1.将抛物线$y=x^2 -1$向上平移4个单位后，所得抛物线是；它们的形状；当$x=$时，该抛物线有最（填“大”或“小”）值，是；在对称轴的左侧，y随x的增大而。

1. 所得抛物线为$y=x^2+3$，形状相同，x=0时有最小值3，对称轴左侧y随x的增大而减小。

【分析】
解题时首先回忆二次函数图象的平移规律：上下平移时，对常数项进行“上加下减”的操作，即可得到平移后的解析式；其次明确二次函数的形状由二次项系数a决定，平移不改变a的大小，因此形状不变；再根据a的正负判断开口方向，开口向上时抛物线有最小值，结合顶点坐标即可得到最值对应的x值和最值大小；最后根据开口方向判断对称轴两侧的增减性即可。
【解析】
1. 求平移后的抛物线解析式：
根据二次函数上下平移的规律“上加下减”，将抛物线$y=x^2 -1$向上平移4个单位，只需在常数项后加4，即$y=x^2 -1 +4 = x^2 +3$。
2. 判断形状：
二次函数的形状由二次项系数$a$决定，平移前后两个抛物线的二次项系数均为1，因此它们的形状相同。
3. 求最值相关内容：
抛物线$y=x^2 +3$中，$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，有最小值，其顶点坐标为$(0,3)$，因此当$x=0$时，抛物线有最小值，最小值为3。
4. 判断增减性：
该抛物线的对称轴为$x=0$（y轴），开口向上的抛物线在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
$y=x^2+3$；相同；$0$；小；$3$；减小
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数图象与性质；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数的平移规则及基本性质，只要牢记“左加右减、上加下减”的平移规律，掌握二次项系数对图象形状、开口方向的影响，以及开口方向与最值、增减性的对应关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.9

2. 将抛物线 $ y=2x^2 -1 $ 向平移个单位,所得抛物线是 $ y=2x^2 +3 $,它们的开口方向,对称轴为,顶点坐标分别为.

2. 上，4，相同，直线x=0（y轴），顶点坐标分别为(0,-1)和(0,3)。

【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2+k$的图像性质和平移规律：首先，二次函数平移遵循“上加下减常数项，左加右减自变量”的规则，平移只改变顶点位置，开口方向、形状都不变；其次$y=ax^2+k$的开口方向由$a$的符号决定，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,k)$。我们可以先对比两个抛物线的常数项确定平移方向和距离，再根据$a$的取值判断开口方向，最后直接写出对称轴和两个函数的顶点坐标即可。
【解析】
1. 确定平移方向和距离：对比两个抛物线的解析式，$y=2x^2 -1$的常数项为$-1$，$y=2x^2 +3$的常数项为$3$，常数项变化为$3 - (-1) = 4$，根据“上加下减”的平移规律，可知抛物线向上平移了4个单位。
2. 判断开口方向：两个抛物线的二次项系数均为$2＞0$，因此它们的开口方向相同，都向上。
3. 确定对称轴：形如$y=ax^2+k$的二次函数，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），因此两个抛物线的对称轴都是直线$x=0$。
4. 确定顶点坐标：形如$y=ax^2+k$的二次函数，顶点坐标为$(0,k)$，因此$y=2x^2 -1$的顶点坐标为$(0,-1)$，$y=2x^2 +3$的顶点坐标为$(0,3)$。
【答案】
上，4，相同，直线x=0（y轴），顶点坐标分别为(0,-1)和(0,3)
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数$y=ax²+k$的性质；二次函数的对称轴与顶点
【点评】
本题考查二次函数的基础性质和平移规则，只要熟练掌握二次函数$y=ax^2+k$中$a$、$k$对应的几何意义，以及平移时“上加下减、左加右减”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9

3. 抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2$ 的开口方向 ，对称轴是经过点$(-1,0)$且与$x$轴 的直线，我们把它记为 ，顶点坐标是 ；抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$ 的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。

3. 开口方向向下，与x轴垂直，记为直线x=-1，顶点坐标(-1,0)；$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$开口方向向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标(1,0)。

【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的核心性质：①开口方向由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；②对称轴为过点$(h,0)$且垂直于x轴的直线，记为直线$x=h$；③顶点坐标为$(h,0)$。接下来分别对应两个抛物线确定$a$和$h$的值：第一个抛物线将$(x+1)$变形为$[x-(-1)]$即可得到$h=-1$，第二个抛物线直接可得$h=1$，再代入对应性质求解即可。
【解析】
1. 分析抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2$：
二次项系数$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此开口方向向下；
该式变形为顶点式标准形式为$y=-\dfrac{1}{2}[x-(-1)]^2$，得$h=-1$，因此对称轴是经过点$(-1,0)$且与x轴垂直的直线，记为直线$x=-1$，顶点坐标为$(h,0)$即$(-1,0)$。
2. 分析抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$：
二次项系数$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此开口方向向下；
对应顶点式标准形式得$h=1$，因此对称轴是直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$。
【答案】
开口方向向下，与x轴垂直，记为直线x=-1，顶点坐标(-1,0)；$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$开口方向向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标(1,0)
【知识点】
二次函数顶点式的性质；开口方向判断；对称轴与顶点坐标求解
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，重点考查对顶点式$y=a(x-h)^2$中各参数几何意义的掌握，熟练记忆相关性质即可快速作答，是学习复杂二次函数的基础。
【难度系数】
0.9

画出二次函数 $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2, y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$ 的图象,并思考它们的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值和增减性.
列表:


描点并连线:

(1)观察图象并填表:
| 抛物线 | 开口方向 | 顶点坐标 | 对称轴 | 最值 | 增减性 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2$ | | | | | |
| $y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$ | | | | | |
(2)请在上方直角坐标系中,画出抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 的草图.
①抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2, y=-\dfrac{1}{2}x^2, y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$ 的形状、大小.
②把抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 向左平移个单位,就得到抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2$;
把抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 向右平移个单位,就得到抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$.
【归纳总结】二次函数 $y=a(x-h)^2$ 的图象和性质.
填表:

(1) $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2$：开口向下，顶点坐标(-1,0)，对称轴直线x=-1，当x=-1时y有最大值0，x＜-1时y随x增大而增大，x＞-1时y随x增大而减小；$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$：开口向下，顶点坐标(1,0)，对称轴直线x=1，当x=1时y有最大值0，x＜1时y随x增大而增大，x＞1时y随x增大而减小。
(2) ① 完全相同 ② 1 1

【分析】
解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质规律：1. 由$a$的符号判断开口方向，$|a|$决定开口大小；2. 顶点坐标为$(h,0)$，对称轴为直线$x=h$；3. 开口向下时顶点为最高点，函数有最大值，开口向上时顶点为最低点，函数有最小值；4. 增减性结合开口方向和对称轴判断：开口向下时，对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，右侧$y$随$x$增大而减小；开口向上时相反。对于平移问题，牢记“左加右减”的平移规律，即抛物线沿x轴平移时，自变量x对应加（左移）减（右移）平移单位长度，且$a$相同的抛物线形状、大小完全相同。按照以上规律逐一推导两个函数的各项性质，再解决平移相关问题即可。
【解析】
(1) 对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$：
① 抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2$可变形为$y=-\dfrac{1}{2}[x-(-1)]^2$，其中$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，$h=-1$：
开口向下，顶点坐标为$(-1,0)$，对称轴为直线$x=-1$；
开口向下时顶点为最高点，因此当$x=-1$时，$y$有最大值$0$；
结合开口方向和对称轴可得：$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
② 抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$中，$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，$h=1$：
开口向下，顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$；
当$x=1$时，$y$有最大值$0$；
增减性为：$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大；$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小。
(2) ① 三个抛物线的二次项系数$a$完全相同，$a$决定抛物线的开口方向和大小，因此三者形状、大小完全相同。
② 根据“左加右减”的平移规律：将$y=-\dfrac{1}{2}x^2$的自变量$x$替换为$x+1$即可得到$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2$，对应向左平移1个单位；将自变量$x$替换为$x-1$即可得到$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$，对应向右平移1个单位。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2$：开口向下，顶点坐标(-1,0)，对称轴直线x=-1，当x=-1时y有最大值0，x＜-1时y随x增大而增大，x＞-1时y随x增大而减小；$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$：开口向下，顶点坐标(1,0)，对称轴直线x=1，当x=1时y有最大值0，x＜1时y随x增大而增大，x＞1时y随x增大而减小。
(2) ① 完全相同 ② 1；1
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象平移规律；二次函数的图象与性质
【点评】
本题考查二次函数$y=a(x-h)^2$的基础性质和图象平移规律，是二次函数模块的基础核心题型，熟练掌握此类题型的解题方法，能为后续学习更复杂的二次函数图象与性质奠定扎实的基础。
【难度系数】
0.8