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6. 「2025浙江温州二模，★☆」如图，在平面直角坐标系中，平移 $ △ ABC $ 至 $ △ A_1B_1C_1 $ 的位置。若点 $ A $，$ C $ 的坐标分别为 $ (-2,4) $，$ (-1,1) $，平移后点 $ A_1 $，$ C_1 $ 的坐标分别为 $ (m,5) $，$ (2,n) $，则 $ m + n $ 的值为(
A.6
B.5
C.4
D.3
D
)A.6
B.5
C.4
D.3
答案
6.D
∵点A平移后纵坐标增加1,点C平移后横坐标增加3,
∴平移方式为向右平移3单位长度，向上平移1个单位长度，
∴m=−2+3=1,n=1+1=2,
∴m+n=3,故选D.
∵点A平移后纵坐标增加1,点C平移后横坐标增加3,
∴平移方式为向右平移3单位长度，向上平移1个单位长度，
∴m=−2+3=1,n=1+1=2,
∴m+n=3,故选D.
7. 「2025山东滨州无棣二中月考，★☆」如图，第一象限内有 $ P(m - 4,n) $，$ Q(m,n - 3) $ 两点，将线段 $ PQ $ 平移，使点 $ P $，$ Q $ 分别落在两条坐标轴上，则点 $ P $ 平移后的对应点的坐标是
(0,3)或(−4,0)
。答案
7.答案 (0,3)或(−4,0)
解析 设平移后点P,Q的对应点分别是P',Q'分两种情况:①P'在y轴上,Q'在x轴上,则P'的横坐标为0,Q'的纵坐标为0,
∴点P'的纵坐标为n+0−(n−3)=3,
∴点P平移后的对应点的坐标是(0,3);②P'在x轴上,Q'在y轴上,则P'的纵坐标为0,Q'的横坐标为0,
∴点P'的横坐标为m−4+0−m=−4,
∴点P平移后的对应点的坐标是(−4,0).综上可知，点P平移后的对应点的坐标是(0,3)或(−4,0).
易错警示有两种情况:①点P平移后落在y轴上,点Q平移后落在x轴上;②点P平移后落在x轴上,点Q 平移后落在y轴上.本题容易漏解.
解析 设平移后点P,Q的对应点分别是P',Q'分两种情况:①P'在y轴上,Q'在x轴上,则P'的横坐标为0,Q'的纵坐标为0,
∴点P'的纵坐标为n+0−(n−3)=3,
∴点P平移后的对应点的坐标是(0,3);②P'在x轴上,Q'在y轴上,则P'的纵坐标为0,Q'的横坐标为0,
∴点P'的横坐标为m−4+0−m=−4,
∴点P平移后的对应点的坐标是(−4,0).综上可知，点P平移后的对应点的坐标是(0,3)或(−4,0).
易错警示有两种情况:①点P平移后落在y轴上,点Q平移后落在x轴上;②点P平移后落在x轴上,点Q 平移后落在y轴上.本题容易漏解.
8. 「2025四川南充期中，★☆」如图，已知点 $ A(4,3) $，$ B(3,1) $，$ C(1,2) $，若三角形 $ A_1B_1C_1 $ 是由三角形 $ ABC $ 平移得到的，且三角形 $ ABC $ 中任意一点 $ P(x,y) $ 经过平移后的对应点为 $ P_1(x - 4,y + 2) $。
(1) 在图中画出三角形 $ A_1B_1C_1 $。
(2) 写出点 $ A_1 $ 的坐标：
(3) 点 $ M $ 在 $ y $ 轴上，若三角形 $ MOC_1 $ 的面积为6，直接写出点 $ M $ 的坐标：
(1) 在图中画出三角形 $ A_1B_1C_1 $。
(2) 写出点 $ A_1 $ 的坐标：
(0,5)
。(3) 点 $ M $ 在 $ y $ 轴上，若三角形 $ MOC_1 $ 的面积为6，直接写出点 $ M $ 的坐标：
(0,4)或(0,−4)
。答案
8.解析 (1)
∵点P(x,y)经过平移后的对应点为P₁(x−4,y+2),
∴把三角形ABC先向左平移4个单位,再向上平移2个单位得三角形A₁B₁C₁,画出三角形A₁B₁C₁如图.
(2)点A₁的坐标为(0,5).故答案为(0,5).
(3)如图,设点M的坐标为(0,m),
∵点C₁到y轴的距离等于3,
∴三角形MOC₁的面积=$\frac{1}{2}$×|m|×3=6,
解得m=4或−4,
∴点M的坐标为(0,4)或(0,−4).
故答案为(0,4)或(0,−4).
归纳总结平面直角坐标系内，把一个图形各个顶点的横坐标都加上(或减去)一个正数a,就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;把它各个顶点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a,就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度.
9. 在平面直角坐标系中，三角形 $ ABC $ 的顶点坐标分别是 $ A(0,2) $，$ B(0,-2) $，$ C(2,-2) $。将三角形 $ ABC $ 向上平移 $ k(k ＞ 0) $ 个单位长度得到三角形 $ A_1B_1C_1 $，点 $ Q $ 是三角形 $ A_1B_1C_1 $ 边上的动点，其纵坐标为 $ b $。若满足 $ b = 5 $ 的点 $ Q $ 恰有两个，则 $ k $ 的取值范围是
3＜k＜7
。答案
9.答案 3＜k＜7
解析 如图，三角形ABC的顶点坐标分别是A(0,2)，B(0,−2),C(2,−2),此时三角形的边上所有点的纵坐标都小于5;向上平移三角形，当顶点A(0,2)的对应点到达(0,5)时，三角形的边上只有一个点的纵坐标等于5;再向上平移三角形，当点B(0,−2)的对应点未到达(0,5)时，三角形的边上有2个点的纵坐标等于5,当点B(0,−2)的对应点到达(0,5)时，三角形的边上有无数个点的纵坐标等于5;再继续向上平移三角形，这时三角形的边上所有点的纵坐标都大于5.所以3＜k＜7.
1. 「2025天津北辰期中」如图，在平面直角坐标系中，$ A(-1,1) $，$ B(-1,-2) $，$ C(3,-2) $，$ D(3,1) $，一动点 $ P $ 从点 $ A $ 出发以每秒2个单位长度的速度沿 $ A \to B \to C \to D \to A \to ··· $ 循环运动，则第100秒时点 $ P $ 的坐标为(
A.$ (0,-2) $
B.$ (1,1) $
C.$ (-1,-2) $
D.$ (1,-2) $
A
)A.$ (0,-2) $
B.$ (1,1) $
C.$ (-1,-2) $
D.$ (1,-2) $
答案
1.A
∵A(−1,1),B(−1,−2),C(3,−2),D(3,1),
∴AB =CD=3,AD=BC=4,
∴四边形ABCD的周长为2AB+2BC=14,
∵点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A→…循环运动,
∴点P运动100 秒所走的路程为100×2=200个单位长度，
∵200÷14=14……4,
∴点P运动14圈后又运动了4个单位长度，
∴第100秒时点P的坐标为(0,−2)，故选A.
∵A(−1,1),B(−1,−2),C(3,−2),D(3,1),
∴AB =CD=3,AD=BC=4,
∴四边形ABCD的周长为2AB+2BC=14,
∵点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A→…循环运动,
∴点P运动100 秒所走的路程为100×2=200个单位长度，
∵200÷14=14……4,
∴点P运动14圈后又运动了4个单位长度，
∴第100秒时点P的坐标为(0,−2)，故选A.
2. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆 $ O_1 $，$ O_2 $，$ O_3 $，$···$ 组成一条平滑的曲线，其中 $ O_1(-2,0) $，$ O_2(2,0) $，$ O_3(6,0) $，$···$，在每一段半圆上均有靠近直径端点的两个四等分点，$ P_1(-2 - \sqrt{2},\sqrt{2}) $，$ P_2(-2 + \sqrt{2},\sqrt{2}) $，$ P_3(2 - \sqrt{2},-\sqrt{2}) $，$ P_4(2 + \sqrt{2},-\sqrt{2}) $，$ P_5(6 - \sqrt{2},\sqrt{2}) $，$ P_6(6 + \sqrt{2},\sqrt{2}) $，$···$，则点 $ P_{2024} $ 的坐标为(
A.$ (4046 + \sqrt{2},-\sqrt{2}) $
B.$ (4046 - \sqrt{2},\sqrt{2}) $
C.$ (4042 + \sqrt{2},-\sqrt{2}) $
D.$ (4042 - \sqrt{2},\sqrt{2}) $
C
)A.$ (4046 + \sqrt{2},-\sqrt{2}) $
B.$ (4046 - \sqrt{2},\sqrt{2}) $
C.$ (4042 + \sqrt{2},-\sqrt{2}) $
D.$ (4042 - \sqrt{2},\sqrt{2}) $
答案
2.C
∵O₁(−2,0),O₂(2,0),O₃(6,0),O₄(10,0),……,
∴Oₙ(4n−6,0)(n≥1),由题意可知,P₂₀₂₄为半圆O₁₀₁₂上靠近直径右端点的四等分点,O₁₀₁₂(4042,0),观察题图可知,半圆O₁上靠近直径右端点的四等分点为P₂(−2+$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$),半圆O₂上靠近直径右端点的四等分点为P₄(2+$\sqrt{2}$,-$\sqrt{2}$),半圆O₃上靠近直径右端点的四等分点为P₆(6+$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$),半圆O₄上靠近直径右端点的四等分点为P₈(10+$\sqrt{2}$,-$\sqrt{2}$),……,以此类推,半圆O₁₀₁₂上靠近直径右端点的四等分点为P₂₀₂₄(4042+$\sqrt{2}$,-$\sqrt{2}$),故选C.
∵O₁(−2,0),O₂(2,0),O₃(6,0),O₄(10,0),……,
∴Oₙ(4n−6,0)(n≥1),由题意可知,P₂₀₂₄为半圆O₁₀₁₂上靠近直径右端点的四等分点,O₁₀₁₂(4042,0),观察题图可知,半圆O₁上靠近直径右端点的四等分点为P₂(−2+$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$),半圆O₂上靠近直径右端点的四等分点为P₄(2+$\sqrt{2}$,-$\sqrt{2}$),半圆O₃上靠近直径右端点的四等分点为P₆(6+$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$),半圆O₄上靠近直径右端点的四等分点为P₈(10+$\sqrt{2}$,-$\sqrt{2}$),……,以此类推,半圆O₁₀₁₂上靠近直径右端点的四等分点为P₂₀₂₄(4042+$\sqrt{2}$,-$\sqrt{2}$),故选C.
