8.已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象与一次函数$y=2-x$的图象相交，其中一个交点的横坐标为3，则k的值为().

A.－3
B.－1
C.1
D.3

8.A

【分析】
要解决这道题，首先明确函数交点的性质：两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式。已知交点的横坐标为3，我们可以先将横坐标代入一次函数解析式，求出交点的纵坐标，得到完整的交点坐标后，再代入反比例函数解析式即可求出k的值。
【解析】
第一步：求交点的纵坐标
∵ 交点的横坐标为3，且该点在一次函数$y=2-x$的图象上
∴ 把$x=3$代入$y=2-x$，得：$y=2-3=-1$
∴ 两个函数的交点坐标为$(3,-1)$
第二步：求k的值
∵ 交点$(3,-1)$也在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上
∴ 把$x=3$，$y=-1$代入$y=\frac{k}{x}$，得：$-1=\frac{k}{3}$
解得：$k=3×(-1)=-3$
【答案】
A
【知识点】
函数交点的性质；反比例函数系数求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查函数交点的应用，解题的关键是牢记交点坐标同时满足所有相交函数的解析式，代入计算即可得出结果。
【难度系数】
0.9

9.如图，正比例函数$y_1=mx$，一次函数$y_2=ax+b$和反比例函数$y_3=\frac{k}{x}$的图象在同一平面直角坐标系中，若$y_3＞y_1＞y_2$，则自变量$x$的取值范围是().

A.$x＜-1$
B.$-0.5＜x＜0$或$x＞1$
C.$x＜-1$或$0＜x＜1$
D.$0＜x＜1$

9.C

【分析】
要解决多个函数值比较大小的问题，核心方法是数形结合：同一自变量x的取值下，图象位置更高的函数对应的函数值更大。解题步骤为：第一步先找到各函数两两相交的交点横坐标，这些交点是函数值大小关系变化的分界点，用分界点把x轴划分为不同区间；第二步逐段观察三个函数图象的上下位置关系，找到满足$y_3＞y_1＞y_2$的区间即可。
【解析】
首先根据图象确定三个函数的交点分界点：
1. 三个函数在$x=1$处相交，此时$y_1=y_2=y_3$；
2. 正比例函数和反比例函数图象均关于原点对称，因此两函数另一交点的横坐标为$x=-1$，此时$y_1=y_3$；
3. 正比例函数和一次函数在第三象限的交点横坐标为$x=-0.5$，此时$y_1=y_2$。
分区间讨论函数值大小：
① 当$x＜-1$时：反比例函数$y_3$的图象在正比例函数$y_1$上方，正比例函数$y_1$的图象在一次函数$y_2$上方，满足$y_3＞y_1＞y_2$；
② 当$-1＜x＜-0.5$时：$y_1$图象在$y_3$上方，不满足$y_3＞y_1$；
③ 当$-0.5＜x＜0$时：$y_2$图象在$y_1$上方，不满足$y_1＞y_2$；
④ 当$0＜x＜1$时：$y_3$图象在$y_1$上方，$y_1$图象在$y_2$上方，满足$y_3＞y_1＞y_2$；
⑤ 当$x＞1$时：$y_2$图象在$y_1$上方，$y_1$图象在$y_3$上方，不满足要求。
综上，符合条件的$x$的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
函数图象比大小，反比例函数性质，一次函数性质
【点评】
本题是函数图象的典型应用，重点考查数形结合思想，解题时要注意先找全分界点再分段讨论，同时要注意反比例函数自变量不能取0，正负半轴要分开分析，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7

10.已知点A在反比例函数$y=\frac{12}{x}(x＞0)$的图象上，点B在x轴的正半轴上，若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为。

10.$5或2\sqrt{5}或\sqrt{10}$

【分析】
本题需结合等腰三角形腰的不确定性分类讨论求解：首先明确△OAB的三个顶点中，O是原点，A在反比例函数图象上，B在x正半轴，腰长为5，因此分两类核心情况：①AB为腰，此时AB长度直接等于腰长5；②AB为底边，此时两腰为OA和OB，均等于5，先根据OA=5结合反比例函数解析式求出A点坐标，再结合OB=5利用两点间距离公式计算AB的长度即可。
【解析】
设点A坐标为$(a,\frac{12}{a})$（$a＞0$），点B坐标为$(b,0)$（$b＞0$），已知△OAB为等腰三角形且腰长为5，分情况讨论：
1. AB为腰时：
若A为等腰顶点，则$OA=AB=5$，符合腰长要求，得$AB=5$；
若B为等腰顶点，则$OB=AB=5$，符合腰长要求，得$AB=5$；
2. AB为底边时：
此时两腰为OA、OB，即$OA=OB=5$：
由$OA=5$，根据两点间距离公式得：$a^2 + (\frac{12}{a})^2 = 5^2$，
整理得：$a^4 -25a^2 +144=0$，令$u=a^2(u＞0)$，则方程化为$u^2-25u+144=0$，
解得$u=9$或$u=16$，即$a=3$或$a=4$（$a＞0$），
因此A点坐标为$(3,4)$或$(4,3)$，又$OB=5$，故B点坐标为$(5,0)$，
当$A(3,4)$时，$AB=\sqrt{(5-3)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$；
当$A(4,3)$时，$AB=\sqrt{(5-4)^2+(0-3)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$。
综上，AB的长为$5$或$2\sqrt{5}$或$\sqrt{10}$。
【答案】
$5或2\sqrt{5}或\sqrt{10}$
【知识点】
反比例函数的性质，等腰三角形的性质，两点间距离公式
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时需注意等腰三角形腰与底的不确定性，避免漏解，同时要熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征，结合距离公式进行计算。
【难度系数】
0.4

11.已知反比例函数$y=\dfrac{m-7}{x}$的图象的一支位于第一象限.
(1)判断该函数图象的另一支所在的象限,并求$m$的取值范围.
(2)如图,O为坐标原点,点A在该反比例函数位于第一象限的图象上,点B与点A关于x轴对称,连接AB,交x轴于点C.若$△ OAB$的面积为6,求$m$的值.

11.(1)图象的另一支位于第三象限.由图象的一支位于第一象限可知 $m-7＞0,\therefore m＞7$.
(2)设 $A(a,\dfrac{m-7}{a}),\because$ 点 B 与点 A 关于 $x$ 轴对称,$\therefore B(a,-\dfrac{m-7}{a}),C(a,0)$,
$\therefore AB=\dfrac{2(m-7)}{a},OC=a.\because S_{△ OAB}=6,\therefore \dfrac{1}{2}OC· AB=\dfrac{1}{2}· a· \dfrac{2(m-7)}{a}=6$,解得 $m=13$.

【分析】
(1) 回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象性质：当$k＞0$时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限。已知题中函数的一支在第一象限，可先判断$k=m-7$的符号，即可推出另一支所在象限和$m$的取值范围。
(2) 先设出第一象限内点$A$的坐标，根据关于$x$轴对称的点横坐标相等、纵坐标互为相反数的特征，得到点$B$和交点$C$的坐标；观察$△ OAB$可知$AB$垂直$x$轴，因此以$AB$为底、$OC$为高代入面积公式，参数$a$可直接消去，即可求出$m$的值。
【解析】
(1) 根据反比例函数的图象性质，当$k＞0$时双曲线两支分别在第一、第三象限，已知该函数一支在第一象限，因此另一支位于第三象限。
由题意得$m-7＞0$，解得$m＞7$。
(2) 设点$A$的坐标为$(a,\dfrac{m-7}{a})(a＞0)$，
$\because$ 点$B$与点$A$关于$x$轴对称，
$\therefore$ 点$B$坐标为$(a,-\dfrac{m-7}{a})$，$AB$与$x$轴交点$C$的坐标为$(a,0)$，
$\therefore AB=\dfrac{m-7}{a}-(-\dfrac{m-7}{a})=\dfrac{2(m-7)}{a}$，$OC=a$，
$\because S_{△ OAB}=6$，代入三角形面积公式得：
$\dfrac{1}{2}· OC· AB=\dfrac{1}{2}· a· \dfrac{2(m-7)}{a}=6$，
化简得$m-7=6$，解得$m=13$。
【答案】
(1) 图象的另一支位于第三象限，$m$的取值范围是$m＞7$；
(2) $m$的值为$13$。
【知识点】
反比例函数的图象与性质；关于x轴对称的坐标特征；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，结合了轴对称性质和面积计算，解题核心是掌握反比例函数图象分布和系数的关系，能合理设点坐标代入公式求解，难度较低，侧重对基础知识点的应用考察。
【难度系数】
0.7

12.如图,等腰直角三角形$ABC$位于第一象限,$AB=AC=2$,直角顶点$A$在直线$y=x$上,其中点$A$的横坐标为1,且$AB$平行于$x$轴,$AC$平行于$y$轴,若双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$与$△ ABC$有交点,则$k$的取值范围是().

A.$1＜k＜2$
B.$1≤k≤3$
C.$1≤k≤4$
D.$1≤k＜4$

12.C
提示:点 A,以及直线 $y=x$ 与 BC 的交点,为两个边界点.

【分析】
首先确定等腰直角三角形三个顶点的坐标：先由点A在直线y=x上、横坐标为1，求出A点坐标，再结合AB平行x轴、AC平行y轴，AB=AC=2的条件，求出B、C两点的坐标。反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k=xy$，要确定k的取值范围，只需找到△ABC边上的点对应xy的最小值和最大值：最小值为双曲线过点A时的k值，最大值需要联立直线BC和双曲线的解析式，结合一元二次方程根的判别式求解，同时验证边界交点是否在线段BC上即可。
【解析】
1. 求各点坐标
∵点A在直线$y=x$上，横坐标为1，将x=1代入$y=x$得y=1，即$A(1,1)$
∵$AB// x$轴，$AC// y$轴，$AB=AC=2$
∴B点横坐标为$1+2=3$，纵坐标与A相同为1，即$B(3,1)$；C点横坐标与A相同为1，纵坐标为$1+2=3$，即$C(1,3)$
2. 求k的最小值
当双曲线过点A时，k取最小值，将$A(1,1)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=1×1=1$
3. 求k的最大值
设直线BC的解析式为$y=ax+b$，将$B(3,1)$、$C(1,3)$代入得：
$\begin{cases}3a+b=1\\a+b=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-1\\b=4\end{cases}$，即直线BC解析式为$y=-x+4$（$1≤ x≤3$）
联立双曲线与直线BC的解析式：$\begin{cases}y=\frac{k}{x}\\y=-x+4\end{cases}$，消去y整理得$x^2-4x+k=0$
若双曲线与线段BC有交点，则该一元二次方程有实数根，判别式$\Delta=(-4)^2-4×1× k≥0$，解得$k≤4$
当$k=4$时，方程为$x^2-4x+4=0$，解得$x=2$，代入$y=-x+4$得$y=2$，交点$(2,2)$在线段BC上，符合要求
综上，k的取值范围是$1≤ k≤4$
【答案】C
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数解析式求解，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，解题核心是将图形交点问题转化为函数方程的解的问题，注意验证边界值对应的交点是否在给定的线段范围内，避免漏判或错判等号的取舍。
【难度系数】
0.6