1. 「2025 山东济南天桥期中改编」如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 各顶点在格点上.
(1) 直接写出△ABC 的三个顶点的坐标：A；B；C.
(2) 求△ABC 的面积.

解析 (1) (2,2)；(3,0)；(5,4)．
(2) 如图，△ABC的面积=长方形CDEF的面积−3个直角三角形的面积，

∴S△ABC = 3×4 - $\frac{1}{2}$×1×2 - $\frac{1}{2}$×2×3 - $\frac{1}{2}$×2×4 = 4．

2. 在如图所示的平面直角坐标系中，A，B，C，D 都是正方形网格中的格点(即网格线的交点).
(1) 写出点 B 与点 C 的坐标.
(2) 求四边形 ABCD 的面积.

解析 (1) B(−2,3)，C(3,5)．
(2) 四边形ABCD可以分割成两个直角三角形和一个直角梯形．
S四边形ABCD = $\frac{1}{2}$×2×3 + $\frac{1}{2}$×2×5 + $\frac{1}{2}$×(3 + 5)×5 = 28．

3. 学科教材变式特色 P70T9 在平面直角坐标系中，已知 O(0,0)，B(1,3).
(1) 若点 A 在 x 轴上，且$ S_{△AOB}=4$，求满足条件的点 A 的坐标.
(2) 若点 A 在 y 轴上，且$ S_{△AOB}=5$，求满足条件的点 A 的坐标.
(3) 若点 A 在坐标轴上，且$ S_{△AOB}=2$，求满足条件的点 A 的坐标.

解析 (1)
∵点A在x轴上，
∴S△OAB = $\frac{1}{2}$×OA×3 = 4，解得OA = $\frac{8}{3}$，
∴点A的坐标为($\frac{8}{3}$, 0)或(−$\frac{8}{3}$, 0)．
(2)
∵点A在y轴上，
∴S△OAB = $\frac{1}{2}$×OA×1 = 5，
解得OA = 10，
∴点A的坐标为(0,10)或(0,−10)．
(3) 若点A在x轴上，则S△OAB = $\frac{1}{2}$×OA×3 = 2，
解得OA = $\frac{4}{3}$，
∴点A的坐标为($\frac{4}{3}$, 0)或(−$\frac{4}{3}$, 0)；
若点A在y轴上，则S△OAB = $\frac{1}{2}$×OA×1 = 2，
解得OA = 4，
∴点A的坐标为(0,4)或(0,−4)．
综上所述，点A的坐标为($\frac{4}{3}$, 0)或(−$\frac{4}{3}$, 0)或(0,4)或(0,−4)．

4. 学科分类讨特色论思想「2025 湖北武汉江汉期中」已知点 A(a,0)，B(0,b)，且a+1+√{b - 3}=0.
(1) 直接写出 A，B 两点坐标.
(2) 将线段 AB 平移至线段 CD(点 A 与 C 对应，点 B 与 D 对应).
①如图 1，若点 D 的坐标为(m,m)，点 C 在 y 轴上，求线段 AD 与 y 轴的交点 E 的坐标.
②如图 2，若点 D 的坐标为(6,0)，点 P 在坐标轴上，三角形 APB 的面积是三角形 PCD 面积的 2 倍，直接写出 P 点坐标.

解析 (1)
∵|a + 1| ≥ 0，$\sqrt{b - 3}$ ≥ 0，且|a + 1| + $\sqrt{b - 3}$ = 0，
∴a + 1 = 0，b - 3 = 0，
∴a = −1，b = 3，
∴A(−1,0)，B(0,3)．
(2) ①由平移可得m = 1，
∴D(1,1)，
连接OD，如图，

∵S三角形AOD = S三角形AOE + S三角形EOD，
∴$\frac{1}{2}$×1×1 = $\frac{1}{2}$×1×OE + $\frac{1}{2}$×OE×1，
∴OE = $\frac{1}{2}$，
∴E(0, $\frac{1}{2}$)．
②由题意可得线段AB向右平移6个单位，向下平移3个单位得到线段CD，
∴C(5,−3)，
如图，当点P在x轴上时(此时点P只能在点O的右边)，设P(m,0)，

此时三角形APB的AP边上的高与三角形PCD的PD边上的高是相等的，
∵三角形APB的面积是三角形PCD面积的2倍，
∴AP = 2DP，
∴m + 1 = 2|m - 6|，
解得m = 13或$\frac{11}{3}$，
∴点P的坐标为(13,0)或($\frac{11}{3}$, 0)．
当点P在y轴上时，设P(0,n)，
(i) 如图，当点P在直线CD上方时(此时点P只能在点O的下方)，连接OC，

∴S三角形APB = $\frac{1}{2}$BP·OA = $\frac{1}{2}$(3 - n) = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$n，
S三角形PCD = S三角形OCD + S三角形OCP - S三角形OPD
= $\frac{1}{2}$×6×3 + $\frac{1}{2}$×(−n)×5 - $\frac{1}{2}$×6×(−n) = 9 + $\frac{1}{2}$n，
∵三角形APB的面积是三角形PCD面积的2倍，
∴$\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$n = 2(9 + $\frac{1}{2}$n)，解得n = −11，
∴P(0,−11)；
(ii) 如图，当点P在直线CD下方时，连接OC，

∴S三角形APB = $\frac{1}{2}$BP·OA = $\frac{1}{2}$(3 - n) = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$n，
S三角形PCD = S三角形OPD - (S三角形OCD + S三角形OCP)
= $\frac{1}{2}$×6×(−n) - [$\frac{1}{2}$×6×3 + $\frac{1}{2}$×(−n)×5] = -$\frac{1}{2}$n - 9，
∵三角形APB的面积是三角形PCD面积的2倍，
∴$\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$n = 2( -$\frac{1}{2}$n - 9)，解得n = −39，
∴P(0,−39)．
综上，点P的坐标为(13,0)或($\frac{11}{3}$, 0)或(0,−11)或(0,−39)．