4. 二次函数$y=ax^2$与直线$y=2x-3$交于点$P(1,b)$，则$a=$，$b=$。

4. -1 -1

【分析】
解题的核心是理解函数交点的性质：两个函数图象的交点坐标同时满足这两个函数的解析式。因此我们可以分两步求解：第一步，先将点P的横坐标代入直线解析式，求出b的值，得到点P的完整坐标；第二步，将点P的坐标代入二次函数解析式，即可求出a的值。
【解析】
1. 求b的值：
∵ 点P(1, b)在直线y=2x-3上，
∴ 将x=1代入直线解析式得：
$b = 2×1 - 3 = -1$。
2. 求a的值：
由b=-1可知点P的坐标为(1, -1)，
又
∵ 点P在二次函数$y=ax^2$的图象上，
∴ 将x=1，y=-1代入二次函数解析式得：
$-1 = a×1^2$，
解得$a=-1$。
【答案】
-1；-1
【知识点】
1. 函数图象上点的坐标特征
2. 待定系数法求参数
【点评】
本题属于基础题型，主要考查函数交点的基本性质，解题的关键是明确交点坐标可同时代入两个函数解析式建立等式求解，熟练掌握基础概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9

5. 对于二次函数$y=ax^2(a≠0)$，当x取$x_1,x_2(x_1≠x_2)$时，函数值相等，则当x取$x_1+x_2$时，函数值为。

5. 0

【分析】
首先回忆二次函数$y=ax^2$的图像性质：它的图像是抛物线，对称轴为直线$x=0$（即y轴）。已知当$x$取$x_1$、$x_2$（$x_1≠x_2$）时函数值相等，说明这两个横坐标对应的抛物线上的点纵坐标相同，因此两点关于抛物线的对称轴对称。根据对称轴是两点横坐标的中点，可推出$x_1$与$x_2$的关系，进而求出$x=x_1+x_2$时的函数值。
【解析】
解：
∵ 二次函数$y=ax^2$的对称轴为直线$x=0$，
且当$x=x_1$和$x=x_2$（$x_1≠x_2$）时，函数值相等，
∴ 点$(x_1,ax_1^2)$与点$(x_2,ax_2^2)$关于直线$x=0$对称，
∴ $\frac{x_1+x_2}{2}=0$，即$x_1+x_2=0$，
将$x=x_1+x_2=0$代入$y=ax^2$，得$y=a×0^2=0$。
【答案】
0
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数的对称性
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数的对称性应用，掌握特殊二次函数的图像性质是解题的关键，结合图像的对称特点可快速推导得到结果。
【难度系数】
0.8

6. 右图是二次函数①$y=ax^2$；②$y=bx^2$；③$y=cx^2$；④$y=dx^2$图象的草图.
比较 a，b，c，d 的大小
（用“＞”连接）

6. a ＞ b ＞ d ＞ c

【分析】
要比较四个二次项系数的大小，需结合二次函数$y=ax^2$的图象性质分析：首先根据抛物线开口方向判断系数的正负，开口向上的二次项系数为正，开口向下的二次项系数为负，先将系数分为正、负两组；再根据开口宽窄判断系数绝对值的大小，$|a|$越大抛物线开口越窄，分别比较两组内系数的大小，最后合并排序即可得到结果。
【解析】
对于二次函数$y=kx^2$，存在如下性质：
1. 开口方向与$k$的符号关系：开口向上时$k＞0$，开口向下时$k＜0$。
观察图象可知，抛物线①②开口向上，因此$a＞0$，$b＞0$；抛物线③④开口向下，因此$c＜0$，$d＜0$。
2. 开口宽窄与$|k|$的关系：$|k|$越大，抛物线的开口越窄。
正数组中，①的开口比②更窄，因此$|a|＞|b|$，即$a＞b＞0$；
负数组中，③的开口比④更窄，因此$|c|＞|d|$，根据负数大小比较规则，绝对值越大的负数数值越小，因此$0＞d＞c$。
综合以上结论，可排序为：$a＞b＞d＞c$。
【答案】
$a＞b＞d＞c$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质，有理数大小比较
【点评】
本题是二次函数图象的基础题，解题核心是掌握二次项系数对抛物线开口方向、开口宽窄的影响，记住“开口定符号，宽窄定绝对值”的技巧就能快速解题。
【难度系数】
0.75

7. (2025·绥化期末)已知$y=(k+2)x^{k^2 +k -4}$是二次函数，且当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大.
(1)则$k$的值为；对称轴为；
(2)已知点$A(1,-1)$在该二次函数图象上，则点$A$在该图象上对称点的坐标为；
(3)请画出该函数图象；
(4)当$-2≤x＜4$时，$y$的范围为；

7. (1) -3,y轴;(2)(-1, -1);(3)略;(4) - 16 ＜ y ≤ 0.

【分析】
(1) 先根据二次函数的定义：自变量最高次数为2、二次项系数不为0，列出关于k的方程和不等式，再结合“x＜0时y随x增大而增大”判断开口方向，进一步筛选k的值，再根据函数形式确定对称轴；
(2) 关于y轴对称的点的坐标特征是横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求对称点坐标；
(3) 画二次函数图象按“列表、描点、连线”的步骤进行，该函数是顶点在原点、开口向下的抛物线；
(4) 结合二次函数的增减性，分别计算区间端点和顶点处的函数值，再确定y的取值范围。
【解析】
(1) 已知$y=(k+2)x^{k^2 +k -4}$是二次函数，因此满足：
$\begin{cases}k^2 +k -4=2 \\k+2≠0\end{cases}$
解方程$k^2 +k -4=2$，整理得$k^2 +k -6=0$，因式分解得$(k+3)(k-2)=0$，解得$k=-3$或$k=2$。
又因为当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，说明二次函数开口向下，即二次项系数$k+2＜0$，得$k＜-2$，因此$k=-3$。
此时函数解析式为$y=-x^2$，属于形如$y=ax^2$的二次函数，对称轴为y轴。
(2) 该二次函数对称轴为y轴，点关于y轴对称时横坐标变为相反数，纵坐标不变，因此点$A(1,-1)$的对称点坐标为$(-1,-1)$。
(3) 画$y=-x^2$的图象：
① 列表：取x=-2、-1、0、1、2，对应y值分别为-4、-1、0、-1、-4；
② 描点：在坐标系中描出上述对应点；
③ 连线：用平滑曲线连接各点，得到开口向下、顶点在原点的抛物线即可。
(4) 对于$y=-x^2$，开口向下，顶点$(0,0)$是函数的最高点，$x＜0$时y随x增大而增大，$x＞0$时y随x增大而减小。
当$x=-2$时，$y=-(-2)^2=-4$；
当$x=0$时，y取最大值$0$；
当$x=4$时，$y=-4^2=-16$，由于$x＜4$，因此$y＞-16$；
综上，当$-2≤x＜4$时，y的取值范围是$-16＜y≤0$。
【答案】
(1) $-3$，y轴；(2) $(-1,-1)$；(3) 略；(4) $-16＜y≤0$
【知识点】
二次函数的定义，二次函数的性质，关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题围绕二次函数的基础内容展开，既考查了二次函数的定义判定，也考查了其增减性、对称性等核心性质，同时涉及给定自变量范围求函数值范围的应用，是二次函数部分的典型基础题，掌握好基础概念和性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

1. 直线$y=2x+3$是由直线$y=2x$向平移个单位长度得到的；直线$y=2x-3$是由直线$y=2x$向平移个单位长度得到的。

1. 上 3 下 3

【分析】
解题时首先明确：对于一次函数y=kx+b，当k值相同时，直线互相平行，可通过平移得到。上下平移的规律为“上加下减常数项”，即解析式中常数项增加几个单位，直线就向上平移几个单位；常数项减少几个单位，直线就向下平移几个单位，平移的距离为两个解析式常数项差值的绝对值。我们可以分别对比两条待判断直线与原直线y=2x的常数项变化，即可得到平移方向和单位长度。
【解析】
一次函数上下平移遵循“上加下减常数项”的规律：
1. 对比直线$y=2x+3$与$y=2x$：$y=2x$的常数项为0，$y=2x+3$的常数项为3，常数项增加了3，因此$y=2x+3$是由$y=2x$向上平移3个单位长度得到的。
2. 对比直线$y=2x-3$与$y=2x$：$y=2x-3$的常数项为-3，常数项减少了3，因此$y=2x-3$是由$y=2x$向下平移3个单位长度得到的。
【答案】
上 3 下 3
【知识点】
一次函数图象平移规律；平行直线的解析式特征
【点评】
本题是函数图象平移的基础题型，考查一次函数的上下平移规律，熟练掌握“上加下减、左加右减”的平移规则，既可以快速解决这类问题，也能为后续学习其他函数的图象平移打好基础。
【难度系数】
0.9

2. 抛物线$y=ax^2$的对称轴是，顶点是. 当$a＞0$时，抛物线的开口，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而；当$a＜0$时，抛物线的开口，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而.

2. y轴 原点 向上 减小 向下 增大

【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的基本结构，它是不含一次项和常数项的特殊二次函数：第一步先求对称轴，可借助已学的二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，本题中一次项系数$b=0$，代入即可得到对称轴；第二步求顶点，对称轴对应的函数值就是顶点的纵坐标，代入$x=0$即可得到顶点坐标；第三步判断开口方向，二次项系数$a$的符号直接决定开口朝向；最后判断增减性，结合开口方向，分析对称轴左侧$y$随$x$的变化规律即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，其中一次项系数$b=0$，常数项$c=0$：
1. 对称轴：根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=0$得$x=0$，即对称轴为y轴；
2. 顶点：将$x=0$代入解析式得$y=a×0^2=0$，所以顶点坐标为$(0,0)$，也就是原点；
3. 开口与增减性：二次项系数$a$的符号决定开口方向，当$a＞0$时，抛物线开口向上，此时图象在对称轴左侧（$x＜0$的区域），$y$随$x$的增大而减小；当$a＜0$时，抛物线开口向下，此时图象在对称轴左侧（$x＜0$的区域），$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
y轴 原点 向上 减小 向下 增大
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数的对称轴与顶点
3. 二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础概念考查题，直接针对二次函数最基础形式的性质设题，熟练掌握相关基础性质是解决本题的关键，也是后续学习复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.9

3. 函数$y=2x^2+1$的图象的形状为________，开口方向________，对称轴是________，顶点坐标是________.其图象是由抛物线$y=2x^2$向________平移________个单位长度得到的.

3. 抛物线 向上 y轴 (0,1) 上 1

【分析】
解决这道题需要围绕二次函数$y=ax^2+k$的相关性质和图象平移规律思考：①首先二次函数的图象统一为抛物线，开口方向由二次项系数$a$的符号判断，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；②形如$y=ax^2+k$的二次函数，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,k)$；③图象平移遵循“上加下减常数项”的规律，对比两个函数的常数项即可判断平移的方向和长度。
【解析】
1. 图象形状：所有二次函数的图象都是抛物线，因此$y=2x^2+1$的图象为抛物线；
2. 开口方向：该函数二次项系数$a=2＞0$，因此开口方向向上；
3. 对称轴：函数属于$y=ax^2+k$的形式，对称轴为y轴（也可写为直线$x=0$）；
4. 顶点坐标：将$x=0$代入函数得$y=2×0^2+1=1$，因此顶点坐标为$(0,1)$；
5. 平移判断：对比$y=2x^2$和$y=2x^2+1$，后者常数项多了1，根据“上加下减”的平移规则，其图象是由抛物线$y=2x^2$向上平移1个单位长度得到的。
【答案】
抛物线；向上；y轴；$(0,1)$；上；1
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，主要考察对基础性质的记忆，只要掌握二次项系数对开口的影响、$y=ax^2+k$形式的对称轴和顶点特点，以及平移“上加下减”的规律，就能快速解答。
【难度系数】
0.9

在同一直角坐标系中,画出二次函数$y=\frac{1}{2}x^2,y=\frac{1}{2}x^2+2,y=\frac{1}{2}x^2-2$的图象.
列表:

描点并连线:

(1)观察图象并填表:

(2)把抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$向平移个单位长度,就得到抛物线$y=\frac{1}{2}x^2+2$;
把抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$向平移个单位长度,就得到抛物线$y=\frac{1}{2}x^2-2$.
(3)观察图象,用类比的方法探讨交流抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+2,y=-\frac{1}{2}x^2-2$与抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$的关系及图象的异同点.

【归纳总结】二次函数$y=ax^2+k$的图象和性质.
(1)填表:

(2)增减性:当$a＞0$时,在对称轴的左侧,$y$随$x$的增大而,在对称轴的右侧,$y$随$x$的增大而;当$a＜0$时,在对称轴的左侧,$y$随$x$的增大而,在对称轴的右侧,$y$随$x$的增大而.
(3)平移:二次函数$y=ax^2+k$的图象与函数$y=ax^2$的图象形状相同,只是位置不同,它们之间可以通过平移得到.把函数$y=ax^2$的图象向上或向下平移$|k|$个单位长度,可得到$y=ax^2+k$的图象,简记为"上加下减".

(2) 上 2 下 2
(2) 减小 增大 增大 减小

【分析】
首先解决平移类问题：我们需要掌握二次函数上下平移的规律“上加下减”，即对于二次函数$y=ax^2$，当常数项增加$k(k＞0)$时，图象向上平移$k$个单位，当常数项减少$k(k＞0)$时，图象向下平移$k$个单位，据此可以判断抛物线的平移方向和距离。然后解决增减性问题：二次函数的增减性由开口方向（即$a$的正负）和所在对称轴的位置共同决定，$a＞0$时抛物线开口向上，对称轴左侧函数递减、右侧递增；$a＜0$时抛物线开口向下，对称轴左侧函数递增、右侧递减，结合对称轴为$y轴(x=0)$即可填写增减性结论。
【解析】
1. 平移问题求解：
对比$y=\frac{1}{2}x^2+2$和$y=\frac{1}{2}x^2$，常数项从0变为+2，根据“上加下减”的平移规律，是将$y=\frac{1}{2}x^2$向上平移2个单位得到$y=\frac{1}{2}x^2+2$；
对比$y=\frac{1}{2}x^2-2$和$y=\frac{1}{2}x^2$，常数项从0变为-2，根据“上加下减”的平移规律，是将$y=\frac{1}{2}x^2$向下平移2个单位得到$y=\frac{1}{2}x^2-2$。
2. 增减性问题求解：
当$a＞0$时，抛物线开口向上，对称轴为$x=0$（y轴），因此在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大；
当$a＜0$时，抛物线开口向下，对称轴为$x=0$（y轴），因此在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
(2) 上；2；下；2
(2) 减小；增大；增大；减小
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题围绕二次函数$y=ax^2+k$的核心基础知识点命题，侧重对基础规律的理解和记忆，熟练掌握平移口诀和不同开口方向下的增减性规律，是解决这类问题的关键，也为后续学习二次函数的复合平移奠定基础。
【难度系数】
0.8