登录
6.如图，一杠杆装置的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的距离固定不变.甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端施加竖直向下的压力$F_甲$，$F_乙$，$F_丙$，$F_丁$，将相同质量的水桶吊起同样的高度，若$F_甲＜F_乙＜F_丙＜F_丁$，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是(
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
A
).A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
6.A
解析
【分析】
本题考查杠杆平衡条件的应用，解题思路：首先确定杠杆的阻力、阻力臂的特点，再利用杠杆平衡公式推导动力与动力臂的关系，最后结合已知的压力大小判断动力臂的大小，从而确定压力作用点到支点的距离。步骤：1. 明确水桶对杆的拉力为阻力，阻力和阻力臂固定；2. 根据杠杆平衡公式推导动力臂的表达式；3. 结合压力大小关系，判断动力臂的大小，找到最远的作用点。
【解析】
根据杠杆平衡条件：$ F_{动}L_{动} = F_{阻}L_{阻} $，水桶对杆的拉力为阻力，阻力$ F_{阻} $和阻力臂$ L_{阻} $均固定不变，因此动力臂$ L_{动} = \frac{F_{阻}L_{阻}}{F_{动}} $。由此可知，当动力$ F_{动} $越小时，动力臂$ L_{动} $越大，即压力作用点到支点的距离越远。已知$ F_甲＜F_乙＜F_丙＜F_丁 $，甲同学施加的压力最小，对应的动力臂最大，因此压力作用点到支点的距离最远。
【答案】
A
【知识点】
杠杆平衡条件
【点评】
本题是杠杆平衡条件的基础应用题，核心是理解阻力和阻力臂不变时，动力与动力臂成反比的关系，属于杠杆知识的常规考查题，难度较低。
【难度系数】
0.3
本题考查杠杆平衡条件的应用，解题思路：首先确定杠杆的阻力、阻力臂的特点，再利用杠杆平衡公式推导动力与动力臂的关系，最后结合已知的压力大小判断动力臂的大小，从而确定压力作用点到支点的距离。步骤：1. 明确水桶对杆的拉力为阻力，阻力和阻力臂固定；2. 根据杠杆平衡公式推导动力臂的表达式；3. 结合压力大小关系，判断动力臂的大小，找到最远的作用点。
【解析】
根据杠杆平衡条件：$ F_{动}L_{动} = F_{阻}L_{阻} $，水桶对杆的拉力为阻力，阻力$ F_{阻} $和阻力臂$ L_{阻} $均固定不变，因此动力臂$ L_{动} = \frac{F_{阻}L_{阻}}{F_{动}} $。由此可知，当动力$ F_{动} $越小时，动力臂$ L_{动} $越大，即压力作用点到支点的距离越远。已知$ F_甲＜F_乙＜F_丙＜F_丁 $，甲同学施加的压力最小，对应的动力臂最大，因此压力作用点到支点的距离最远。
【答案】
A
【知识点】
杠杆平衡条件
【点评】
本题是杠杆平衡条件的基础应用题，核心是理解阻力和阻力臂不变时，动力与动力臂成反比的关系，属于杠杆知识的常规考查题，难度较低。
【难度系数】
0.3
7.一个菱形的面积为12 cm²，它的两条对角线长分别为 y（单位：cm），x（单位：cm），则 y 与 x 之间的函数解析式为 y=
$\dfrac{24}{x}$
，这个函数的图象位于第一
象限。答案
7.$\dfrac{24}{x}$ 一
解析
【分析】
要解决这道题，首先需回忆菱形的面积计算公式，再结合函数的定义推导解析式，最后根据变量的实际意义判断函数图象所在象限。
1. 菱形的面积公式为：面积 = $\frac{1}{2}$×两条对角线长度的乘积；
2. 已知面积为12 cm²，对角线长为x、y，代入公式即可得到x与y的关系，整理后得到函数解析式；
3. 由于对角线长度为正数，因此x＞0、y＞0，据此判断反比例函数图象所在象限。
【解析】
根据菱形的面积公式：
$S = \frac{1}{2}xy$
已知$S=12\ \mathrm{cm}^2$，代入得：
$12 = \frac{1}{2}xy$
两边同时乘以2，整理得：
$xy = 24$
变形为y关于x的函数解析式：
$y = \frac{24}{x}$
因为x、y是菱形的对角线长度，所以$x＞0$，$y＞0$，反比例函数$y=\frac{24}{x}$中$k=24＞0$，因此函数图象位于第一象限。
【答案】
$\dfrac{24}{x}$；一
【知识点】
菱形面积公式、反比例函数的图象与性质
【点评】
本题结合菱形面积公式考查反比例函数的解析式及图象特征，属于基础题型，关键是牢记菱形面积公式，同时注意实际问题中变量的取值范围对函数图象的影响。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需回忆菱形的面积计算公式，再结合函数的定义推导解析式，最后根据变量的实际意义判断函数图象所在象限。
1. 菱形的面积公式为：面积 = $\frac{1}{2}$×两条对角线长度的乘积；
2. 已知面积为12 cm²，对角线长为x、y，代入公式即可得到x与y的关系，整理后得到函数解析式；
3. 由于对角线长度为正数，因此x＞0、y＞0，据此判断反比例函数图象所在象限。
【解析】
根据菱形的面积公式：
$S = \frac{1}{2}xy$
已知$S=12\ \mathrm{cm}^2$，代入得：
$12 = \frac{1}{2}xy$
两边同时乘以2，整理得：
$xy = 24$
变形为y关于x的函数解析式：
$y = \frac{24}{x}$
因为x、y是菱形的对角线长度，所以$x＞0$，$y＞0$，反比例函数$y=\frac{24}{x}$中$k=24＞0$，因此函数图象位于第一象限。
【答案】
$\dfrac{24}{x}$；一
【知识点】
菱形面积公式、反比例函数的图象与性质
【点评】
本题结合菱形面积公式考查反比例函数的解析式及图象特征，属于基础题型，关键是牢记菱形面积公式，同时注意实际问题中变量的取值范围对函数图象的影响。
【难度系数】
0.8
8.如图,小丹设计了一个探究杠杆平衡条件的实验:在一根匀质木杆的中点O左侧固定位置处悬挂重物,在中点O右侧用一个弹簧测力计向下拉,改变弹簧测力计与点O的距离x(单位:cm)并使木杆水平,观察弹簧测力计的示数y(单位:N)的变化情况.实验数据记录如表所示.
(1)把上表中x,y的各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点,用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象,猜测y与x之间的函数关系,并求出函数解析式.
(2)当弹簧测力计的示数为24 N时,弹簧测力计与点O之间的距离是多少?
(3)随着弹簧测力计与点O之间的距离不断减小,弹簧测力计的示数将发生怎样的变化?
(1)把上表中x,y的各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点,用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象,猜测y与x之间的函数关系,并求出函数解析式.
(2)当弹簧测力计的示数为24 N时,弹簧测力计与点O之间的距离是多少?
(3)随着弹簧测力计与点O之间的距离不断减小,弹簧测力计的示数将发生怎样的变化?
答案
8.(1)描点,连线,作图如下.
由图象猜测 y 与 x 之间的函数关系为反比例函数，
设 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，
把 $x=10,y=30$ 代入得 $k=300,\therefore y=\dfrac{300}{x}$，
将其余各点代入验证均符合.
y 与 x 之间的函数解析式为 $y=\dfrac{300}{x}$.
(2)把 $y=24$ 代入 $y=\dfrac{300}{x}$,得 $x=12.5$.
弹簧测力计与点 O 之间的距离为 12.5 cm.
(3)在弹簧测力计的测量范围内,随着弹簧测力计与点 O 之间的距离不断减小,弹簧测力计的示数不断增大.
解析
【分析】
本题是利用反比例函数解决杠杆平衡的实际问题，解题思路为：1. 根据实验数据描点连线，观察图像特征，猜测函数类型为反比例函数；2. 利用待定系数法，选取一组对应值求出反比例函数的解析式，再验证其他数据是否符合；3. 将已知的弹簧测力计示数代入解析式，求解对应的距离；4. 根据反比例函数性质结合实际测量范围，分析示数随距离的变化规律。
【解析】
(1) 根据实验数据描点、连线，观察所得图像，猜测y与x之间为反比例函数关系。设反比例函数解析式为 $ y = \frac{k}{x} (k ≠ 0) $，将 $ x=10, y=30 $ 代入解析式，得 $ 30 = \frac{k}{10} $，解得 $ k = 300 $，因此函数解析式为 $ y = \frac{300}{x} $。将其余各组x、y的对应值代入验证，均符合该解析式，故确定函数解析式为 $ y = \frac{300}{x} $。
(2) 当弹簧测力计示数 $ y=24 \, \mathrm{N} $ 时，将 $ y=24 $ 代入 $ y = \frac{300}{x} $，得 $ 24 = \frac{300}{x} $，解得 $ x = \frac{300}{24} = 12.5 \, \mathrm{cm} $，即弹簧测力计与点O之间的距离为12.5 cm。
(3) 对于反比例函数 $ y = \frac{300}{x} $，当 $ x＞0 $ 时，y随x的减小而增大，结合弹簧测力计的测量范围，可知随着弹簧测力计与点O之间的距离不断减小，弹簧测力计的示数不断增大。
【答案】
8.(1)描点,连线,作图如下.
由图象猜测 y 与 x 之间的函数关系为反比例函数，
设 $ y=\dfrac{k}{x}(k≠0) $，
把 $ x=10,y=30 $ 代入得 $ k=300,\therefore y=\dfrac{300}{x} $，
将其余各点代入验证均符合.
y 与 x 之间的函数解析式为 $ y=\dfrac{300}{x} $.
(2)把 $ y=24 $ 代入 $ y=\dfrac{300}{x} $,得 $ x=12.5 $.
弹簧测力计与点 O 之间的距离为 12.5 cm.
(3)在弹簧测力计的测量范围内,随着弹簧测力计与点 O 之间的距离不断减小,弹簧测力计的示数不断增大.
【知识点】反比例函数应用，待定系数法求解析式
【点评】本题结合杠杆平衡实验，考查反比例函数的实际应用，体现数学与物理的学科结合，要求学生能从图像判断函数类型、运用待定系数法求解解析式，并解决实际问题，难度适中，注重基础应用能力。
【难度系数】0.5
本题是利用反比例函数解决杠杆平衡的实际问题，解题思路为：1. 根据实验数据描点连线，观察图像特征，猜测函数类型为反比例函数；2. 利用待定系数法，选取一组对应值求出反比例函数的解析式，再验证其他数据是否符合；3. 将已知的弹簧测力计示数代入解析式，求解对应的距离；4. 根据反比例函数性质结合实际测量范围，分析示数随距离的变化规律。
【解析】
(1) 根据实验数据描点、连线，观察所得图像，猜测y与x之间为反比例函数关系。设反比例函数解析式为 $ y = \frac{k}{x} (k ≠ 0) $，将 $ x=10, y=30 $ 代入解析式，得 $ 30 = \frac{k}{10} $，解得 $ k = 300 $，因此函数解析式为 $ y = \frac{300}{x} $。将其余各组x、y的对应值代入验证，均符合该解析式，故确定函数解析式为 $ y = \frac{300}{x} $。
(2) 当弹簧测力计示数 $ y=24 \, \mathrm{N} $ 时，将 $ y=24 $ 代入 $ y = \frac{300}{x} $，得 $ 24 = \frac{300}{x} $，解得 $ x = \frac{300}{24} = 12.5 \, \mathrm{cm} $，即弹簧测力计与点O之间的距离为12.5 cm。
(3) 对于反比例函数 $ y = \frac{300}{x} $，当 $ x＞0 $ 时，y随x的减小而增大，结合弹簧测力计的测量范围，可知随着弹簧测力计与点O之间的距离不断减小，弹簧测力计的示数不断增大。
【答案】
8.(1)描点,连线,作图如下.
由图象猜测 y 与 x 之间的函数关系为反比例函数，
设 $ y=\dfrac{k}{x}(k≠0) $，
把 $ x=10,y=30 $ 代入得 $ k=300,\therefore y=\dfrac{300}{x} $，
将其余各点代入验证均符合.
y 与 x 之间的函数解析式为 $ y=\dfrac{300}{x} $.
(2)把 $ y=24 $ 代入 $ y=\dfrac{300}{x} $,得 $ x=12.5 $.
弹簧测力计与点 O 之间的距离为 12.5 cm.
(3)在弹簧测力计的测量范围内,随着弹簧测力计与点 O 之间的距离不断减小,弹簧测力计的示数不断增大.
【知识点】反比例函数应用，待定系数法求解析式
【点评】本题结合杠杆平衡实验，考查反比例函数的实际应用，体现数学与物理的学科结合，要求学生能从图像判断函数类型、运用待定系数法求解解析式，并解决实际问题，难度适中，注重基础应用能力。
【难度系数】0.5
