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变式2 将抛物线$y=3x^2 -1$向
上
平移$\frac{11}{2}$
个单位，得到抛物线$y=3x^2 + \frac{9}{2}$。答案
变式2 上 $\frac{11}{2}$
解析
【分析】
解题时首先明确二次函数平移时二次项系数保持不变，观察两个给定的抛物线解析式，发现仅有常数项不同，因此属于沿竖直方向的平移，适用“上加下减常数项”的平移规律。我们可以通过计算两个常数项的差值判断平移方向和平移距离：若差值为正，说明向上平移，差值的绝对值就是平移距离；若差值为负，说明向下平移。
【解析】
二次函数平移时，二次项系数$a$不变，题中两条抛物线的解析式均为$y=3x^2+k$的形式，仅常数项不同，因此是上下平移。
根据二次函数上下平移规律：将抛物线$y=ax^2+k_1$平移得到$y=ax^2+k_2$，平移的距离为$\left|k_2 - k_1\right|$，若$k_2＞k_1$则为向上平移，若$k_2＜k_1$则为向下平移。
代入本题数据：$k_1=-1$，$k_2=\frac{9}{2}$，
差值为$\frac{9}{2} - (-1) = \frac{9}{2} + \frac{2}{2} = \frac{11}{2}$，差值为正，说明是向上平移$\frac{11}{2}$个单位。
【答案】
上；$\frac{11}{2}$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查上下平移的规律，只要熟练掌握“上加下减常数项”的平移规则，准确计算常数项的差值就能顺利解题，注意计算正负数差时不要出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确二次函数平移时二次项系数保持不变，观察两个给定的抛物线解析式，发现仅有常数项不同，因此属于沿竖直方向的平移，适用“上加下减常数项”的平移规律。我们可以通过计算两个常数项的差值判断平移方向和平移距离：若差值为正，说明向上平移，差值的绝对值就是平移距离；若差值为负，说明向下平移。
【解析】
二次函数平移时，二次项系数$a$不变，题中两条抛物线的解析式均为$y=3x^2+k$的形式，仅常数项不同，因此是上下平移。
根据二次函数上下平移规律：将抛物线$y=ax^2+k_1$平移得到$y=ax^2+k_2$，平移的距离为$\left|k_2 - k_1\right|$，若$k_2＞k_1$则为向上平移，若$k_2＜k_1$则为向下平移。
代入本题数据：$k_1=-1$，$k_2=\frac{9}{2}$，
差值为$\frac{9}{2} - (-1) = \frac{9}{2} + \frac{2}{2} = \frac{11}{2}$，差值为正，说明是向上平移$\frac{11}{2}$个单位。
【答案】
上；$\frac{11}{2}$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查上下平移的规律，只要熟练掌握“上加下减常数项”的平移规则，准确计算常数项的差值就能顺利解题，注意计算正负数差时不要出错。
【难度系数】
0.9
1. 把抛物线$y=2x^2$向下平移2个单位，可以得到抛物线
$y=2x^2-2$
；再向上平移5个单位，可以得到抛物线$y=2x^2+3$
.答案
1. $y=2x^2-2$ $y=2x^2+3$
解析
【分析】
解决本题首先要明确二次函数图象平移的核心特征：平移不会改变抛物线的开口方向和大小，因此二次项系数$a$保持不变。本题为上下平移，对应规律为“上加下减”：即向上平移$n$个单位时，在原解析式的常数项后加$n$；向下平移$n$个单位时，在原解析式的常数项后减$n$。我们先按规则计算第一次向下平移后的解析式，再以此为基础计算第二次向上平移后的解析式即可。
【解析】
根据二次函数上下平移的“上加下减”规律，平移前后二次项系数不变：
1. 将抛物线$y=2x^2$向下平移2个单位，可得新抛物线解析式为：
$y=2x^2 - 2$
2. 将得到的$y=2x^2 - 2$再向上平移5个单位，可得新抛物线解析式为：
$y=2x^2 - 2 + 5 = 2x^2 + 3$
【答案】
$y=2x^2-2$；$y=2x^2+3$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 函数平移“上加下减”法则
【点评】
本题是二次函数平移类的基础题，主要考察上下平移的运算规则，熟练掌握平移规律即可快速解题，是学习更复杂的二次函数图象变换的基础。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确二次函数图象平移的核心特征：平移不会改变抛物线的开口方向和大小，因此二次项系数$a$保持不变。本题为上下平移，对应规律为“上加下减”：即向上平移$n$个单位时，在原解析式的常数项后加$n$；向下平移$n$个单位时，在原解析式的常数项后减$n$。我们先按规则计算第一次向下平移后的解析式，再以此为基础计算第二次向上平移后的解析式即可。
【解析】
根据二次函数上下平移的“上加下减”规律，平移前后二次项系数不变：
1. 将抛物线$y=2x^2$向下平移2个单位，可得新抛物线解析式为：
$y=2x^2 - 2$
2. 将得到的$y=2x^2 - 2$再向上平移5个单位，可得新抛物线解析式为：
$y=2x^2 - 2 + 5 = 2x^2 + 3$
【答案】
$y=2x^2-2$；$y=2x^2+3$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 函数平移“上加下减”法则
【点评】
本题是二次函数平移类的基础题，主要考察上下平移的运算规则，熟练掌握平移规律即可快速解题，是学习更复杂的二次函数图象变换的基础。
【难度系数】
0.9
2. 关于二次函数$y=-2x^2+3$，下列说法中正确的是(
A.图象的开口向上
B.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大
C.图象的顶点坐标是$(-2,3)$
D.图象的对称轴是直线$x=3$
B
)A.图象的开口向上
B.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大
C.图象的顶点坐标是$(-2,3)$
D.图象的对称轴是直线$x=3$
答案
2. B
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质，解题时先确定函数中$a$、$k$的取值，再依次根据开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性的判断规则逐一分析选项即可。首先明确该函数无一次项，因此对称轴为$x=0$（y轴），再结合$a$的正负判断开口方向，进而推导增减性，最后核对顶点坐标和对称轴的表述即可选出正确选项。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2+3$，属于$y=ax^2+k$的形式，其中$a=-2$，$k=3$：
1. 分析选项A：二次函数开口方向由$a$的正负决定，当$a＜0$时图象开口向下，这里$a=-2＜0$，因此开口向下，A错误；
2. 分析选项B：该函数对称轴为直线$x=0$（y轴），且开口向下，因此在对称轴左侧即$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，B正确；
3. 分析选项C：$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，因此该函数顶点坐标是$(0,3)$，不是$(-2,3)$，C错误；
4. 分析选项D：该函数无一次项，对称轴为直线$x=0$，不是直线$x=3$，D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数增减性；二次函数顶点与对称轴
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，只要牢记$y=ax^2+k$类二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性的判断规律，就能快速作答。
【难度系数】
0.85
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质，解题时先确定函数中$a$、$k$的取值，再依次根据开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性的判断规则逐一分析选项即可。首先明确该函数无一次项，因此对称轴为$x=0$（y轴），再结合$a$的正负判断开口方向，进而推导增减性，最后核对顶点坐标和对称轴的表述即可选出正确选项。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2+3$，属于$y=ax^2+k$的形式，其中$a=-2$，$k=3$：
1. 分析选项A：二次函数开口方向由$a$的正负决定，当$a＜0$时图象开口向下，这里$a=-2＜0$，因此开口向下，A错误；
2. 分析选项B：该函数对称轴为直线$x=0$（y轴），且开口向下，因此在对称轴左侧即$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，B正确；
3. 分析选项C：$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，因此该函数顶点坐标是$(0,3)$，不是$(-2,3)$，C错误；
4. 分析选项D：该函数无一次项，对称轴为直线$x=0$，不是直线$x=3$，D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数增减性；二次函数顶点与对称轴
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，只要牢记$y=ax^2+k$类二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性的判断规律，就能快速作答。
【难度系数】
0.85
3. 已知抛物线 $ y = 2x^2 - 1 $ 上有两点 $ (x_1,y_1),(x_2,y_2) $，且 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 0 $，则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系为(
A.$ y_1＞y_2 $
B.$ y_1=y_2 $
C.$ y_1＜y_2 $
D.无法确定
A
)A.$ y_1＞y_2 $
B.$ y_1=y_2 $
C.$ y_1＜y_2 $
D.无法确定
答案
3. A
解析
【分析】
解决本题首先要明确二次函数的图象性质：先通过解析式确定抛物线的开口方向、对称轴，再判断两个点所在的区间对应的函数增减性，最后根据自变量的大小关系推导函数值的大小关系。首先看抛物线解析式$y=2x^2 - 1$，$a=2＞0$，可判断开口向上，对称轴为y轴（$x=0$）；开口向上的抛物线在对称轴左侧（$x＜0$）时，$y$随$x$的增大而减小，已知$x_1＜x_2＜0$，都在对称轴左侧，因此自变量越小，对应的函数值越大。
【解析】
对于二次函数$y=2x^2 - 1$：
1. 二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
2. 开口向上的抛物线，在对称轴左侧（$x＜0$的区间），$y$随$x$的增大而减小；
3. 已知$x_1 ＜ x_2 ＜ 0$，两点均在对称轴左侧，根据上述增减性可得：$y_1 ＞ y_2$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的增减性，二次函数$y=ax^2+k$的图象性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题核心是先确定抛物线的开口方向和对称轴，再结合自变量的取值范围利用增减性比较函数值大小，熟练掌握二次函数的基本性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确二次函数的图象性质：先通过解析式确定抛物线的开口方向、对称轴，再判断两个点所在的区间对应的函数增减性，最后根据自变量的大小关系推导函数值的大小关系。首先看抛物线解析式$y=2x^2 - 1$，$a=2＞0$，可判断开口向上，对称轴为y轴（$x=0$）；开口向上的抛物线在对称轴左侧（$x＜0$）时，$y$随$x$的增大而减小，已知$x_1＜x_2＜0$，都在对称轴左侧，因此自变量越小，对应的函数值越大。
【解析】
对于二次函数$y=2x^2 - 1$：
1. 二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
2. 开口向上的抛物线，在对称轴左侧（$x＜0$的区间），$y$随$x$的增大而减小；
3. 已知$x_1 ＜ x_2 ＜ 0$，两点均在对称轴左侧，根据上述增减性可得：$y_1 ＞ y_2$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的增减性，二次函数$y=ax^2+k$的图象性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题核心是先确定抛物线的开口方向和对称轴，再结合自变量的取值范围利用增减性比较函数值大小，熟练掌握二次函数的基本性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
变式1 若$x_1＞x_2＞0$，其他条件不变，则$y_1$与$y_2$的大小关系为
$y_1＞y_2$
。答案
变式1 $y_1＞y_2$
解析
【分析】
本题承接前文题干，默认考查开口向上、对称轴为y轴的二次函数$ y=ax^2 +k(a＞0) $的性质。解题思路如下：第一步先明确二次函数的开口方向和对称轴位置；第二步判断给出的两个自变量$ x_1、x_2 $在对称轴的哪一侧；第三步结合对应区间的增减性，即可比较两个函数值的大小。
【解析】
由题意可知，本题对应的二次函数满足$ a＞0 $，对称轴为直线$ x=0 $。
根据二次函数的性质：当$ a＞0 $时，在对称轴右侧（$ x＞0 $的区域），y随x的增大而增大。
已知$ x_1 ＞ x_2 ＞ 0 $，即两个自变量均在对称轴右侧的增区间内，因此可得$ y_1 ＞ y_2 $。
【答案】
$ y_1 ＞ y_2 $
【知识点】
二次函数增减性、二次函数$ y=ax^2+k $的性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，重点考查对对称轴单侧函数增减性的掌握程度，解题时要先确定开口方向、对称轴，再结合自变量的位置关系判断函数值大小。
【难度系数】
0.8
本题承接前文题干，默认考查开口向上、对称轴为y轴的二次函数$ y=ax^2 +k(a＞0) $的性质。解题思路如下：第一步先明确二次函数的开口方向和对称轴位置；第二步判断给出的两个自变量$ x_1、x_2 $在对称轴的哪一侧；第三步结合对应区间的增减性，即可比较两个函数值的大小。
【解析】
由题意可知，本题对应的二次函数满足$ a＞0 $，对称轴为直线$ x=0 $。
根据二次函数的性质：当$ a＞0 $时，在对称轴右侧（$ x＞0 $的区域），y随x的增大而增大。
已知$ x_1 ＞ x_2 ＞ 0 $，即两个自变量均在对称轴右侧的增区间内，因此可得$ y_1 ＞ y_2 $。
【答案】
$ y_1 ＞ y_2 $
【知识点】
二次函数增减性、二次函数$ y=ax^2+k $的性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，重点考查对对称轴单侧函数增减性的掌握程度，解题时要先确定开口方向、对称轴，再结合自变量的位置关系判断函数值大小。
【难度系数】
0.8
变式2 若$x_1＜x_2$，其他条件不变，则$y_1$与$y_2$的大小关系为。
答案
$\boldsymbol{y_1＞y_2}$
解析
【分析】
本题考查二次函数的增减性应用。解题思路如下：首先回忆二次函数$y=a(x-h)^2+k$的图象性质：函数的增减性由开口方向和点相对于对称轴的位置决定，当函数在某一区间内y随x的增大而减小时，x越大对应的y值越小。本题已知$x_1＜x_2$，结合题干中“其他条件不变”的隐含前提（即两点仍处于该函数的递减区间），即可直接判断$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
由二次函数$y=a(x-h)^2+k$的性质可知，本题对应区间内y随x的增大而减小，
∵ $x_1＜x_2$，
∴ $y_1＞y_2$。
【答案】
$\boldsymbol{y_1＞y_2}$
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数$y=a(x-h)^2+k$的性质
【点评】
本题是二次函数增减性的基础应用题，只要掌握开口方向、区间位置与函数增减变化的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的增减性应用。解题思路如下：首先回忆二次函数$y=a(x-h)^2+k$的图象性质：函数的增减性由开口方向和点相对于对称轴的位置决定，当函数在某一区间内y随x的增大而减小时，x越大对应的y值越小。本题已知$x_1＜x_2$，结合题干中“其他条件不变”的隐含前提（即两点仍处于该函数的递减区间），即可直接判断$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
由二次函数$y=a(x-h)^2+k$的性质可知，本题对应区间内y随x的增大而减小，
∵ $x_1＜x_2$，
∴ $y_1＞y_2$。
【答案】
$\boldsymbol{y_1＞y_2}$
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数$y=a(x-h)^2+k$的性质
【点评】
本题是二次函数增减性的基础应用题，只要掌握开口方向、区间位置与函数增减变化的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 在同一直角坐标系中，$y=ax^2+b$与$y=ax+b(a≠0,b≠0)$的图象的大致位置是(
A
B
C
D
C
)A
B
C
D
答案
4. C
解析
【分析】
要判断两个函数图象的位置是否正确，核心是验证两个解析式中相同参数$a$、$b$的一致性：①参数$a$同时决定二次函数的开口方向和一次函数的倾斜方向，二者的$a$符号必须统一；②参数$b$是两个函数与$y$轴交点的纵坐标，因此两个图象与$y$轴的交点为同一点，且题目明确$b≠0$，因此交点不能在原点。按这个逻辑逐个排除矛盾选项即可。
【解析】
我们逐一分析选项：
1. 选项A：二次函数开口向上，可得$a＞0$；但一次函数从左上向右下倾斜，斜率为负，即$a＜0$，$a$的符号矛盾，排除A。
2. 选项B：二次函数开口向下，可得$a＜0$；但一次函数从左下向右上倾斜，斜率为正，即$a＞0$，$a$的符号矛盾，排除B。
3. 选项D：两个函数的交点在原点$(0,0)$，代入解析式得$b=0$，与题干$b≠0$的条件矛盾，排除D。
4. 选项C：二次函数开口向上得$a＞0$，一次函数斜率为正也符合$a＞0$，参数$a$符号统一，且两个函数的交点符合$b$的取值要求，无矛盾。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，函数参数与图象的关系
【点评】
这是函数图象判断的基础题型，解题关键是抓住不同函数中相同参数的对应关系，先通过参数符号排除明显矛盾的选项，再结合特殊点验证，无需复杂计算即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要判断两个函数图象的位置是否正确，核心是验证两个解析式中相同参数$a$、$b$的一致性：①参数$a$同时决定二次函数的开口方向和一次函数的倾斜方向，二者的$a$符号必须统一；②参数$b$是两个函数与$y$轴交点的纵坐标，因此两个图象与$y$轴的交点为同一点，且题目明确$b≠0$，因此交点不能在原点。按这个逻辑逐个排除矛盾选项即可。
【解析】
我们逐一分析选项：
1. 选项A：二次函数开口向上，可得$a＞0$；但一次函数从左上向右下倾斜，斜率为负，即$a＜0$，$a$的符号矛盾，排除A。
2. 选项B：二次函数开口向下，可得$a＜0$；但一次函数从左下向右上倾斜，斜率为正，即$a＞0$，$a$的符号矛盾，排除B。
3. 选项D：两个函数的交点在原点$(0,0)$，代入解析式得$b=0$，与题干$b≠0$的条件矛盾，排除D。
4. 选项C：二次函数开口向上得$a＞0$，一次函数斜率为正也符合$a＞0$，参数$a$符号统一，且两个函数的交点符合$b$的取值要求，无矛盾。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，函数参数与图象的关系
【点评】
这是函数图象判断的基础题型，解题关键是抓住不同函数中相同参数的对应关系，先通过参数符号排除明显矛盾的选项，再结合特殊点验证，无需复杂计算即可快速解题。
【难度系数】
0.7
函数$y=ax^2 +k$与$y=ax^2$的平移规律及图象特点.
答案
解：
1. 平移规律：
当$k＞0$时，将二次函数$y=ax^2$的图象沿$y$轴向上平移$k$个单位长度，即可得到$y=ax^2+k$的图象；
当$k＜0$时，将二次函数$y=ax^2$的图象沿$y$轴向下平移$|k|$个单位长度，即可得到$y=ax^2+k$的图象。
2. 图象特点：
(1) 二次函数$y=ax^2+k$与$y=ax^2$的图象形状、开口方向、开口大小完全相同，仅图象的位置不同；
(2) $y=ax^2+k$的图象是抛物线，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），顶点坐标为$(0,k)$：
① 若$a＞0$，抛物线开口向上，顶点$(0,k)$是图象的最低点，函数有最小值$k$；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
② 若$a＜0$，抛物线开口向下，顶点$(0,k)$是图象的最高点，函数有最大值$k$；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
1. 平移规律：
当$k＞0$时，将二次函数$y=ax^2$的图象沿$y$轴向上平移$k$个单位长度，即可得到$y=ax^2+k$的图象；
当$k＜0$时，将二次函数$y=ax^2$的图象沿$y$轴向下平移$|k|$个单位长度，即可得到$y=ax^2+k$的图象。
2. 图象特点：
(1) 二次函数$y=ax^2+k$与$y=ax^2$的图象形状、开口方向、开口大小完全相同，仅图象的位置不同；
(2) $y=ax^2+k$的图象是抛物线，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），顶点坐标为$(0,k)$：
① 若$a＞0$，抛物线开口向上，顶点$(0,k)$是图象的最低点，函数有最小值$k$；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
② 若$a＜0$，抛物线开口向下，顶点$(0,k)$是图象的最高点，函数有最大值$k$；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
解析
【分析】
首先对比两个函数的解析式，可发现二者仅常数项不同，因此图象仅存在位置差异，可结合函数图象平移“上加下减常数项”的规律推导平移方式；其次两个函数的二次项系数均为a，因此开口方向、开口大小、形状完全相同，仅顶点坐标不同，可从顶点坐标、对称轴、增减性、最值等角度分析图象特点，按a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可。
【解析】
1. 平移规律：
当$k＞0$时，将二次函数$y=ax^2$的图象沿$y$轴向上平移$k$个单位长度，即可得到$y=ax^2+k$的图象；
当$k＜0$时，将二次函数$y=ax^2$的图象沿$y$轴向下平移$|k|$个单位长度，即可得到$y=ax^2+k$的图象。
2. 图象特点：
(1) 二次函数$y=ax^2+k$与$y=ax^2$的图象形状、开口方向、开口大小完全相同，仅图象的位置不同；
(2) $y=ax^2+k$的图象是抛物线，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），顶点坐标为$(0,k)$：
① 若$a＞0$，抛物线开口向上，顶点$(0,k)$是图象的最低点，函数有最小值$k$；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
② 若$a＜0$，抛物线开口向下，顶点$(0,k)$是图象的最高点，函数有最大值$k$；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
1. 平移规律：
当$k＞0$时，将二次函数$y=ax^2$的图象沿$y$轴向上平移$k$个单位长度，即可得到$y=ax^2+k$的图象；
当$k＜0$时，将二次函数$y=ax^2$的图象沿$y$轴向下平移$|k|$个单位长度，即可得到$y=ax^2+k$的图象。
2. 图象特点：
(1) 二次函数$y=ax^2+k$与$y=ax^2$的图象形状、开口方向、开口大小完全相同，仅图象的位置不同；
(2) $y=ax^2+k$的图象是抛物线，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），顶点坐标为$(0,k)$：
① 若$a＞0$，抛物线开口向上，顶点$(0,k)$是图象的最低点，函数有最小值$k$；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
② 若$a＜0$，抛物线开口向下，顶点$(0,k)$是图象的最高点，函数有最大值$k$；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
【知识点】
二次函数平移规律、二次函数y=ax²+k的性质、二次函数图象特征
【点评】
本题属于二次函数的基础考点，重点考查同二次项系数下不同二次函数的平移关系和图象异同，相关规律是后续学习复杂二次函数性质的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
首先对比两个函数的解析式，可发现二者仅常数项不同，因此图象仅存在位置差异，可结合函数图象平移“上加下减常数项”的规律推导平移方式；其次两个函数的二次项系数均为a，因此开口方向、开口大小、形状完全相同，仅顶点坐标不同，可从顶点坐标、对称轴、增减性、最值等角度分析图象特点，按a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可。
【解析】
1. 平移规律：
当$k＞0$时，将二次函数$y=ax^2$的图象沿$y$轴向上平移$k$个单位长度，即可得到$y=ax^2+k$的图象；
当$k＜0$时，将二次函数$y=ax^2$的图象沿$y$轴向下平移$|k|$个单位长度，即可得到$y=ax^2+k$的图象。
2. 图象特点：
(1) 二次函数$y=ax^2+k$与$y=ax^2$的图象形状、开口方向、开口大小完全相同，仅图象的位置不同；
(2) $y=ax^2+k$的图象是抛物线，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），顶点坐标为$(0,k)$：
① 若$a＞0$，抛物线开口向上，顶点$(0,k)$是图象的最低点，函数有最小值$k$；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
② 若$a＜0$，抛物线开口向下，顶点$(0,k)$是图象的最高点，函数有最大值$k$；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
1. 平移规律：
当$k＞0$时，将二次函数$y=ax^2$的图象沿$y$轴向上平移$k$个单位长度，即可得到$y=ax^2+k$的图象；
当$k＜0$时，将二次函数$y=ax^2$的图象沿$y$轴向下平移$|k|$个单位长度，即可得到$y=ax^2+k$的图象。
2. 图象特点：
(1) 二次函数$y=ax^2+k$与$y=ax^2$的图象形状、开口方向、开口大小完全相同，仅图象的位置不同；
(2) $y=ax^2+k$的图象是抛物线，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），顶点坐标为$(0,k)$：
① 若$a＞0$，抛物线开口向上，顶点$(0,k)$是图象的最低点，函数有最小值$k$；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
② 若$a＜0$，抛物线开口向下，顶点$(0,k)$是图象的最高点，函数有最大值$k$；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
【知识点】
二次函数平移规律、二次函数y=ax²+k的性质、二次函数图象特征
【点评】
本题属于二次函数的基础考点，重点考查同二次项系数下不同二次函数的平移关系和图象异同，相关规律是后续学习复杂二次函数性质的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
1. 抛物线$y=4x^2 -1$与y轴的交点坐标为
(0, - 1)
，与x轴的交点坐标为$(\frac{1}{2},0),(-\frac{1}{2},0)$
。答案
1. (0, - 1)；$(\frac{1}{2},0),(-\frac{1}{2},0)$
解析
【分析】
要求抛物线与坐标轴的交点坐标，需结合坐标轴上点的坐标特征求解：①求与y轴交点时，y轴上所有点的横坐标为0，因此将x=0代入抛物线解析式，计算出对应的y值即可得到交点坐标；②求与x轴交点时，x轴上所有点的纵坐标为0，因此将y=0代入抛物线解析式，解关于x的一元二次方程，得到的解即为交点的横坐标，进而得到交点坐标。
【解析】
1. 求抛物线与y轴的交点坐标：
令x=0，代入$y=4x^2 -1$，得：
$y=4×0^2 -1 = -1$
因此抛物线与y轴的交点坐标为$(0,-1)$。
2. 求抛物线与x轴的交点坐标：
令y=0，代入$y=4x^2 -1$，得方程：
$4x^2 -1 = 0$
移项得$4x^2=1$，即$x^2=\frac{1}{4}$，
开平方得$x=\pm\frac{1}{2}$，
因此抛物线与x轴的交点坐标为$(\frac{1}{2},0)$和$(-\frac{1}{2},0)$。
【答案】
$(0, - 1)$；$(\frac{1}{2},0),(-\frac{1}{2},0)$
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征；抛物线与坐标轴交点求解；一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考察二次函数与坐标轴交点的求解逻辑，解题的关键是熟练掌握坐标轴上点的坐标特点，计算量小，是二次函数部分必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
要求抛物线与坐标轴的交点坐标，需结合坐标轴上点的坐标特征求解：①求与y轴交点时，y轴上所有点的横坐标为0，因此将x=0代入抛物线解析式，计算出对应的y值即可得到交点坐标；②求与x轴交点时，x轴上所有点的纵坐标为0，因此将y=0代入抛物线解析式，解关于x的一元二次方程，得到的解即为交点的横坐标，进而得到交点坐标。
【解析】
1. 求抛物线与y轴的交点坐标：
令x=0，代入$y=4x^2 -1$，得：
$y=4×0^2 -1 = -1$
因此抛物线与y轴的交点坐标为$(0,-1)$。
2. 求抛物线与x轴的交点坐标：
令y=0，代入$y=4x^2 -1$，得方程：
$4x^2 -1 = 0$
移项得$4x^2=1$，即$x^2=\frac{1}{4}$，
开平方得$x=\pm\frac{1}{2}$，
因此抛物线与x轴的交点坐标为$(\frac{1}{2},0)$和$(-\frac{1}{2},0)$。
【答案】
$(0, - 1)$；$(\frac{1}{2},0),(-\frac{1}{2},0)$
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征；抛物线与坐标轴交点求解；一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考察二次函数与坐标轴交点的求解逻辑，解题的关键是熟练掌握坐标轴上点的坐标特点，计算量小，是二次函数部分必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
2. 如图,两条抛物线$y_1 = -\frac{1}{2}x^2 + 1$，$y_2 = -\frac{1}{2}x^2 -1$与分别经过点$(-2,0),(2,0)$，且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为
8
。答案
2. 8
解析
【分析】
首先观察两条抛物线的解析式，二次项系数完全相同，说明两条抛物线形状一致，$y_2$是$y_1$向下平移2个单位得到的，即任意相同横坐标处，$y_1$与$y_2$的纵坐标差恒为2。阴影部分由两条抛物线和直线$x=-2$、$x=2$围成，属于不规则图形，可通过割补法（平移法）转化为规则图形计算面积：左右边界的水平距离为4，竖直方向的高度差恒为2，因此阴影面积等价于长为4、宽为2的矩形面积。
【解析】
先计算任意$x$处两条抛物线的竖直距离：
$y_1 - y_2 = (-\frac{1}{2}x^2 + 1) - (-\frac{1}{2}x^2 -1) = 2$，即竖直方向高度恒为2。
两条平行于y轴的直线为$x=-2$和$x=2$，二者的水平距离为$2 - (-2) = 4$。
由于两条抛物线形状完全相同，可将阴影部分平移拼接为长为4、宽为2的矩形，因此阴影面积为：
$S = 4 × 2 = 8$
【答案】
8
【知识点】
二次函数图象平移，割补法求面积
【点评】
本题不需要复杂的面积计算，核心是抓住两条抛物线的平移关系，发现相同横坐标下两函数值的差为定值，将不规则阴影转化为规则矩形求解，是数形结合思想的典型应用。
【难度系数】
0.7
首先观察两条抛物线的解析式，二次项系数完全相同，说明两条抛物线形状一致，$y_2$是$y_1$向下平移2个单位得到的，即任意相同横坐标处，$y_1$与$y_2$的纵坐标差恒为2。阴影部分由两条抛物线和直线$x=-2$、$x=2$围成，属于不规则图形，可通过割补法（平移法）转化为规则图形计算面积：左右边界的水平距离为4，竖直方向的高度差恒为2，因此阴影面积等价于长为4、宽为2的矩形面积。
【解析】
先计算任意$x$处两条抛物线的竖直距离：
$y_1 - y_2 = (-\frac{1}{2}x^2 + 1) - (-\frac{1}{2}x^2 -1) = 2$，即竖直方向高度恒为2。
两条平行于y轴的直线为$x=-2$和$x=2$，二者的水平距离为$2 - (-2) = 4$。
由于两条抛物线形状完全相同，可将阴影部分平移拼接为长为4、宽为2的矩形，因此阴影面积为：
$S = 4 × 2 = 8$
【答案】
8
【知识点】
二次函数图象平移，割补法求面积
【点评】
本题不需要复杂的面积计算，核心是抓住两条抛物线的平移关系，发现相同横坐标下两函数值的差为定值，将不规则阴影转化为规则矩形求解，是数形结合思想的典型应用。
【难度系数】
0.7
3. 已知抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0,2)，且经过点(1,3)，则此抛物线的解析式为
$y = x^2 + 2$
。答案
3. $y = x^2 + 2$
解析
【分析】
解题时首先根据题目给出的顶点坐标和对称轴信息，选择最简便的二次函数解析式形式：已知顶点坐标时，优先使用顶点式计算，可减少运算量。首先回忆二次函数顶点式的结构为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），代入已知顶点坐标得到仅含参数$a$的解析式，再将抛物线经过的点的坐标代入，求解出$a$的值即可得到最终解析式。
【解析】
解：
∵抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,2)$
∴设该抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中顶点$(h,k)=(0,2)$
代入得：$y=ax^2+2$
∵抛物线经过点$(1,3)$
∴将$x=1$，$y=3$代入$y=ax^2+2$得：
$3=a×1^2 + 2$
解得$a=1$
将$a=1$代入$y=ax^2+2$，得抛物线解析式为$y=x^2+2$
【答案】
$y = x^2 + 2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式；二次函数的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数解析式的求解，解题关键是根据已知条件选择合适的解析式形式，熟悉顶点式的适用场景可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据题目给出的顶点坐标和对称轴信息，选择最简便的二次函数解析式形式：已知顶点坐标时，优先使用顶点式计算，可减少运算量。首先回忆二次函数顶点式的结构为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），代入已知顶点坐标得到仅含参数$a$的解析式，再将抛物线经过的点的坐标代入，求解出$a$的值即可得到最终解析式。
【解析】
解：
∵抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,2)$
∴设该抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中顶点$(h,k)=(0,2)$
代入得：$y=ax^2+2$
∵抛物线经过点$(1,3)$
∴将$x=1$，$y=3$代入$y=ax^2+2$得：
$3=a×1^2 + 2$
解得$a=1$
将$a=1$代入$y=ax^2+2$，得抛物线解析式为$y=x^2+2$
【答案】
$y = x^2 + 2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式；二次函数的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数解析式的求解，解题关键是根据已知条件选择合适的解析式形式，熟悉顶点式的适用场景可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
4.若抛物线$y=ax^2+c$与$y=2x^2$的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是$(0,-3)$，则该抛物线的解析式是
$y = - 2x^2 - 3$
.答案
4. $y = - 2x^2 - 3$
解析
【分析】
解题时可以分两步推导：第一步先确定二次项系数a的值：二次函数图像形状相同说明二次项系数的绝对值相等，开口方向相反说明二次项系数符号相反，结合已知抛物线$y=2x^2$的二次项系数是2，就能得到a的值；第二步确定常数项c的值：对于形如$y=ax^2+c$的抛物线，顶点坐标为$(0,c)$，结合题目给出的顶点坐标$(0,-3)$，即可直接得到c的值，最后代入a和c就能写出抛物线解析式。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2+c$与$y=2x^2$的形状相同，开口方向相反
∴ 二次项系数满足$a=-2$
又
∵ 抛物线$y=ax^2+c$的顶点坐标是$(0,-3)$，对于该形式的抛物线，顶点纵坐标即为常数项c
∴ $c=-3$
将$a=-2$，$c=-3$代入解析式，得$y=-2x^2-3$
【答案】
$y = - 2x^2 - 3$
【知识点】
二次函数图像与系数的关系；二次函数的顶点坐标；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数的基本性质，解题的关键是明确“形状相同的二次函数二次项系数绝对值相等，开口方向由二次项系数的符号决定”这两个核心结论，熟悉二次函数顶点坐标的特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时可以分两步推导：第一步先确定二次项系数a的值：二次函数图像形状相同说明二次项系数的绝对值相等，开口方向相反说明二次项系数符号相反，结合已知抛物线$y=2x^2$的二次项系数是2，就能得到a的值；第二步确定常数项c的值：对于形如$y=ax^2+c$的抛物线，顶点坐标为$(0,c)$，结合题目给出的顶点坐标$(0,-3)$，即可直接得到c的值，最后代入a和c就能写出抛物线解析式。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2+c$与$y=2x^2$的形状相同，开口方向相反
∴ 二次项系数满足$a=-2$
又
∵ 抛物线$y=ax^2+c$的顶点坐标是$(0,-3)$，对于该形式的抛物线，顶点纵坐标即为常数项c
∴ $c=-3$
将$a=-2$，$c=-3$代入解析式，得$y=-2x^2-3$
【答案】
$y = - 2x^2 - 3$
【知识点】
二次函数图像与系数的关系；二次函数的顶点坐标；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数的基本性质，解题的关键是明确“形状相同的二次函数二次项系数绝对值相等，开口方向由二次项系数的符号决定”这两个核心结论，熟悉二次函数顶点坐标的特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+3$与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$于点B,C,求BC的长度.
6. 如图,抛物线$y=x^2-4$与x轴交于A,B两点,点P是抛物线上一点,且$S_{△ PAB}=4$.求点P的坐标.
6. 如图,抛物线$y=x^2-4$与x轴交于A,B两点,点P是抛物线上一点,且$S_{△ PAB}=4$.求点P的坐标.
答案
5. 6
6. $(\sqrt{6},2),(-\sqrt{6},2),(\sqrt{2}, - 2)$或$(-\sqrt{2}, - 2)$
6. $(\sqrt{6},2),(-\sqrt{6},2),(\sqrt{2}, - 2)$或$(-\sqrt{2}, - 2)$
解析
【分析】
第5题解题思路：首先确定抛物线与y轴交点A的坐标，y轴上点的横坐标为0，代入第一个抛物线解析式即可得到A点纵坐标；过A且与x轴平行的直线上所有点纵坐标都等于A点纵坐标，将该纵坐标代入第二个抛物线解析式，求出两个交点的横坐标，两个横坐标的差的绝对值就是BC的长度。
第6题解题思路：第一步先求抛物线与x轴交点A、B的坐标，x轴上点的纵坐标为0，代入抛物线解析式求出A、B的横坐标，计算得到AB的长度作为三角形的底；第二步根据三角形面积公式，求出AB边上的高，也就是点P纵坐标的绝对值；第三步分纵坐标为正、为负两种情况，将纵坐标代入抛物线解析式求出对应的横坐标，即可得到所有符合条件的P点坐标。
【解析】
第5题
1. 求点A的坐标：抛物线$y=ax^2+3$与y轴交于点A，y轴上点的横坐标为0，将$x=0$代入$y=ax^2+3$，得$y=3$，即$A(0,3)$。
2. 求直线BC的解析式：过点A且与x轴平行的直线上所有点纵坐标均为3，故直线BC的解析式为$y=3$。
3. 求B、C两点坐标：将$y=3$代入$y=\frac{1}{3}x^2$，得$3=\frac{1}{3}x^2$，解得$x^2=9$，即$x=3$或$x=-3$，因此$B(-3,3)$，$C(3,3)$。
4. 计算BC长度：线段BC平行于x轴，长度为两点横坐标之差的绝对值，即$BC=|3-(-3)|=6$。
第6题
1. 求A、B两点坐标：抛物线$y=x^2-4$与x轴交于A、B两点，x轴上点的纵坐标为0，将$y=0$代入$y=x^2-4$，得$x^2-4=0$，解得$x=\pm2$，因此$A(-2,0)$，$B(2,0)$，$AB=|2-(-2)|=4$。
2. 求点P的纵坐标：设点P的纵坐标为$y_P$，$△ PAB$的底为AB，高为点P到x轴的距离即$|y_P|$，由面积公式$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}× AB × |y_P|$，代入$S_{△ PAB}=4$、$AB=4$，得$\frac{1}{2}×4×|y_P|=4$，解得$|y_P|=2$，即$y_P=2$或$y_P=-2$。
3. 求点P的横坐标：
当$y_P=2$时，代入$y=x^2-4$得$x^2-4=2$，解得$x^2=6$，即$x=\pm\sqrt{6}$，对应点为$(\sqrt{6},2)$、$(-\sqrt{6},2)$；
当$y_P=-2$时，代入$y=x^2-4$得$x^2-4=-2$，解得$x^2=2$，即$x=\pm\sqrt{2}$，对应点为$(\sqrt{2},-2)$、$(-\sqrt{2},-2)$。
【答案】
5. 6
6. $(\sqrt{6},2),(-\sqrt{6},2),(\sqrt{2}, - 2)$或$(-\sqrt{2}, - 2)$
【知识点】
二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴交点求解，二次函数与面积综合
【点评】
两道题均为二次函数基础应用类题目，核心考察坐标与线段长度的转化、分类讨论思想的运用，解题关键是熟悉特殊位置（坐标轴、平行于坐标轴直线）上点的坐标特征，计算时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
第5题解题思路：首先确定抛物线与y轴交点A的坐标，y轴上点的横坐标为0，代入第一个抛物线解析式即可得到A点纵坐标；过A且与x轴平行的直线上所有点纵坐标都等于A点纵坐标，将该纵坐标代入第二个抛物线解析式，求出两个交点的横坐标，两个横坐标的差的绝对值就是BC的长度。
第6题解题思路：第一步先求抛物线与x轴交点A、B的坐标，x轴上点的纵坐标为0，代入抛物线解析式求出A、B的横坐标，计算得到AB的长度作为三角形的底；第二步根据三角形面积公式，求出AB边上的高，也就是点P纵坐标的绝对值；第三步分纵坐标为正、为负两种情况，将纵坐标代入抛物线解析式求出对应的横坐标，即可得到所有符合条件的P点坐标。
【解析】
第5题
1. 求点A的坐标：抛物线$y=ax^2+3$与y轴交于点A，y轴上点的横坐标为0，将$x=0$代入$y=ax^2+3$，得$y=3$，即$A(0,3)$。
2. 求直线BC的解析式：过点A且与x轴平行的直线上所有点纵坐标均为3，故直线BC的解析式为$y=3$。
3. 求B、C两点坐标：将$y=3$代入$y=\frac{1}{3}x^2$，得$3=\frac{1}{3}x^2$，解得$x^2=9$，即$x=3$或$x=-3$，因此$B(-3,3)$，$C(3,3)$。
4. 计算BC长度：线段BC平行于x轴，长度为两点横坐标之差的绝对值，即$BC=|3-(-3)|=6$。
第6题
1. 求A、B两点坐标：抛物线$y=x^2-4$与x轴交于A、B两点，x轴上点的纵坐标为0，将$y=0$代入$y=x^2-4$，得$x^2-4=0$，解得$x=\pm2$，因此$A(-2,0)$，$B(2,0)$，$AB=|2-(-2)|=4$。
2. 求点P的纵坐标：设点P的纵坐标为$y_P$，$△ PAB$的底为AB，高为点P到x轴的距离即$|y_P|$，由面积公式$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}× AB × |y_P|$，代入$S_{△ PAB}=4$、$AB=4$，得$\frac{1}{2}×4×|y_P|=4$，解得$|y_P|=2$，即$y_P=2$或$y_P=-2$。
3. 求点P的横坐标：
当$y_P=2$时，代入$y=x^2-4$得$x^2-4=2$，解得$x^2=6$，即$x=\pm\sqrt{6}$，对应点为$(\sqrt{6},2)$、$(-\sqrt{6},2)$；
当$y_P=-2$时，代入$y=x^2-4$得$x^2-4=-2$，解得$x^2=2$，即$x=\pm\sqrt{2}$，对应点为$(\sqrt{2},-2)$、$(-\sqrt{2},-2)$。
【答案】
5. 6
6. $(\sqrt{6},2),(-\sqrt{6},2),(\sqrt{2}, - 2)$或$(-\sqrt{2}, - 2)$
【知识点】
二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴交点求解，二次函数与面积综合
【点评】
两道题均为二次函数基础应用类题目，核心考察坐标与线段长度的转化、分类讨论思想的运用，解题关键是熟悉特殊位置（坐标轴、平行于坐标轴直线）上点的坐标特征，计算时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
