化，不要混淆平移方向。
【解析】
方法一：对比顶点坐标
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$。
抛物线$y=2x^2$的顶点坐标为$(0,0)$；
抛物线$y=2(x-3)^2$的顶点坐标为$(3,0)$。
点$(0,0)$向右平移3个单位长度可得到点$(3,0)$，因此抛物线$y=2x^2$向右平移3个单位长度可得到$y=2(x-3)^2$。
方法二：运用平移口诀
二次函数平移遵循“左加右减，上加下减”的规则，其中左右平移改变自变量$x$的取值，上下平移改变函数的常数项。
从$y=2x^2$到$y=2(x-3)^2$，自变量$x$被替换为$x-3$，符合“右减”的规律，因此是向右平移3个单位长度。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数顶点式
【点评】
这道题是二次函数平移的基础考查题，核心是掌握平移规则，尤其要注意区分左右平移时“加对应左移、减对应右移”的规律，避免因记混方向出错。
【难度系数】
0.9
解决这道题需要用到二次函数图像平移的相关规律，我们可以通过两种思路推导：一是对比两条抛物线的顶点坐标，通过顶点的平移方向判断整个抛物线的平移过程；二是直接运用二次函数平移的口诀“左加右减，上加下减”分析函数式的变化，注意“左加右减”是针对自变量x的变化，“上加下减”是针对函数整体的常数项变化，不要混淆平移方向。
【解析】
方法一：对比顶点坐标
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$。
抛物线$y=2x^2$的顶点坐标为$(0,0)$；
抛物线$y=2(x-3)^2$的顶点坐标为$(3,0)$。
点$(0,0)$向右平移3个单位长度可得到点$(3,0)$，因此抛物线$y=2x^2$向右平移3个单位长度可得到$y=2(x-3)^2$。
方法二：运用平移口诀
二次函数平移遵循“左加右减，上加下减”的规则，其中左右平移改变自变量$x$的取值，上下平移改变函数的常数项。
从$y=2x^2$到$y=2(x-3)^2$，自变量$x$被替换为$x-3$，符合“右减”的规律，因此是向右平移3个单位长度。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数顶点式
【点评】
这道题是二次函数平移的基础考查题，核心是掌握平移规则，尤其要注意区分左右平移时“加对应左移、减对应右移”的规律，避免因记混方向出错。
【难度系数】
0.9
5.(开放性问题)有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点.
甲:“函数图象的顶点在$x$轴上.”
乙:“当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而减小.”
丙:“该函数图象的形状与函数$y=-x^2$的图象形状相同.”
已知这三位同学的描述都正确，请写出满足上述所有特点的一个二次函数解析式:.
甲:“函数图象的顶点在$x$轴上.”
乙:“当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而减小.”
丙:“该函数图象的形状与函数$y=-x^2$的图象形状相同.”
已知这三位同学的描述都正确，请写出满足上述所有特点的一个二次函数解析式:.
答案
$\boldsymbol{y=-(x+2)^2}$（答案不唯一）
解析
【分析】
我们可以借助二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）逐步推导解析式：第一步，先根据丙的描述确定二次项系数$a$的取值范围，图象形状和$y=-x^2$相同说明$|a|=1$；第二步，结合乙的描述分析开口方向和对称轴位置，$x＞-2$时$y$随$x$增大而减小，说明开口向下，对称轴在$x=-2$或其左侧，因此$a=-1$，$h≤-2$；第三步，结合甲的描述确定顶点纵坐标，顶点在$x$轴上说明$k=0$，最后取最简单的$h=-2$即可得到一个符合要求的解析式。
【解析】
设满足条件的二次函数解析式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）：
1. 由“函数图象的形状与$y=-x^2$的图象形状相同”，可得二次项系数绝对值相等，即$|a|=1$；
2. 由“当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而减小”，可知抛物线开口向下，且对称轴$x=h≤-2$，因此$a=-1$；
3. 由“函数图象的顶点在$x$轴上”，可知顶点纵坐标为0，即$k=0$；
取最简单的对称轴$h=-2$（取任意$h≤-2$均符合要求），代入得解析式为$y=-(x+2)^2$。
【答案】
$y=-(x+2)^2$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数顶点式；二次函数增减性
【点评】
本题属于开放性基础题，综合考查二次函数的系数、顶点、增减性等核心性质，解题时可先根据各个条件锁定参数的取值范围，再选取最简单的参数值快速得到答案。
【难度系数】
0.7
我们可以借助二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）逐步推导解析式：第一步，先根据丙的描述确定二次项系数$a$的取值范围，图象形状和$y=-x^2$相同说明$|a|=1$；第二步，结合乙的描述分析开口方向和对称轴位置，$x＞-2$时$y$随$x$增大而减小，说明开口向下，对称轴在$x=-2$或其左侧，因此$a=-1$，$h≤-2$；第三步，结合甲的描述确定顶点纵坐标，顶点在$x$轴上说明$k=0$，最后取最简单的$h=-2$即可得到一个符合要求的解析式。
【解析】
设满足条件的二次函数解析式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）：
1. 由“函数图象的形状与$y=-x^2$的图象形状相同”，可得二次项系数绝对值相等，即$|a|=1$；
2. 由“当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而减小”，可知抛物线开口向下，且对称轴$x=h≤-2$，因此$a=-1$；
3. 由“函数图象的顶点在$x$轴上”，可知顶点纵坐标为0，即$k=0$；
取最简单的对称轴$h=-2$（取任意$h≤-2$均符合要求），代入得解析式为$y=-(x+2)^2$。
【答案】
$y=-(x+2)^2$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数顶点式；二次函数增减性
【点评】
本题属于开放性基础题，综合考查二次函数的系数、顶点、增减性等核心性质，解题时可先根据各个条件锁定参数的取值范围，再选取最简单的参数值快速得到答案。
【难度系数】
0.7
6. 关于抛物线$y=-3(x-1)^2$，下列说法正确的是 （）
A.开口向上
B.对称轴是直线$x=-1$
C.$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小
D.顶点是$(1,0)$
A.开口向上
B.对称轴是直线$x=-1$
C.$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小
D.顶点是$(1,0)$
答案
D
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的图象与性质，解题思路如下：首先从给定的抛物线解析式中提取参数$a$和$h$的值，再结合顶点式的性质，依次判断开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标四个选项的正误即可。
【解析】
对于抛物线$y=-3(x-1)^2$，对照顶点式$y=a(x-h)^2$可得：$a=-3$，$h=1$。
选项A：$a=-3＜0$，抛物线开口向下，故A错误；
选项B：抛物线对称轴为直线$x=h=1$，不是直线$x=-1$，故B错误；
选项C：因抛物线开口向下，在对称轴右侧（即$x＞1$时），$y$随$x$的增大而减小；当$-1＜x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，故C错误；
选项D：抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，代入$h=1$得顶点为$(1,0)$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数对称轴；二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，熟练掌握顶点式中各参数对应的图象特征，即可快速判断选项正误，是二次函数部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的图象与性质，解题思路如下：首先从给定的抛物线解析式中提取参数$a$和$h$的值，再结合顶点式的性质，依次判断开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标四个选项的正误即可。
【解析】
对于抛物线$y=-3(x-1)^2$，对照顶点式$y=a(x-h)^2$可得：$a=-3$，$h=1$。
选项A：$a=-3＜0$，抛物线开口向下，故A错误；
选项B：抛物线对称轴为直线$x=h=1$，不是直线$x=-1$，故B错误；
选项C：因抛物线开口向下，在对称轴右侧（即$x＞1$时），$y$随$x$的增大而减小；当$-1＜x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，故C错误；
选项D：抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，代入$h=1$得顶点为$(1,0)$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数对称轴；二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，熟练掌握顶点式中各参数对应的图象特征，即可快速判断选项正误，是二次函数部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
7.已知二次函数$y=-2(x+1)^2$，当$x＞-1$时，y随x的增大而；当$x＜-1$时，y随x的增大而。
答案
减小；增大。
解析
【分析】
解决这类二次函数增减性问题，可按以下思路思考：第一步先从二次函数顶点式中提取二次项系数$a$，根据$a$的正负判断抛物线的开口方向；第二步确定抛物线的对称轴；第三步结合开口方向，判断对称轴左右两侧的增减性规律，最后匹配题干给出的x的取值范围，即可得出结论。本题中二次函数为顶点式，开口向下，对称轴为$x=-1$，开口向下的抛物线满足对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小，对应x的范围就能得到答案。
【解析】
对于二次函数$y=-2(x+1)^2$：
1. 二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 该函数是顶点式$y=a(x-h)^2$的形式，对应的对称轴为直线$x=-1$；
3. 开口向下的抛物线，在对称轴右侧（即$x＞-1$时），y随x的增大而减小；在对称轴左侧（即$x＜-1$时），y随x的增大而增大。
【答案】
减小；增大
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，只要掌握开口方向、对称轴与增减性的对应关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解决这类二次函数增减性问题，可按以下思路思考：第一步先从二次函数顶点式中提取二次项系数$a$，根据$a$的正负判断抛物线的开口方向；第二步确定抛物线的对称轴；第三步结合开口方向，判断对称轴左右两侧的增减性规律，最后匹配题干给出的x的取值范围，即可得出结论。本题中二次函数为顶点式，开口向下，对称轴为$x=-1$，开口向下的抛物线满足对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小，对应x的范围就能得到答案。
【解析】
对于二次函数$y=-2(x+1)^2$：
1. 二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 该函数是顶点式$y=a(x-h)^2$的形式，对应的对称轴为直线$x=-1$；
3. 开口向下的抛物线，在对称轴右侧（即$x＞-1$时），y随x的增大而减小；在对称轴左侧（即$x＜-1$时），y随x的增大而增大。
【答案】
减小；增大
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，只要掌握开口方向、对称轴与增减性的对应关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
