8.已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象与一次函数$y=2-x$的图象相交，其中一个交点的横坐标为3，则k的值为().

A.－3
B.－1
C.1
D.3

8.A

【分析】
解题思路：两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式。已知交点的横坐标为3，我们可以先将横坐标代入一次函数解析式求出交点的纵坐标，得到完整的交点坐标后，再代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
第一步：把x=3代入一次函数y=2-x，求交点的纵坐标；第二步：得到交点坐标后，代入反比例函数y=k/x，解方程求出k。
【解析】
∵ 交点的横坐标为3，且该点在一次函数y=2-x的图象上
∴ 将x=3代入y=2-x，得：
$y=2-3=-1$
∴ 两个函数的交点坐标为$(3, -1)$
又
∵ 该交点在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上
∴ 将$x=3$，$y=-1$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$-1 = \frac{k}{3}$
解得：$k= -3$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 函数图象上点的坐标特征
2. 反比例函数与一次函数交点问题
【点评】
本题属于基础题型，核心考查函数交点的性质，只要理解“函数图象上的点的坐标满足该函数的解析式”这一知识点，就能快速求解，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8

9.如图，正比例函数$y_1=mx$，一次函数$y_2=ax+b$和反比例函数$y_3=\frac{k}{x}$的图象在同一平面直角坐标系中，若$y_3＞y_1＞y_2$，则自变量$x$的取值范围是().

A.$x＜-1$
B.$-0.5＜x＜0$或$x＞1$
C.$x＜-1$或$0＜x＜1$
D.$0＜x＜1$

9.C

【分析】
解决多个函数值大小比较的问题，核心是运用数形结合思想：同一x取值下，位置更高的图象对应的函数值更大。首先根据图象找到三个函数的交点，以交点和原点（反比例函数x≠0）为分界点，将x的取值范围划分为若干区间，逐一判断每个区间内三个函数的上下位置，找出满足$y_3＞y_1＞y_2$的区间即可。
【解析】
观察图象可得，三个函数的交点横坐标为$x=-1$和$x=1$，结合反比例函数定义域$x≠0$，将x的取值范围分为4个区间逐一判断：
1. 当$x＜-1$时：反比例函数$y_3$的图象在最上方，正比例函数$y_1$的图象在中间，一次函数$y_2$的图象在最下方，满足$y_3＞y_1＞y_2$；
2. 当$-1＜x＜0$时：正比例函数$y_1$的图象在反比例函数$y_3$上方，不满足$y_3＞y_1$；
3. 当$0＜x＜1$时：反比例函数$y_3$的图象在最上方，正比例函数$y_1$的图象在中间，一次函数$y_2$的图象在最下方，满足$y_3＞y_1＞y_2$；
4. 当$x＞1$时：一次函数$y_2$的图象在最上方，反比例函数$y_3$的图象在最下方，为$y_2＞y_1＞y_3$，不符合要求。
综上，满足$y_3＞y_1＞y_2$的自变量x的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜1$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象性质；一次函数的图象；函数值比较
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，无需复杂代数计算，只要能准确区分不同区间内各函数图象的上下位置就能快速解题，注意不要遗漏x负半轴的符合区间。
【难度系数】
0.7

10.已知点A在反比例函数$y=\frac{12}{x}(x＞0)$的图象上，点B在x轴的正半轴上，若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为。

10.$5或2\sqrt{5}或\sqrt{10}$

【分析】
△OAB为等腰三角形且腰长为5，但未明确哪两条边为腰，因此需分三类讨论：①OA=AB=5；②OA=OB=5；③OB=AB=5。设点A坐标为$(a,\frac{12}{a})$（$a＞0$），点B坐标为$(b,0)$（$b＞0$），结合两点间距离公式分别列方程求解AB长度，同时验证解是否符合题意即可。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 当$OA=AB=5$时：
AB为等腰三角形的腰，直接得$AB=5$。验证：由$OA=\sqrt{a^2+(\frac{12}{a})^2}=5$，平方得$a^2+\frac{144}{a^2}=25$，解得$a^2=9$或$a^2=16$，即$a=3$或$a=4$，存在满足条件的点A，故$AB=5$成立。
2. 当$OA=OB=5$时：
OB=5，故$B(5,0)$。由$OA=5$得$a=3$或$a=4$：
若$A(3,4)$，则$AB=\sqrt{(5-3)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$；
若$A(4,3)$，则$AB=\sqrt{(5-4)^2+(0-3)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$。
3. 当$OB=AB=5$时：
求解后结果与上述情况重复，无新解。
【答案】
$5或2\sqrt{5}或\sqrt{10}$
【知识点】
反比例函数的性质，等腰三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题易因未考虑等腰三角形腰的多种情况导致漏解，解题时需结合坐标运算对每种情况逐一验证，确保解的完整性和合理性。
【难度系数】
0.4

11.已知反比例函数$y=\dfrac{m-7}{x}$的图象的一支位于第一象限.
(1)判断该函数图象的另一支所在的象限,并求$m$的取值范围.
(2)如图,O为坐标原点,点A在该反比例函数位于第一象限的图象上,点B与点A关于x轴对称,连接AB,交x轴于点C.若$△ OAB$的面积为6,求$m$的值.

11.(1)图象的另一支位于第三象限.由图象的一支位于第一象限可知 $m-7＞0,\therefore m＞7$.
(2)设 $A(a,\dfrac{m-7}{a}),\because$ 点 B 与点 A 关于 $x$ 轴对称,$\therefore B(a,-\dfrac{m-7}{a}),C(a,0)$,
$\therefore AB=\dfrac{2(m-7)}{a},OC=a.\because S_{△ OAB}=6,\therefore \dfrac{1}{2}OC· AB=\dfrac{1}{2}· a· \dfrac{2(m-7)}{a}=6$,解得 $m=13$.

【分析】
(1) 回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象性质：当$k＞0$时，图象两支分别位于第一、第三象限；当$k＜0$时，图象两支分别位于第二、第四象限。题中已知函数一支在第一象限，说明比例系数大于0，由此可判断另一支所在象限，同时求出m的取值范围。
(2) 关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，因此设出第一象限内点A的坐标，即可直接写出点B、点C的坐标；观察图形可知AB垂直于x轴，$△ OAB$的底为AB的长度，高为OC的长度，代入三角形面积公式，计算时横坐标a可直接约去，即可求出m的值。
【解析】
(1) 反比例函数的图象关于原点对称，已知该函数图象的一支位于第一象限，因此另一支位于第三象限。
由反比例函数图象性质可知，当图象位于第一、第三象限时，比例系数大于0，即$m-7＞0$，解得$m＞7$。
(2) 设点A的坐标为$(a,\frac{m-7}{a})$（$a＞0$）。
∵点B与点A关于x轴对称，
∴点B的坐标为$(a,-\frac{m-7}{a})$，AB与x轴的交点C的坐标为$(a,0)$。
可得$AB=\frac{m-7}{a}-(-\frac{m-7}{a})=\frac{2(m-7)}{a}$，$OC=a$。
∵$S_{△ OAB}=6$，且AB⊥x轴，
∴$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}× OC × AB=\frac{1}{2} × a × \frac{2(m-7)}{a}=6$，
化简得$m-7=6$，解得$m=13$。
【答案】
(1) 函数图象的另一支位于第三象限，$m$的取值范围是$m＞7$；
(2) $m$的值为13。
【知识点】
反比例函数的图象与性质，关于x轴对称的坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题考查反比例函数的基础应用，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象性质以及对称点的坐标规律，第二问通过设点坐标表示线段长度，利用面积公式列方程求解，计算过程中自变量可约去，降低了运算难度。
【难度系数】
0.7

12.如图,等腰直角三角形$ABC$位于第一象限,$AB=AC=2$,直角顶点$A$在直线$y=x$上,其中点$A$的横坐标为1,且$AB$平行于$x$轴,$AC$平行于$y$轴,若双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$与$△ ABC$有交点,则$k$的取值范围是().

A.$1＜k＜2$
B.$1≤k≤3$
C.$1≤k≤4$
D.$1≤k＜4$

12.C
提示:点 A,以及直线 $y=x$ 与 BC 的交点,为两个边界点.

【分析】
解题时先确定等腰直角三角形三个顶点的坐标，再分析反比例函数$y=\frac{k}{x}$和三角形有交点时$k$的最值：反比例函数中$k$等于图象上点的横纵坐标乘积，最小的$k$对应双曲线经过顶点$A$的情况，最大的$k$对应双曲线和$BC$边相交的临界情况，分别计算两个边界的$k$值就能得到取值范围。
【解析】
1. 求$△ ABC$各顶点坐标
已知点$A$在直线$y=x$上，横坐标为1，因此$A$的坐标为$(1,1)$。
又因为$AB// x$轴，$AC// y$轴，$AB=AC=2$，
所以$B$点横坐标为$1+2=3$，纵坐标与$A$相同为1，即$B(3,1)$；
$C$点纵坐标为$1+2=3$，横坐标与$A$相同为1，即$C(1,3)$。
2. 求$k$的最小值
当双曲线$y=\frac{k}{x}$经过点$A(1,1)$时，代入得$k=1×1=1$，即$k$的最小值为1。
3. 求$BC$边的解析式
设$BC$的解析式为$y=ax+b$，将$B(3,1)$、$C(1,3)$代入得：
$\begin{cases}3a+b=1\\a+b=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1\\b=4\end{cases}$，因此$BC$的解析式为$y=-x+4$（$1≤ x≤3$）。
4. 求$k$的最大值
联立双曲线与$BC$的解析式：$\begin{cases}y=\frac{k}{x}\\y=-x+4\end{cases}$
消去$y$整理得$x^2-4x+k=0$，
当双曲线与$BC$有交点时，该一元二次方程有实根，判别式$\Delta=(-4)^2-4k≥0$，解得$k≤4$。
当$k=4$时，方程的解为$x=2$，对应$y=2$，点$(2,2)$在$BC$边上，符合要求，因此$k$的最大值为4。
综上，$k$的取值范围是$1≤ k≤4$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数解析式求解，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于反比例函数与几何图形的综合题，解题的核心是找到$k$取最值的临界位置，通过联立方程结合判别式即可快速求解。
【难度系数】
0.7