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8. 已知抛物线$y=a(x-2)^2$经过点$(4,1)$，则此抛物线的解析式为.
答案
解：
将点$(4,1)$代入$y=a(x-2)^2$，得：
$1=a·(4-2)^2$
化简得$4a=1$，解得$a=\frac{1}{4}$
因此此抛物线的解析式为$y=\frac{1}{4}(x-2)^2$。
将点$(4,1)$代入$y=a(x-2)^2$，得：
$1=a·(4-2)^2$
化简得$4a=1$，解得$a=\frac{1}{4}$
因此此抛物线的解析式为$y=\frac{1}{4}(x-2)^2$。
解析
【分析】
本题给出的抛物线为顶点式，仅含有未知参数$a$，要求解析式只需先求出$a$的值即可。根据函数图象的性质：函数图象上任意一点的坐标都满足函数解析式，因此可将已知点$(4,1)$代入给定的顶点式，得到关于$a$的一元一次方程，解方程求出$a$后代回原式，即可得到完整的抛物线解析式。
【解析】
将点$(4,1)$代入$y=a(x-2)^2$，得：
$1=a·(4-2)^2$
化简得$4a=1$，解得$a=\frac{1}{4}$
将$a=\frac{1}{4}$代回原式，即可得到抛物线的解析式。
【答案】
$y=\frac{1}{4}(x-2)^2$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数点坐标特征
【点评】
本题属于基础常规题，核心考查顶点式二次函数解析式的求解方法，解题关键是理解二次函数图象上的点的坐标符合对应函数解析式，是必须熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.9
本题给出的抛物线为顶点式，仅含有未知参数$a$，要求解析式只需先求出$a$的值即可。根据函数图象的性质：函数图象上任意一点的坐标都满足函数解析式，因此可将已知点$(4,1)$代入给定的顶点式，得到关于$a$的一元一次方程，解方程求出$a$后代回原式，即可得到完整的抛物线解析式。
【解析】
将点$(4,1)$代入$y=a(x-2)^2$，得：
$1=a·(4-2)^2$
化简得$4a=1$，解得$a=\frac{1}{4}$
将$a=\frac{1}{4}$代回原式，即可得到抛物线的解析式。
【答案】
$y=\frac{1}{4}(x-2)^2$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数点坐标特征
【点评】
本题属于基础常规题，核心考查顶点式二次函数解析式的求解方法，解题关键是理解二次函数图象上的点的坐标符合对应函数解析式，是必须熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.9
9.已知抛物线$y=2(x-1)^2$上有两点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，且$x_1＜x_2＜1$，则$y_1$$y_2$（填“＜”“=”或“＞”）。
答案
$＞$
解析
【分析】
要比较抛物线上两点的纵坐标大小，可结合二次函数的增减性分析：首先先确定所给抛物线的开口方向和对称轴，再判断两个点的横坐标所在的区间，最后结合对应区间的增减性即可得出$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
解：已知抛物线解析式为$y=2(x-1)^2$，
∴$a=2＞0$，抛物线开口向上，且对称轴为直线$x=1$，
由此可得：当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，
∵$x_1＜x_2＜1$，两点均在对称轴左侧，
∴$y_1＞y_2$。
【答案】
$＞$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考题，解题关键是先明确抛物线的开口方向与对称轴，再结合点的横坐标范围和增减性判断函数值大小，掌握二次函数的增减性规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要比较抛物线上两点的纵坐标大小，可结合二次函数的增减性分析：首先先确定所给抛物线的开口方向和对称轴，再判断两个点的横坐标所在的区间，最后结合对应区间的增减性即可得出$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
解：已知抛物线解析式为$y=2(x-1)^2$，
∴$a=2＞0$，抛物线开口向上，且对称轴为直线$x=1$，
由此可得：当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，
∵$x_1＜x_2＜1$，两点均在对称轴左侧，
∴$y_1＞y_2$。
【答案】
$＞$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考题，解题关键是先明确抛物线的开口方向与对称轴，再结合点的横坐标范围和增减性判断函数值大小，掌握二次函数的增减性规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10.平行于$x$轴的直线与抛物线$y=a(x-2)^2$的一个交点坐标是$(-1,2)$，则另一个交点的坐标是________。
答案
解：
将点$(-1,2)$代入抛物线解析式$y=a(x-2)^2$，得
$2 = a(-1-2)^2$
解得$a=\frac{2}{9}$，
因此抛物线的解析式为$y=\frac{2}{9}(x-2)^2$。
由题意可知，平行于$x$轴的直线的解析式为$y=2$，
令$y=2$，则$\frac{2}{9}(x-2)^2=2$，
整理得$(x-2)^2=9$，
解得$x_1=-1$，$x_2=5$，
所以另一个交点的坐标是$\boldsymbol{(5,2)}$。
将点$(-1,2)$代入抛物线解析式$y=a(x-2)^2$，得
$2 = a(-1-2)^2$
解得$a=\frac{2}{9}$，
因此抛物线的解析式为$y=\frac{2}{9}(x-2)^2$。
由题意可知，平行于$x$轴的直线的解析式为$y=2$，
令$y=2$，则$\frac{2}{9}(x-2)^2=2$，
整理得$(x-2)^2=9$，
解得$x_1=-1$，$x_2=5$，
所以另一个交点的坐标是$\boldsymbol{(5,2)}$。
解析
【分析】
解题可通过两种思路推导：思路一：①已知交点在抛物线上，可先将已知点坐标代入抛物线解析式求出参数a，得到完整的抛物线解析式；②平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，因此该直线解析式为y=2；③令抛物线解析式中y=2，解一元二次方程得到两个横坐标，排除已知的x=-1，即可得到另一个交点的横坐标，纵坐标保持为2。思路二：利用抛物线对称性，抛物线y=a(x-2)²的对称轴为直线x=2，平行于x轴的直线与抛物线的两个交点关于对称轴对称，根据已知点横坐标即可快速求出对称点的横坐标。
【解析】
将点$(-1,2)$代入抛物线解析式$y=a(x-2)^2$，得
$2 = a(-1-2)^2$
解得$a=\frac{2}{9}$，
因此抛物线的解析式为$y=\frac{2}{9}(x-2)^2$。
由题意可知，平行于$x$轴的直线的解析式为$y=2$，
令$y=2$，则$\frac{2}{9}(x-2)^2=2$，
整理得$(x-2)^2=9$，
解得$x_1=-1$，$x_2=5$，
所以另一个交点的坐标是$(5,2)$。
【答案】
$\boldsymbol{(5,2)}$
【知识点】
二次函数图象性质，待定系数法求解析式，函数交点求解
【点评】
本题是二次函数基础题型，既可以通过常规的待定系数法联立方程求解，也可利用抛物线的对称性快速得到结果，能够有效巩固对二次函数$y=a(x-h)^2$相关性质的掌握。
【难度系数】
0.8
解题可通过两种思路推导：思路一：①已知交点在抛物线上，可先将已知点坐标代入抛物线解析式求出参数a，得到完整的抛物线解析式；②平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，因此该直线解析式为y=2；③令抛物线解析式中y=2，解一元二次方程得到两个横坐标，排除已知的x=-1，即可得到另一个交点的横坐标，纵坐标保持为2。思路二：利用抛物线对称性，抛物线y=a(x-2)²的对称轴为直线x=2，平行于x轴的直线与抛物线的两个交点关于对称轴对称，根据已知点横坐标即可快速求出对称点的横坐标。
【解析】
将点$(-1,2)$代入抛物线解析式$y=a(x-2)^2$，得
$2 = a(-1-2)^2$
解得$a=\frac{2}{9}$，
因此抛物线的解析式为$y=\frac{2}{9}(x-2)^2$。
由题意可知，平行于$x$轴的直线的解析式为$y=2$，
令$y=2$，则$\frac{2}{9}(x-2)^2=2$，
整理得$(x-2)^2=9$，
解得$x_1=-1$，$x_2=5$，
所以另一个交点的坐标是$(5,2)$。
【答案】
$\boldsymbol{(5,2)}$
【知识点】
二次函数图象性质，待定系数法求解析式，函数交点求解
【点评】
本题是二次函数基础题型，既可以通过常规的待定系数法联立方程求解，也可利用抛物线的对称性快速得到结果，能够有效巩固对二次函数$y=a(x-h)^2$相关性质的掌握。
【难度系数】
0.8
11.已知二次函数$y=-(x+m)^2$，当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小，则（）
A.$m=2$
B.$m=-2$
C.$m≥ -2$
D.$m≥ 2$
A.$m=2$
B.$m=-2$
C.$m≥ -2$
D.$m≥ 2$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先明确该二次函数的开口方向，再根据顶点式确定对称轴，结合开口向下的二次函数“对称轴右侧y随x增大而减小”的增减性规律，判断x＞2的区间与对称轴的位置关系，列出不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
1. 二次函数$y=-(x+m)^2$中，二次项系数$a=-1＜0$，因此函数图象开口向下；
2. 该函数为顶点式，其对称轴为直线$x=-m$；
3. 开口向下的二次函数，在对称轴右侧（即$x≥ -m$时），$y$随$x$的增大而减小；
4. 题目要求当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小，说明$x＞2$的区间需包含在$x≥ -m$的范围内，因此可得不等式：$-m≤ 2$；
5. 解不等式，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$m≥ -2$。
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
顶点式二次函数性质、二次函数增减性、一元一次不等式求解
【点评】
本题重点考查二次函数的增减性应用，解题核心是准确判断对称轴位置与给定区间的关系，需注意不要遗漏对称轴与区间左端点重合的情况，同时求解不等式时要注意不等号方向的变化。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确该二次函数的开口方向，再根据顶点式确定对称轴，结合开口向下的二次函数“对称轴右侧y随x增大而减小”的增减性规律，判断x＞2的区间与对称轴的位置关系，列出不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
1. 二次函数$y=-(x+m)^2$中，二次项系数$a=-1＜0$，因此函数图象开口向下；
2. 该函数为顶点式，其对称轴为直线$x=-m$；
3. 开口向下的二次函数，在对称轴右侧（即$x≥ -m$时），$y$随$x$的增大而减小；
4. 题目要求当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小，说明$x＞2$的区间需包含在$x≥ -m$的范围内，因此可得不等式：$-m≤ 2$；
5. 解不等式，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$m≥ -2$。
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
顶点式二次函数性质、二次函数增减性、一元一次不等式求解
【点评】
本题重点考查二次函数的增减性应用，解题核心是准确判断对称轴位置与给定区间的关系，需注意不要遗漏对称轴与区间左端点重合的情况，同时求解不等式时要注意不等号方向的变化。
【难度系数】
0.7
12.若点$P(m,n)$在抛物线$y=ax^2(a≠0)$上，则下列各点在抛物线$y=a(x+1)^2$上的是（）
A.$(m,n+1)$
B.$(m+1,n)$
C.$(m,n-1)$
D.$(m-1,n)$
A.$(m,n+1)$
B.$(m+1,n)$
C.$(m,n-1)$
D.$(m-1,n)$
答案
D
解析
【分析】
解题可从两个思路入手：①点在抛物线上的判定规则：若点的坐标满足抛物线解析式，则点在抛物线上。已知点P(m,n)在y=ax²上，可先得到n=am²的关系式，再将各选项的坐标代入y=a(x+1)²验证是否成立即可；②利用二次函数图像平移规律：y=a(x+1)²是y=ax²向左平移1个单位得到的，图像平移时所有点的横坐标减1、纵坐标不变，可直接推导对应点坐标。
【解析】
方法一：代入验证法
∵点P(m,n)在抛物线y=ax²上
∴将P(m,n)代入解析式得：$n = am^2$
对各选项逐一验证：
A. 把$x=m$代入$y=a(x+1)^2$，得$y=a(m+1)^2=am^2+2am+a=n+2am+a≠n+1$，不符合；
B. 把$x=m+1$代入$y=a(x+1)^2$，得$y=a(m+1+1)^2=a(m+2)^2≠n$，不符合；
C. 把$x=m$代入$y=a(x+1)^2$，得$y=a(m+1)^2≠n-1$，不符合；
D. 把$x=m-1$代入$y=a(x+1)^2$，得$y=a(m-1+1)^2=am^2=n$，符合点在抛物线上的条件。
方法二：平移法
抛物线$y=a(x+1)^2$是由$y=ax^2$向左平移1个单位长度得到的，根据图像平移“横坐标左减右加、纵坐标不变”的规律，原抛物线上的点$(m,n)$平移后对应的点横坐标为$m-1$，纵坐标仍为$n$，即点$(m-1,n)$在抛物线$y=a(x+1)^2$上。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像上点的坐标特征；二次函数图像的平移
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，两种解题方法中，代入验证法思路直接易理解，平移法解题速度更快，熟练掌握二次函数的平移规律和点与函数解析式的关系就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题可从两个思路入手：①点在抛物线上的判定规则：若点的坐标满足抛物线解析式，则点在抛物线上。已知点P(m,n)在y=ax²上，可先得到n=am²的关系式，再将各选项的坐标代入y=a(x+1)²验证是否成立即可；②利用二次函数图像平移规律：y=a(x+1)²是y=ax²向左平移1个单位得到的，图像平移时所有点的横坐标减1、纵坐标不变，可直接推导对应点坐标。
【解析】
方法一：代入验证法
∵点P(m,n)在抛物线y=ax²上
∴将P(m,n)代入解析式得：$n = am^2$
对各选项逐一验证：
A. 把$x=m$代入$y=a(x+1)^2$，得$y=a(m+1)^2=am^2+2am+a=n+2am+a≠n+1$，不符合；
B. 把$x=m+1$代入$y=a(x+1)^2$，得$y=a(m+1+1)^2=a(m+2)^2≠n$，不符合；
C. 把$x=m$代入$y=a(x+1)^2$，得$y=a(m+1)^2≠n-1$，不符合；
D. 把$x=m-1$代入$y=a(x+1)^2$，得$y=a(m-1+1)^2=am^2=n$，符合点在抛物线上的条件。
方法二：平移法
抛物线$y=a(x+1)^2$是由$y=ax^2$向左平移1个单位长度得到的，根据图像平移“横坐标左减右加、纵坐标不变”的规律，原抛物线上的点$(m,n)$平移后对应的点横坐标为$m-1$，纵坐标仍为$n$，即点$(m-1,n)$在抛物线$y=a(x+1)^2$上。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像上点的坐标特征；二次函数图像的平移
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，两种解题方法中，代入验证法思路直接易理解，平移法解题速度更快，熟练掌握二次函数的平移规律和点与函数解析式的关系就能快速解题。
【难度系数】
0.8
13.已知抛物线$y=2(x-1)^2$经过$(m,n),(m+3,n)$两点，则$n$的值为 （）
A.$\frac{9}{2}$
B.$-\frac{9}{2}$
C.$1$
D.$-\frac{1}{2}$
A.$\frac{9}{2}$
B.$-\frac{9}{2}$
C.$1$
D.$-\frac{1}{2}$
答案
A
解析
【分析】
首先观察到已知两点的纵坐标相同，说明这两点是抛物线上关于对称轴对称的点。第一步先确定抛物线$y=2(x-1)^2$的对称轴，第二步利用对称点横坐标的中点在对称轴上列方程求出m的值，第三步将点的坐标代入抛物线解析式即可求出n的值。
【解析】
解：对于抛物线$y=2(x-1)^2$，其对称轴为直线$x=1$。
∵ 点$(m,n)$和$(m+3,n)$的纵坐标相同，
∴ 这两点关于抛物线的对称轴对称，两点横坐标的中点在对称轴上，即：
$\frac{m + (m + 3)}{2} = 1$
解方程得：
$2m + 3 = 2$
$2m = -1$
$m = -\frac{1}{2}$
将$m = -\frac{1}{2}$代入$y=2(x-1)^2$得：
$n = 2×(-\frac{1}{2} - 1)^2 = 2×(-\frac{3}{2})^2 = 2×\frac{9}{4} = \frac{9}{2}$
【答案】
A
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题的核心是利用纵坐标相同的两点关于对称轴对称的性质，先求出参数m的取值，再代入解析式计算结果，属于二次函数性质的常规考点。
【难度系数】
0.7
首先观察到已知两点的纵坐标相同，说明这两点是抛物线上关于对称轴对称的点。第一步先确定抛物线$y=2(x-1)^2$的对称轴，第二步利用对称点横坐标的中点在对称轴上列方程求出m的值，第三步将点的坐标代入抛物线解析式即可求出n的值。
【解析】
解：对于抛物线$y=2(x-1)^2$，其对称轴为直线$x=1$。
∵ 点$(m,n)$和$(m+3,n)$的纵坐标相同，
∴ 这两点关于抛物线的对称轴对称，两点横坐标的中点在对称轴上，即：
$\frac{m + (m + 3)}{2} = 1$
解方程得：
$2m + 3 = 2$
$2m = -1$
$m = -\frac{1}{2}$
将$m = -\frac{1}{2}$代入$y=2(x-1)^2$得：
$n = 2×(-\frac{1}{2} - 1)^2 = 2×(-\frac{3}{2})^2 = 2×\frac{9}{4} = \frac{9}{2}$
【答案】
A
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题的核心是利用纵坐标相同的两点关于对称轴对称的性质，先求出参数m的取值，再代入解析式计算结果，属于二次函数性质的常规考点。
【难度系数】
0.7
14.(新课标·推理能力)【探究】已知二次函数$y=-x^2+4$.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象(不要求列表);
(2)该二次函数$y=-x^2+4$的图象可由二次函数$y=-x^2$的图象向平移个单位长度得到;
(3)当$-1≤x≤3$时,函数值$y$的取值范围是.
【应用】已知二次函数$y=-(x-h)^2$($h$是常数),且自变量$x$的取值范围是$2≤x≤5$.
(4)当$h=3$时,求该二次函数的最大值;
(5)若该二次函数的最大值为$-1$,求$h$的值.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象(不要求列表);
(2)该二次函数$y=-x^2+4$的图象可由二次函数$y=-x^2$的图象向平移个单位长度得到;
(3)当$-1≤x≤3$时,函数值$y$的取值范围是.
【应用】已知二次函数$y=-(x-h)^2$($h$是常数),且自变量$x$的取值范围是$2≤x≤5$.
(4)当$h=3$时,求该二次函数的最大值;
(5)若该二次函数的最大值为$-1$,求$h$的值.
答案
解：
(1) 该函数为开口向下的抛物线，顶点坐标为$(0,4)$，与x轴交于$(-2,0)$、$(2,0)$两点，据此在坐标系中画出大致抛物线即可。
(2) 上；4
(3) 函数$y=-x^2+4$开口向下，对称轴为y轴，在$-1≤ x≤3$范围内：
当$x=0$时，y取最大值4；当$x=3$时，y取最小值$-3^2+4=-5$，
因此函数值y的取值范围是$\boldsymbol{-5≤ y≤ 4}$。
(4) 当$h=3$时，二次函数解析式为$y=-(x-3)^2$，图象开口向下，对称轴为直线$x=3$。
$\because 2≤ x≤5$包含对称轴$x=3$，
$\therefore$ 当$x=3$时，该二次函数取得最大值，最大值为0。
(5) $\because$ 二次函数$y=-(x-h)^2$开口向下，其本身最大值为0，当$2≤ x≤5$时最大值为$-1$，说明对称轴$x=h$不在区间$2≤ x≤5$内：
① 当$h＜2$时，在$2≤ x≤5$范围内y随x的增大而减小，
则$x=2$时y取最大值，即$-(2-h)^2=-1$，
解得$h_1=1$，$h_2=3$（不符合$h＜2$，舍去）；
② 当$h＞5$时，在$2≤ x≤5$范围内y随x的增大而增大，
则$x=5$时y取最大值，即$-(5-h)^2=-1$，
解得$h_1=6$，$h_2=4$（不符合$h＞5$，舍去）。
综上，h的值为1或6。
(1) 该函数为开口向下的抛物线，顶点坐标为$(0,4)$，与x轴交于$(-2,0)$、$(2,0)$两点，据此在坐标系中画出大致抛物线即可。
(2) 上；4
(3) 函数$y=-x^2+4$开口向下，对称轴为y轴，在$-1≤ x≤3$范围内：
当$x=0$时，y取最大值4；当$x=3$时，y取最小值$-3^2+4=-5$，
因此函数值y的取值范围是$\boldsymbol{-5≤ y≤ 4}$。
(4) 当$h=3$时，二次函数解析式为$y=-(x-3)^2$，图象开口向下，对称轴为直线$x=3$。
$\because 2≤ x≤5$包含对称轴$x=3$，
$\therefore$ 当$x=3$时，该二次函数取得最大值，最大值为0。
(5) $\because$ 二次函数$y=-(x-h)^2$开口向下，其本身最大值为0，当$2≤ x≤5$时最大值为$-1$，说明对称轴$x=h$不在区间$2≤ x≤5$内：
① 当$h＜2$时，在$2≤ x≤5$范围内y随x的增大而减小，
则$x=2$时y取最大值，即$-(2-h)^2=-1$，
解得$h_1=1$，$h_2=3$（不符合$h＜2$，舍去）；
② 当$h＞5$时，在$2≤ x≤5$范围内y随x的增大而增大，
则$x=5$时y取最大值，即$-(5-h)^2=-1$，
解得$h_1=6$，$h_2=4$（不符合$h＞5$，舍去）。
综上，h的值为1或6。
解析
【分析】
本题围绕二次函数的性质逐步设问，解题思路如下：
1. 第(1)问画函数图像：先确定二次函数的开口方向、顶点坐标、与坐标轴的交点，即可描点画出大致图像；
2. 第(2)问考查函数平移规律：根据“上加下减常数项”的平移法则，直接判断平移方向和距离；
3. 第(3)问求给定x区间的y取值范围：先明确函数开口方向和对称轴，分别计算对称轴处、区间端点的函数值，比较大小得到最值，即可确定取值范围；
4. 第(4)问求固定参数下的区间最值：先代入h得到解析式，判断对称轴是否在给定的x区间内，开口向下的抛物线在对称轴处取得最大值；
5. 第(5)问已知区间最值求参数：由于函数本身最大值为0，但给定区间内最大值为-1，说明对称轴不在区间内，分对称轴在区间左侧、右侧两种情况分类讨论，代入对应端点的最值列方程求解，舍去不符合范围的解即可。
【解析】
(1) 二次函数$y=-x^2+4$中，$a=-1＜0$，图象开口向下，顶点坐标为$(0,4)$，令$y=0$，解得$x=\pm2$，即与x轴交点为$(-2,0)$、$(2,0)$，据此在坐标系中描出这三个点，用平滑曲线连接即可得到大致图象。
(2) 根据二次函数平移“上加下减常数项”的规律，$y=-x^2$的图象向上平移4个单位长度得到$y=-x^2+4$的图象。
(3) $y=-x^2+4$开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$）：
在$-1≤x≤3$范围内，当$x=0$时，$y$取得最大值$4$；
计算区间端点函数值：$x=-1$时$y=-(-1)^2+4=3$，$x=3$时$y=-3^2+4=-5$，故最小值为$-5$；
因此$y$的取值范围是$-5≤y≤4$。
(4) 当$h=3$时，二次函数解析式为$y=-(x-3)^2$，$a=-1＜0$，图象开口向下，对称轴为直线$x=3$；
∵$2≤x≤5$包含对称轴$x=3$，
∴当$x=3$时，函数取得最大值，最大值为$-(3-3)^2=0$。
(5) 二次函数$y=-(x-h)^2$开口向下，顶点处最大值为0，而已知$2≤x≤5$时函数最大值为$-1$，说明对称轴$x=h$不在区间$[2,5]$内，分两种情况讨论：
① 当$h＜2$时，在$2≤x≤5$范围内，$y$随$x$的增大而减小，故$x=2$时$y$取最大值：
$-(2-h)^2=-1$，解得$h=1$或$h=3$，其中$h=3$不符合$h＜2$，舍去，故$h=1$；
② 当$h＞5$时，在$2≤x≤5$范围内，$y$随$x$的增大而增大，故$x=5$时$y$取最大值：
$-(5-h)^2=-1$，解得$h=6$或$h=4$，其中$h=4$不符合$h＞5$，舍去，故$h=6$；
综上，$h$的值为1或6。
【答案】
(1) 画出开口向下，顶点为$(0,4)$，过$(-2,0)$、$(2,0)$的抛物线即可；
(2) 上，4；
(3) $\boldsymbol{-5≤y≤4}$；
(4) 最大值为$\boldsymbol{0}$；
(5) $h$的值为$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数的平移；二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，从图像绘制、平移规律到区间最值求解，逐步递进，最后一问需要结合分类讨论思想求解参数，能够很好地考查对二次函数性质的掌握程度和逻辑推理能力，是二次函数部分的典型常考题。
【难度系数】
0.65
本题围绕二次函数的性质逐步设问，解题思路如下：
1. 第(1)问画函数图像：先确定二次函数的开口方向、顶点坐标、与坐标轴的交点，即可描点画出大致图像；
2. 第(2)问考查函数平移规律：根据“上加下减常数项”的平移法则，直接判断平移方向和距离；
3. 第(3)问求给定x区间的y取值范围：先明确函数开口方向和对称轴，分别计算对称轴处、区间端点的函数值，比较大小得到最值，即可确定取值范围；
4. 第(4)问求固定参数下的区间最值：先代入h得到解析式，判断对称轴是否在给定的x区间内，开口向下的抛物线在对称轴处取得最大值；
5. 第(5)问已知区间最值求参数：由于函数本身最大值为0，但给定区间内最大值为-1，说明对称轴不在区间内，分对称轴在区间左侧、右侧两种情况分类讨论，代入对应端点的最值列方程求解，舍去不符合范围的解即可。
【解析】
(1) 二次函数$y=-x^2+4$中，$a=-1＜0$，图象开口向下，顶点坐标为$(0,4)$，令$y=0$，解得$x=\pm2$，即与x轴交点为$(-2,0)$、$(2,0)$，据此在坐标系中描出这三个点，用平滑曲线连接即可得到大致图象。
(2) 根据二次函数平移“上加下减常数项”的规律，$y=-x^2$的图象向上平移4个单位长度得到$y=-x^2+4$的图象。
(3) $y=-x^2+4$开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$）：
在$-1≤x≤3$范围内，当$x=0$时，$y$取得最大值$4$；
计算区间端点函数值：$x=-1$时$y=-(-1)^2+4=3$，$x=3$时$y=-3^2+4=-5$，故最小值为$-5$；
因此$y$的取值范围是$-5≤y≤4$。
(4) 当$h=3$时，二次函数解析式为$y=-(x-3)^2$，$a=-1＜0$，图象开口向下，对称轴为直线$x=3$；
∵$2≤x≤5$包含对称轴$x=3$，
∴当$x=3$时，函数取得最大值，最大值为$-(3-3)^2=0$。
(5) 二次函数$y=-(x-h)^2$开口向下，顶点处最大值为0，而已知$2≤x≤5$时函数最大值为$-1$，说明对称轴$x=h$不在区间$[2,5]$内，分两种情况讨论：
① 当$h＜2$时，在$2≤x≤5$范围内，$y$随$x$的增大而减小，故$x=2$时$y$取最大值：
$-(2-h)^2=-1$，解得$h=1$或$h=3$，其中$h=3$不符合$h＜2$，舍去，故$h=1$；
② 当$h＞5$时，在$2≤x≤5$范围内，$y$随$x$的增大而增大，故$x=5$时$y$取最大值：
$-(5-h)^2=-1$，解得$h=6$或$h=4$，其中$h=4$不符合$h＞5$，舍去，故$h=6$；
综上，$h$的值为1或6。
【答案】
(1) 画出开口向下，顶点为$(0,4)$，过$(-2,0)$、$(2,0)$的抛物线即可；
(2) 上，4；
(3) $\boldsymbol{-5≤y≤4}$；
(4) 最大值为$\boldsymbol{0}$；
(5) $h$的值为$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数的平移；二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，从图像绘制、平移规律到区间最值求解，逐步递进，最后一问需要结合分类讨论思想求解参数，能够很好地考查对二次函数性质的掌握程度和逻辑推理能力，是二次函数部分的典型常考题。
【难度系数】
0.65
