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1. 若二次函数$y=ax^2$的图象过点$(-1,3)$，则$a$的值为
3
。答案
1. 3
解析
【分析】
解题思路：已知点在二次函数的图象上，根据函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式的性质，我们只需将已知点的横、纵坐标代入二次函数解析式，就能得到关于参数$a$的一元一次方程，解方程即可求出$a$的值。
【解析】
解：$\because$二次函数$y=ax^2$的图象过点$(-1,3)$，
$\therefore$将$x=-1$，$y=3$代入$y=ax^2$中，可得：
$3=a× (-1)^2$
计算得$(-1)^2=1$，因此$3=a×1$，
解得$a=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，考查二次函数图象与点坐标的对应关系，解题核心是牢记“函数图象上任意一点的坐标都满足该函数的解析式”，代入后计算量小，易得分。
【难度系数】
0.9
解题思路：已知点在二次函数的图象上，根据函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式的性质，我们只需将已知点的横、纵坐标代入二次函数解析式，就能得到关于参数$a$的一元一次方程，解方程即可求出$a$的值。
【解析】
解：$\because$二次函数$y=ax^2$的图象过点$(-1,3)$，
$\therefore$将$x=-1$，$y=3$代入$y=ax^2$中，可得：
$3=a× (-1)^2$
计算得$(-1)^2=1$，因此$3=a×1$，
解得$a=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，考查二次函数图象与点坐标的对应关系，解题核心是牢记“函数图象上任意一点的坐标都满足该函数的解析式”，代入后计算量小，易得分。
【难度系数】
0.9
2. 函数$y=4x^2$的图象开口方向
向上
，顶点坐标为(0,0)
，对称轴为y轴(直线x=0)
.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
.答案
2. 向上；(0,0)；y轴(直线x=0)；增大
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的基础性质，解题思路如下：第一步先提取二次项系数$a$的值，根据$a$的正负判断图象开口方向；第二步回忆$y=ax^2$类二次函数固定的顶点坐标和对称轴；第三步结合开口方向与$x$的取值区间，判断函数的增减性即可。
【解析】
1. 开口方向判断：函数$y=4x^2$的二次项系数$a=4＞0$，因此图象开口向上；
2. 顶点坐标与对称轴：对于形如$y=ax^2(a≠0)$的二次函数，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴（即直线$x=0$）；
3. 增减性判断：因图象开口向上，在对称轴右侧（$x＞0$的区间），$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
向上；(0,0)；y轴(直线x=0)；增大
【知识点】
二次函数y=ax²的性质；二次函数图象特征；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数基础性质的直接应用题，考查对核心基础知识点的识记能力，属于基础题型，需熟练掌握$y=ax^2$的各项性质，为后续学习更复杂的二次函数打好基础。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数$y=ax^2$的基础性质，解题思路如下：第一步先提取二次项系数$a$的值，根据$a$的正负判断图象开口方向；第二步回忆$y=ax^2$类二次函数固定的顶点坐标和对称轴；第三步结合开口方向与$x$的取值区间，判断函数的增减性即可。
【解析】
1. 开口方向判断：函数$y=4x^2$的二次项系数$a=4＞0$，因此图象开口向上；
2. 顶点坐标与对称轴：对于形如$y=ax^2(a≠0)$的二次函数，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴（即直线$x=0$）；
3. 增减性判断：因图象开口向上，在对称轴右侧（$x＞0$的区间），$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
向上；(0,0)；y轴(直线x=0)；增大
【知识点】
二次函数y=ax²的性质；二次函数图象特征；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数基础性质的直接应用题，考查对核心基础知识点的识记能力，属于基础题型，需熟练掌握$y=ax^2$的各项性质，为后续学习更复杂的二次函数打好基础。
【难度系数】
0.9
3.若二次函数$y=(m-4)x^2$有最大值，则m的取值范围为
m＜4
.答案
3. m＜4
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象和最值的对应关系：二次项系数$a$的符号决定抛物线开口方向，开口向上时函数有最小值，开口向下时函数有最大值。本题中函数有最大值，说明开口向下，因此只需让二次项系数小于0，解对应的不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，函数有最小值；
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，函数有最大值。
已知二次函数$y=(m-4)x^2$有最大值，因此二次项系数满足$m-4＜0$，
解不等式得：$m＜4$。
【答案】
$m＜4$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数开口方向与最值的对应关系，解题的关键是牢记二次项系数的符号对抛物线开口方向的影响，熟练掌握该性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象和最值的对应关系：二次项系数$a$的符号决定抛物线开口方向，开口向上时函数有最小值，开口向下时函数有最大值。本题中函数有最大值，说明开口向下，因此只需让二次项系数小于0，解对应的不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，函数有最小值；
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，函数有最大值。
已知二次函数$y=(m-4)x^2$有最大值，因此二次项系数满足$m-4＜0$，
解不等式得：$m＜4$。
【答案】
$m＜4$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数开口方向与最值的对应关系，解题的关键是牢记二次项系数的符号对抛物线开口方向的影响，熟练掌握该性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
4. 如图，从图象上可以看出，当$-1 ≤ x ≤ 2$时，$y$的取值范围是（
A.$-1 ≤ y ≤ 4$
B.$0 ≤ y ≤ 1$
C.$0 ≤ y ≤ 4$
D.$1 ≤ y ≤ 4$
C
）A.$-1 ≤ y ≤ 4$
B.$0 ≤ y ≤ 1$
C.$0 ≤ y ≤ 4$
D.$1 ≤ y ≤ 4$
答案
4. C
解析
【分析】
首先观察图象可知，该二次函数是开口向上、顶点在原点的抛物线，对称轴为y轴。要确定$-1 ≤ x ≤ 2$时y的取值范围，需按以下思路分析：1. 开口向上的二次函数顶点处取最小值，先判断顶点横坐标$x=0$是否在给定区间内，若在则最小值为顶点的y值；2. 再分别计算区间两个端点对应的y值，取较大值作为最大值，即可得到y的完整取值范围。
【解析】
由图象可得，该二次函数顶点在原点，对称轴为y轴，设解析式为$y=ax^2$，将点$(1,1)$代入解析式得：$1=a×1^2$，解得$a=1$，即函数解析式为$y=x^2$。
该函数开口向上，性质为：$x＜0$时，y随x的增大而减小；$x＞0$时，y随x的增大而增大。
在$-1 ≤ x ≤ 2$范围内：
① 当$x=0$时，y取最小值，$y_{\mathrm{min}}=0^2=0$；
② 计算区间端点的函数值：当$x=-1$时，$y=(-1)^2=1$；当$x=2$时，$y=2^2=4$，故y的最大值为4。
综上，y的取值范围是$0 ≤ y ≤ 4$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质，函数取值范围求解
【点评】
本题考查结合二次函数图象求给定区间内的函数值范围，解题核心是结合函数增减性判断最值点，不能仅计算区间端点的函数值，需注意区间内是否包含顶点这个特殊最值点。
【难度系数】
0.8
首先观察图象可知，该二次函数是开口向上、顶点在原点的抛物线，对称轴为y轴。要确定$-1 ≤ x ≤ 2$时y的取值范围，需按以下思路分析：1. 开口向上的二次函数顶点处取最小值，先判断顶点横坐标$x=0$是否在给定区间内，若在则最小值为顶点的y值；2. 再分别计算区间两个端点对应的y值，取较大值作为最大值，即可得到y的完整取值范围。
【解析】
由图象可得，该二次函数顶点在原点，对称轴为y轴，设解析式为$y=ax^2$，将点$(1,1)$代入解析式得：$1=a×1^2$，解得$a=1$，即函数解析式为$y=x^2$。
该函数开口向上，性质为：$x＜0$时，y随x的增大而减小；$x＞0$时，y随x的增大而增大。
在$-1 ≤ x ≤ 2$范围内：
① 当$x=0$时，y取最小值，$y_{\mathrm{min}}=0^2=0$；
② 计算区间端点的函数值：当$x=-1$时，$y=(-1)^2=1$；当$x=2$时，$y=2^2=4$，故y的最大值为4。
综上，y的取值范围是$0 ≤ y ≤ 4$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质，函数取值范围求解
【点评】
本题考查结合二次函数图象求给定区间内的函数值范围，解题核心是结合函数增减性判断最值点，不能仅计算区间端点的函数值，需注意区间内是否包含顶点这个特殊最值点。
【难度系数】
0.8
1. 已知点$(-1,y_1),(2,y_2),(-3,y_3)$都在函数$y=x^2$的图象上，则(
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
A
)A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
答案
1. A
解析
【分析】
解题思路有两种：方法一，函数图象上的点的坐标满足函数解析式，我们可以将三个点的横坐标分别代入$y=x^2$，计算出对应的$y_1、y_2、y_3$的值，再比较大小即可；方法二，利用二次函数$y=x^2$的性质，它开口向上，对称轴为y轴（x=0），抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越大，我们只需要计算三个点的横坐标到对称轴的距离，就能快速判断函数值的大小。
【解析】
方法一（代入求值法）：
将$x=-1$代入$y=x^2$，得$y_1=(-1)^2=1$；
将$x=2$代入$y=x^2$，得$y_2=2^2=4$；
将$x=-3$代入$y=x^2$，得$y_3=(-3)^2=9$；
因为$1＜4＜9$，所以$y_1＜y_2＜y_3$。
方法二（性质法）：
二次函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为直线$x=0$，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。
三个点的横坐标到对称轴的距离分别为：$|-1-0|=1$，$|2-0|=2$，$|-3-0|=3$，
因为$1＜2＜3$，所以对应的函数值大小为$y_1＜y_2＜y_3$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；函数图象上点的坐标特征；有理数大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础题型，两种解题方法都很常用，直接代入计算的思路更直观，利用函数性质判断的方法更高效，熟练掌握二次函数的图象与性质能大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.9
解题思路有两种：方法一，函数图象上的点的坐标满足函数解析式，我们可以将三个点的横坐标分别代入$y=x^2$，计算出对应的$y_1、y_2、y_3$的值，再比较大小即可；方法二，利用二次函数$y=x^2$的性质，它开口向上，对称轴为y轴（x=0），抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越大，我们只需要计算三个点的横坐标到对称轴的距离，就能快速判断函数值的大小。
【解析】
方法一（代入求值法）：
将$x=-1$代入$y=x^2$，得$y_1=(-1)^2=1$；
将$x=2$代入$y=x^2$，得$y_2=2^2=4$；
将$x=-3$代入$y=x^2$，得$y_3=(-3)^2=9$；
因为$1＜4＜9$，所以$y_1＜y_2＜y_3$。
方法二（性质法）：
二次函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为直线$x=0$，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。
三个点的横坐标到对称轴的距离分别为：$|-1-0|=1$，$|2-0|=2$，$|-3-0|=3$，
因为$1＜2＜3$，所以对应的函数值大小为$y_1＜y_2＜y_3$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；函数图象上点的坐标特征；有理数大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础题型，两种解题方法都很常用，直接代入计算的思路更直观，利用函数性质判断的方法更高效，熟练掌握二次函数的图象与性质能大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.9
2. 在同一直角坐标系内,函数$y=kx^2$和$y=kx-2(k≠0)$的图象大致是(
A
B
C
D
B
)A
B
C
D
答案
2. B
解析
【分析】
本题是函数图象共存类问题，解题思路可分为两步：第一步先找两个函数中图象特征固定的部分，快速排除错误选项；第二步结合参数的正负分类验证剩余选项。首先观察一次函数$y=kx-2$，它的常数项为-2，因此与y轴的交点一定在y轴负半轴，可先排除交点在y轴正半轴的选项；再针对剩余选项，根据$k$的正负，分别判断二次函数开口方向和一次函数的增减性是否一致，即可选出正确答案。
【解析】
1. 先分析一次函数$y=kx-2(k≠0)$的图象特征：
当$x=0$时，$y=-2$，因此一次函数图象与y轴交于点$(0,-2)$，即交点在y轴负半轴。
观察选项：A、D中一次函数与y轴交于正半轴，不符合特征，排除A、D。
2. 分类讨论参数$k$的正负，验证剩余选项：
① 若$k＞0$：二次函数$y=kx^2$开口向上，一次函数$y=kx-2$斜率为正，图象应从左下向右上倾斜。选项C中一次函数从左上向右下倾斜（斜率为负），与$k＞0$矛盾，排除C。
② 若$k＜0$：二次函数$y=kx^2$开口向下，一次函数$y=kx-2$斜率为负，图象从左上向右下倾斜，且与y轴交于负半轴，与选项B的图象特征完全一致。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数图象性质，参数与图象的对应关系
【点评】
本题是函数图象判断的经典题型，解题的关键是先抓住固定不变的图象特征缩小选择范围，再通过参数的分类讨论验证不同函数的图象特征是否统一，能有效考查对函数图象与系数关系的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
本题是函数图象共存类问题，解题思路可分为两步：第一步先找两个函数中图象特征固定的部分，快速排除错误选项；第二步结合参数的正负分类验证剩余选项。首先观察一次函数$y=kx-2$，它的常数项为-2，因此与y轴的交点一定在y轴负半轴，可先排除交点在y轴正半轴的选项；再针对剩余选项，根据$k$的正负，分别判断二次函数开口方向和一次函数的增减性是否一致，即可选出正确答案。
【解析】
1. 先分析一次函数$y=kx-2(k≠0)$的图象特征：
当$x=0$时，$y=-2$，因此一次函数图象与y轴交于点$(0,-2)$，即交点在y轴负半轴。
观察选项：A、D中一次函数与y轴交于正半轴，不符合特征，排除A、D。
2. 分类讨论参数$k$的正负，验证剩余选项：
① 若$k＞0$：二次函数$y=kx^2$开口向上，一次函数$y=kx-2$斜率为正，图象应从左下向右上倾斜。选项C中一次函数从左上向右下倾斜（斜率为负），与$k＞0$矛盾，排除C。
② 若$k＜0$：二次函数$y=kx^2$开口向下，一次函数$y=kx-2$斜率为负，图象从左上向右下倾斜，且与y轴交于负半轴，与选项B的图象特征完全一致。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数图象性质，参数与图象的对应关系
【点评】
本题是函数图象判断的经典题型，解题的关键是先抓住固定不变的图象特征缩小选择范围，再通过参数的分类讨论验证不同函数的图象特征是否统一，能有效考查对函数图象与系数关系的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
3.若二次函数$y=ax^2$的图象经过点$P(-2,4)$，则该图象必经过点(
A.(2,4)
B.(-2,-4)
C.(-4,2)
D.(4,-2)
A
)A.(2,4)
B.(-2,-4)
C.(-4,2)
D.(4,-2)
答案
3. A
解析
【分析】
这道题有两种常用解题思路：思路一，先利用已知在函数图象上的点求出二次函数的完整解析式，再将各选项的点代入解析式验证是否成立，这是最基础的通用解法；思路二，利用二次函数$y=ax^2$的图象性质：该函数图象以y轴为对称轴，若点$(x,y)$在图象上，则其关于y轴的对称点$(-x,y)$也一定在图象上，直接找已知点的对称点即可快速得到答案。
【解析】
解法1：将点$P(-2,4)$代入$y=ax^2$得：
$4=a×(-2)^2$
即$4=4a$，解得$a=1$，因此二次函数解析式为$y=x^2$。
逐一验证选项：
A. 当$x=2$时，$y=2^2=4$，故点$(2,4)$在函数图象上，符合要求；
B. 当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4\ne-4$，故点$(-2,-4)$不在图象上；
C. 当$x=-4$时，$y=(-4)^2=16\ne2$，故点$(-4,2)$不在图象上；
D. 当$x=4$时，$y=4^2=16\ne-2$，故点$(4,-2)$不在图象上。
解法2：二次函数$y=ax^2$的图象对称轴为y轴，图象上的点均关于y轴对称，已知点$(-2,4)$在图象上，它关于y轴的对称点为$(2,4)$，因此该图象必经过点$(2,4)$。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题方法灵活，既可以通过求解析式代入验证的方法解答，也可以利用二次函数的对称性快速得出结论，熟练掌握二次函数基本性质可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.9
这道题有两种常用解题思路：思路一，先利用已知在函数图象上的点求出二次函数的完整解析式，再将各选项的点代入解析式验证是否成立，这是最基础的通用解法；思路二，利用二次函数$y=ax^2$的图象性质：该函数图象以y轴为对称轴，若点$(x,y)$在图象上，则其关于y轴的对称点$(-x,y)$也一定在图象上，直接找已知点的对称点即可快速得到答案。
【解析】
解法1：将点$P(-2,4)$代入$y=ax^2$得：
$4=a×(-2)^2$
即$4=4a$，解得$a=1$，因此二次函数解析式为$y=x^2$。
逐一验证选项：
A. 当$x=2$时，$y=2^2=4$，故点$(2,4)$在函数图象上，符合要求；
B. 当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4\ne-4$，故点$(-2,-4)$不在图象上；
C. 当$x=-4$时，$y=(-4)^2=16\ne2$，故点$(-4,2)$不在图象上；
D. 当$x=4$时，$y=4^2=16\ne-2$，故点$(4,-2)$不在图象上。
解法2：二次函数$y=ax^2$的图象对称轴为y轴，图象上的点均关于y轴对称，已知点$(-2,4)$在图象上，它关于y轴的对称点为$(2,4)$，因此该图象必经过点$(2,4)$。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题方法灵活，既可以通过求解析式代入验证的方法解答，也可以利用二次函数的对称性快速得出结论，熟练掌握二次函数基本性质可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.9
