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1.某村计划新建一个容积$V$(单位:$m^3$)一定的长方体污水处理池,则表示污水处理池的底面积$S$(单位:$m^2$)与其深度$h$(单位:$m$)之间的函数关系的图象大致是(
C
). 答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先结合长方体容积公式推导底面积S和深度h的函数关系：首先回忆长方体容积=底面积×深度，即V=Sh，题目中V是定值，因此变形可得S与h的函数表达式，判断函数类型后，再结合实际意义明确h、S的取值范围均为正数，最后对应选项选出符合要求的图象即可。
【解析】
根据长方体容积公式可得：$V = S· h$，
已知容积V为定值，将公式变形得：$S = \frac{V}{h}$，由此可知S是h的反比例函数，且$V＞0$。
结合实际意义，污水处理池的深度$h＞0$，底面积$S＞0$，因此该函数的图象为第一象限内的反比例函数分支。
观察选项：A为正比例函数图象，B为一次函数图象，D为第一象限的增函数图象，均不符合要求；只有C选项的图象符合第一象限反比例函数的特征。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；长方体容积公式
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的图象识别，解题时要注意结合实际意义确定变量的取值范围，避免误选不符合实际的函数图象。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合长方体容积公式推导底面积S和深度h的函数关系：首先回忆长方体容积=底面积×深度，即V=Sh，题目中V是定值，因此变形可得S与h的函数表达式，判断函数类型后，再结合实际意义明确h、S的取值范围均为正数，最后对应选项选出符合要求的图象即可。
【解析】
根据长方体容积公式可得：$V = S· h$，
已知容积V为定值，将公式变形得：$S = \frac{V}{h}$，由此可知S是h的反比例函数，且$V＞0$。
结合实际意义，污水处理池的深度$h＞0$，底面积$S＞0$，因此该函数的图象为第一象限内的反比例函数分支。
观察选项：A为正比例函数图象，B为一次函数图象，D为第一象限的增函数图象，均不符合要求；只有C选项的图象符合第一象限反比例函数的特征。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；长方体容积公式
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的图象识别，解题时要注意结合实际意义确定变量的取值范围，避免误选不符合实际的函数图象。
【难度系数】
0.7
2.收音机刻度盘的频率$f$(单位:kHz)和波长$l$(单位:m)之间的关系可用函数解析式表示为$f=\frac{299792.458}{l}$，这能说明的规律是(
A.$l$变大，$f$变大
B.$l$变小，$f$变小
C.$l$变大，$f$变小
D.$l$改变，$f$不变
C
).A.$l$变大，$f$变大
B.$l$变小，$f$变小
C.$l$变大，$f$变小
D.$l$改变，$f$不变
答案
2.C
解析
【分析】
首先识别题目给出的函数是反比例函数，先确定反比例函数的比例系数k的符号，再结合实际问题中自变量l的取值范围（波长为正数），根据反比例函数的增减性判断f随l的变化规律，再逐一匹配选项即可得到正确答案。
【解析】
已知频率$f$和波长$l$的函数关系为$f=\frac{299792.458}{l}$，这是反比例函数，其中比例系数$k=299792.458＞0$，且实际问题中波长$l＞0$。
根据反比例函数的性质：当$k＞0$时，在自变量$l＞0$的范围内，函数值$f$随自变量$l$的增大而减小，即$l$变大时$f$变小，$l$变小时$f$变大。
逐一分析选项：
A选项：$l$变大，$f$变大，不符合规律，错误；
B选项：$l$变小，$f$变小，不符合规律，错误；
C选项：$l$变大，$f$变小，符合规律，正确；
D选项：$l$改变，$f$不变，不符合规律，错误。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合物理场景考查反比例函数的增减性，属于基础题型，解题的关键是明确反比例函数中比例系数的符号对函数增减性的影响，同时注意实际问题中自变量的取值范围。
【难度系数】
0.9
首先识别题目给出的函数是反比例函数，先确定反比例函数的比例系数k的符号，再结合实际问题中自变量l的取值范围（波长为正数），根据反比例函数的增减性判断f随l的变化规律，再逐一匹配选项即可得到正确答案。
【解析】
已知频率$f$和波长$l$的函数关系为$f=\frac{299792.458}{l}$，这是反比例函数，其中比例系数$k=299792.458＞0$，且实际问题中波长$l＞0$。
根据反比例函数的性质：当$k＞0$时，在自变量$l＞0$的范围内，函数值$f$随自变量$l$的增大而减小，即$l$变大时$f$变小，$l$变小时$f$变大。
逐一分析选项：
A选项：$l$变大，$f$变大，不符合规律，错误；
B选项：$l$变小，$f$变小，不符合规律，错误；
C选项：$l$变大，$f$变小，符合规律，正确；
D选项：$l$改变，$f$不变，不符合规律，错误。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合物理场景考查反比例函数的增减性，属于基础题型，解题的关键是明确反比例函数中比例系数的符号对函数增减性的影响，同时注意实际问题中自变量的取值范围。
【难度系数】
0.9
3.某市举行中学生科普知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率$y$（该校竞赛成绩优秀的人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数$x$的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象（图中虚线）上，则这四所学校在这次科普知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
C
）。A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
3.C
解析
【分析】
要判断四所学校优秀人数的多少，首先明确优秀人数的计算方法：优秀人数=参加竞赛人数$x$×优秀率$y$，即优秀人数为$xy$。已知乙、丁在同一反比例函数图象上，反比例函数满足$xy=k$（$k$为常数，$k＞0$），因此乙、丁的优秀人数相等。接下来只需结合点与反比例函数图象的位置关系，判断甲、丙的$xy$值和$k$的大小即可：点在反比例函数图象上方时$xy＞k$，点在图象下方时$xy＜k$，据此就能比较出四校优秀人数的大小。
【解析】
设学校竞赛优秀人数为$m$，根据题意可得：$m = x · y$。
1. 分析乙、丁两校：
因为乙、丁两点在同一个反比例函数的图象上，反比例函数可变形为$xy=k$（$k＞0$，为定值），因此$m_乙=x_乙y_乙=k$，$m_丁=x_丁y_丁=k$，即$m_乙=m_丁$。
2. 分析甲校：
过甲点作垂直于$x$轴的直线，该直线与反比例函数图象的交点纵坐标大于甲点的纵坐标，因此$x_甲 · y_甲 ＜ x_甲 · \frac{k}{x_甲}=k$，即$m_甲＜k$。
3. 分析丙校：
过丙点作垂直于$x$轴的直线，该直线与反比例函数图象的交点纵坐标小于丙点的纵坐标，因此$x_丙 · y_丙 ＞ x_丙 · \frac{k}{x_丙}=k$，即$m_丙＞k$。
综上可得：$m_丙＞m_乙=m_丁＞m_甲$，因此优秀人数最多的是丙校。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的意义
2. 反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的性质，解题核心是理解优秀人数对应$x$与$y$的乘积，利用反比例函数$xy$为定值的特点，通过数形结合比较点与图象的位置关系判断乘积大小，能很好地考查学生对反比例函数性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
要判断四所学校优秀人数的多少，首先明确优秀人数的计算方法：优秀人数=参加竞赛人数$x$×优秀率$y$，即优秀人数为$xy$。已知乙、丁在同一反比例函数图象上，反比例函数满足$xy=k$（$k$为常数，$k＞0$），因此乙、丁的优秀人数相等。接下来只需结合点与反比例函数图象的位置关系，判断甲、丙的$xy$值和$k$的大小即可：点在反比例函数图象上方时$xy＞k$，点在图象下方时$xy＜k$，据此就能比较出四校优秀人数的大小。
【解析】
设学校竞赛优秀人数为$m$，根据题意可得：$m = x · y$。
1. 分析乙、丁两校：
因为乙、丁两点在同一个反比例函数的图象上，反比例函数可变形为$xy=k$（$k＞0$，为定值），因此$m_乙=x_乙y_乙=k$，$m_丁=x_丁y_丁=k$，即$m_乙=m_丁$。
2. 分析甲校：
过甲点作垂直于$x$轴的直线，该直线与反比例函数图象的交点纵坐标大于甲点的纵坐标，因此$x_甲 · y_甲 ＜ x_甲 · \frac{k}{x_甲}=k$，即$m_甲＜k$。
3. 分析丙校：
过丙点作垂直于$x$轴的直线，该直线与反比例函数图象的交点纵坐标小于丙点的纵坐标，因此$x_丙 · y_丙 ＞ x_丙 · \frac{k}{x_丙}=k$，即$m_丙＞k$。
综上可得：$m_丙＞m_乙=m_丁＞m_甲$，因此优秀人数最多的是丙校。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的意义
2. 反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的性质，解题核心是理解优秀人数对应$x$与$y$的乘积，利用反比例函数$xy$为定值的特点，通过数形结合比较点与图象的位置关系判断乘积大小，能很好地考查学生对反比例函数性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
4.新学期开始前，有一批课本要从城市A运到县城B，如果两地间路程为50 km，货车的车速为x(单位:km/h)，从城市A到县城B所需时间为y(单位:h)，那么y关于x的函数解析式是$\boldsymbol{y=\dfrac{50}{x}(x＞0)}$。
答案
$y=\dfrac{50}{x}(x＞0)$
解析
【分析】
解题时首先回忆行程问题的核心等量关系：路程=速度×时间。本题中路程固定为50km，我们需要将等量关系变形为用速度x表示时间y的形式，最后结合速度的实际意义，确定自变量x的取值范围即可得到函数解析式。
【解析】
根据行程问题的基本公式：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}×\mathrm{时间}$，代入题中已知量：
$50 = x · y$
将式子变形，用含x的代数式表示y，可得：
$y=\dfrac{50}{x}$
结合实际意义，货车行驶速度不能为负数或0，因此自变量x的取值范围是$x＞0$。
综上，y关于x的函数解析式为$y=\dfrac{50}{x}(x＞0)$。
【答案】
$y=\dfrac{50}{x}(x＞0)$
【知识点】
反比例函数实际应用、行程问题公式、自变量取值范围确定
【点评】
本题是反比例函数在实际生活中的基础应用题型，解题核心是准确抓住常见数量关系，同时要注意函数自变量的取值必须符合实际场景的要求，是巩固反比例函数概念的典型基础题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆行程问题的核心等量关系：路程=速度×时间。本题中路程固定为50km，我们需要将等量关系变形为用速度x表示时间y的形式，最后结合速度的实际意义，确定自变量x的取值范围即可得到函数解析式。
【解析】
根据行程问题的基本公式：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}×\mathrm{时间}$，代入题中已知量：
$50 = x · y$
将式子变形，用含x的代数式表示y，可得：
$y=\dfrac{50}{x}$
结合实际意义，货车行驶速度不能为负数或0，因此自变量x的取值范围是$x＞0$。
综上，y关于x的函数解析式为$y=\dfrac{50}{x}(x＞0)$。
【答案】
$y=\dfrac{50}{x}(x＞0)$
【知识点】
反比例函数实际应用、行程问题公式、自变量取值范围确定
【点评】
本题是反比例函数在实际生活中的基础应用题型，解题核心是准确抓住常见数量关系，同时要注意函数自变量的取值必须符合实际场景的要求，是巩固反比例函数概念的典型基础题。
【难度系数】
0.9
5.充有一定质量气体的气球，当处于某温度时，气球内的气体压强$ p $（单位：kPa）与气球的体积$ V $（单位：$ \mathrm{m}^3 $）成反比例函数关系，其图象如图所示.当气球内的气体压强大于140 kPa时，气球将爆炸.为了安全起见，气球的体积应（
A.不大于$ \dfrac{24}{35} \ \mathrm{m}^3 $
B.不小于$ \dfrac{24}{35} \ \mathrm{m}^3 $
C.不大于$ \dfrac{24}{37} \ \mathrm{m}^3 $
D.不小于$ \dfrac{24}{37} \ \mathrm{m}^3 $
B
）.A.不大于$ \dfrac{24}{35} \ \mathrm{m}^3 $
B.不小于$ \dfrac{24}{35} \ \mathrm{m}^3 $
C.不大于$ \dfrac{24}{37} \ \mathrm{m}^3 $
D.不小于$ \dfrac{24}{37} \ \mathrm{m}^3 $
答案
5.B
解析
【分析】
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：第一步，根据压强p与体积V成反比例关系，设出反比例函数解析式；第二步，利用图象上给出的已知点坐标，代入解析式求出未知系数k，得到p与V的函数关系式；第三步，结合“压强大于140kPa会爆炸”的安全条件，列出不等式求解V的取值范围，注意体积V为正数，解不等式时不等号方向不变，同时根据反比例函数的增减性判断取值范围的方向。
【解析】
设气体压强p与体积V的反比例函数解析式为$ p=\frac{k}{V} $（$ k≠0,V＞0 $）。
由图象可知，当$ V=0.8\ \mathrm{m}^3 $时，$ p=120\ \mathrm{kPa} $，将其代入解析式得：
$ 120=\frac{k}{0.8} $，解得$ k=120×0.8=96 $，
因此函数解析式为$ p=\frac{96}{V} $。
根据题意，气球安全的条件为$ p≤140\ \mathrm{kPa} $，代入解析式得：
$ \frac{96}{V}≤140 $，
因为$ V＞0 $，不等式两边同时乘V，不等号方向不变，得：
$ 96≤140V $，
解得$ V≥\frac{96}{140}=\frac{24}{35} $，
即气球的体积应不小于$ \frac{24}{35}\ \mathrm{m}^3 $。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的应用，待定系数法求解析式，一元一次不等式求解
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题的核心是先利用待定系数法求出函数解析式，再结合安全限制条件列不等式求解，解题时需注意实际问题中自变量的取值为正，避免解不等式时出现方向错误。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：第一步，根据压强p与体积V成反比例关系，设出反比例函数解析式；第二步，利用图象上给出的已知点坐标，代入解析式求出未知系数k，得到p与V的函数关系式；第三步，结合“压强大于140kPa会爆炸”的安全条件，列出不等式求解V的取值范围，注意体积V为正数，解不等式时不等号方向不变，同时根据反比例函数的增减性判断取值范围的方向。
【解析】
设气体压强p与体积V的反比例函数解析式为$ p=\frac{k}{V} $（$ k≠0,V＞0 $）。
由图象可知，当$ V=0.8\ \mathrm{m}^3 $时，$ p=120\ \mathrm{kPa} $，将其代入解析式得：
$ 120=\frac{k}{0.8} $，解得$ k=120×0.8=96 $，
因此函数解析式为$ p=\frac{96}{V} $。
根据题意，气球安全的条件为$ p≤140\ \mathrm{kPa} $，代入解析式得：
$ \frac{96}{V}≤140 $，
因为$ V＞0 $，不等式两边同时乘V，不等号方向不变，得：
$ 96≤140V $，
解得$ V≥\frac{96}{140}=\frac{24}{35} $，
即气球的体积应不小于$ \frac{24}{35}\ \mathrm{m}^3 $。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的应用，待定系数法求解析式，一元一次不等式求解
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题的核心是先利用待定系数法求出函数解析式，再结合安全限制条件列不等式求解，解题时需注意实际问题中自变量的取值为正，避免解不等式时出现方向错误。
【难度系数】
0.7
