例 将抛物线$y=3x^2 -1$向下平移4个单位后，所得抛物线是。
当$x=$时，该抛物线有最（填“大”或“小”）值，是。

例 $y=3x^2-5$ 0 小 -5

【分析】
解题分为两个核心步骤：第一步依据二次函数上下平移的规律推导平移后的解析式，上下平移遵循“上加下减”的规则，向下平移几个单位就将原函数的函数值减去几；第二步根据平移后抛物线的二次项系数判断开口方向，再结合顶点坐标确定最值：二次项系数大于0时抛物线开口向上，顶点是最低点，存在最小值，顶点的横坐标对应取最值时x的取值，纵坐标就是最值。
【解析】
1. 计算平移后的抛物线解析式：
根据二次函数“上加下减”的平移规律，将$y=3x^2 -1$向下平移4个单位，即原函数整体减4，可得：
$y=3x^2 -1 -4 = 3x^2 -5$
2. 分析抛物线的最值：
平移后抛物线$y=3x^2 -5$的二次项系数$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，有最小值；
该抛物线顶点坐标为$(0,-5)$，因此当$x=0$时，抛物线取得最小值，最小值为$-5$。
【答案】
$y=3x^2-5$；0；小；$-5$
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数的最值
【点评】
本题是基础题型，重点考查二次函数的平移规则和最值性质，熟练掌握平移口诀以及二次项系数与开口方向、最值的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9

变式1 将抛物线 $y=3x^2 -1$ 向上平移4个单位后,所得抛物线是；再向下平移2个单位,得到的抛物线是

变式1 $y=3x^2+3$ $y=3x^2+1$

【分析】
本题考查二次函数图象的上下平移问题，解题思路如下：首先回忆二次函数平移的核心规律：上下平移时对函数整体值遵循“上加下减”规则，即向上平移n个单位，就在原解析式等号右侧整体加n；向下平移n个单位，就在原解析式等号右侧整体减n。第一步先对原抛物线做向上平移4个单位的计算，得到第一次平移后的解析式；第二步再对第一次平移的结果做向下平移2个单位的计算，即可得到最终答案。
【解析】
已知原抛物线的解析式为$y=3x^2 -1$：
1. 向上平移4个单位，根据“上加下减”的平移规律，所得抛物线解析式为：
$y=3x^2 -1 +4 = 3x^2 +3$
2. 再将上述抛物线向下平移2个单位，同理可得最终抛物线解析式为：
$y=3x^2 +3 -2 = 3x^2 +1$
【答案】
$y=3x^2+3$；$y=3x^2+1$
【知识点】
二次函数图象平移；函数平移规律
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，核心考查上下平移的运算规则，只要熟练掌握“上加下减、左加右减”的平移规律就能快速求解，做题时注意区分上下平移和左右平移的运算对象，避免混淆出错。
【难度系数】
0.9