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| a的取值 | 图象 | 开口方向 | 顶点坐标 | 对称轴 | 增减性 | 最值 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| a＞0 |
|
| a＜0 | |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| a＞0 |
| 向上
| $(h,0)$ | 直线$x=$h
| 当$x＜h$时,$y$随$x$的增大而减小
;当$x＞h$时,$y$随$x$的增大而增大
| 当$x=$h
时,$y$有最小值,最小值为0
|| a＜0 | |
向下
| $(h,0)$ | 直线$x=$h
| 当$x＜h$时,$y$随$x$的增大而增大
;当$x＞h$时,$y$随$x$的增大而减小
| 当$x=$h
时,$y$有最大值,最大值为0
|答案
a＞0：开口向上，对称轴直线x=h，x＜h时y随x增大而减小，x＞h时y随x增大而增大，x=h时y最小值为0；
a＜0：开口向下，对称轴直线x=h，x＜h时y随x增大而增大，x＞h时y随x增大而减小，x=h时y最大值为0。
a＜0：开口向下，对称轴直线x=h，x＜h时y随x增大而增大，x＞h时y随x增大而减小，x=h时y最大值为0。
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的图象与性质，解题可按以下思路推导：
1. 先由二次项系数$a$的符号判断开口方向：$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；
2. 结合顶点坐标$(h,0)$，可知对称轴为过顶点且垂直于x轴的直线，即$x=h$；
3. 再根据开口方向判断增减性：开口向上时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧随x增大而增大，顶点处取最小值；开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧随x增大而减小，顶点处取最大值。
【解析】
我们分两种情况逐一填写对应内容：
1. 当$a＞0$时：
开口方向向上，对称轴为直线$x=h$；当$x＜h$时，y随x的增大而减小，当$x＞h$时，y随x的增大而增大；当$x=h$时，y取最小值，最小值为0。
2. 当$a＜0$时：
开口方向向下，对称轴为直线$x=h$；当$x＜h$时，y随x的增大而增大，当$x＞h$时，y随x的增大而减小；当$x=h$时，y取最大值，最大值为0。
【答案】
$a＞0$行依次填：向上；$h$；减小；增大；$h$；$0$
$a＜0$行依次填：向下；$h$；增大；减小；$h$；$0$
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数图象特征、二次函数增减性与最值
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考察对顶点式二次函数性质的记忆与理解，是后续学习复杂二次函数的必备基础，需要熟练掌握参数变化对应的函数性质变化规律。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的图象与性质，解题可按以下思路推导：
1. 先由二次项系数$a$的符号判断开口方向：$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；
2. 结合顶点坐标$(h,0)$，可知对称轴为过顶点且垂直于x轴的直线，即$x=h$；
3. 再根据开口方向判断增减性：开口向上时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧随x增大而增大，顶点处取最小值；开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧随x增大而减小，顶点处取最大值。
【解析】
我们分两种情况逐一填写对应内容：
1. 当$a＞0$时：
开口方向向上，对称轴为直线$x=h$；当$x＜h$时，y随x的增大而减小，当$x＞h$时，y随x的增大而增大；当$x=h$时，y取最小值，最小值为0。
2. 当$a＜0$时：
开口方向向下，对称轴为直线$x=h$；当$x＜h$时，y随x的增大而增大，当$x＞h$时，y随x的增大而减小；当$x=h$时，y取最大值，最大值为0。
【答案】
$a＞0$行依次填：向上；$h$；减小；增大；$h$；$0$
$a＜0$行依次填：向下；$h$；增大；减小；$h$；$0$
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数图象特征、二次函数增减性与最值
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考察对顶点式二次函数性质的记忆与理解，是后续学习复杂二次函数的必备基础，需要熟练掌握参数变化对应的函数性质变化规律。
【难度系数】
0.8
例1 抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2, y=\frac{1}{2}(x+2)^2, y=\frac{1}{2}(x-2)^2.$
(1)这三个函数图象的对称轴分别是
(2)函数 $y=\frac{1}{2}(x+2)^2$ 的图象可以看作 $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$ 的图象经过怎样的变化得到的？
(1)这三个函数图象的对称轴分别是
直线x=0（y轴）
,直线x=-2
,直线x=2
;顶点坐标分别是(0,0)
,(-2,0)
,(2,0)
.(2)函数 $y=\frac{1}{2}(x+2)^2$ 的图象可以看作 $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$ 的图象经过怎样的变化得到的？
答案
(1) 对称轴分别是直线x=0，直线x=-2，直线x=2；顶点坐标分别是(0,0)，(-2,0)，(2,0)。
(2) 将$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$的图象向左平移4个单位长度，就得到$y=\frac{1}{2}(x+2)^2$的图象。
(2) 将$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$的图象向左平移4个单位长度，就得到$y=\frac{1}{2}(x+2)^2$的图象。
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的图象性质及平移规律。(1)解决第一问首先回忆顶点式二次函数$y=a(x-h)^2$的性质：对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，将三个函数分别整理为标准顶点式，对应找到$h$的值即可求出对称轴和顶点坐标。(2)解决第二问可利用二次函数图象平移的“左加右减”原则：图象左右平移时，自变量$x$遵循“加向左移，减向右移”的规律；也可通过顶点的平移方向判断整个图象的平移方式，两种方法都能快速得到平移过程。
【解析】
(1) 对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$：
① $y=\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}(x-0)^2$，对应$h=0$，因此对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,0)$；
② $y=\frac{1}{2}(x+2)^2=\frac{1}{2}[x-(-2)]^2$，对应$h=-2$，因此对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标为$(-2,0)$；
③ $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$，对应$h=2$，因此对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,0)$。
(2) 可通过顶点平移判断：$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$的顶点为$(2,0)$，$y=\frac{1}{2}(x+2)^2$的顶点为$(-2,0)$，点$(2,0)$向左平移4个单位长度可得到$(-2,0)$，因此整个图象向左平移4个单位长度即可得到目标函数图象；也可根据平移规律验证：将$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$的自变量$x$替换为$x+4$，即可得到$y=\frac{1}{2}(x+2)^2$，符合“左加右减”的平移原则。
【答案】
(1) 直线$x=0$，直线$x=-2$，直线$x=2$；$(0,0)$，$(-2,0)$，$(2,0)$
(2) 将$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$的图象向左平移4个单位长度，就得到$y=\frac{1}{2}(x+2)^2$的图象。
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数图象相关的基础题型，核心考察对顶点式参数意义的理解和平移规则的应用，解题时要注意平移规律是针对自变量$x$本身的变换，避免混淆左右平移的符号方向，熟练掌握本知识点可为后续复杂二次函数的图象分析打下基础。
【难度系数】
0.85
本题考查二次函数顶点式的图象性质及平移规律。(1)解决第一问首先回忆顶点式二次函数$y=a(x-h)^2$的性质：对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，将三个函数分别整理为标准顶点式，对应找到$h$的值即可求出对称轴和顶点坐标。(2)解决第二问可利用二次函数图象平移的“左加右减”原则：图象左右平移时，自变量$x$遵循“加向左移，减向右移”的规律；也可通过顶点的平移方向判断整个图象的平移方式，两种方法都能快速得到平移过程。
【解析】
(1) 对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$：
① $y=\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}(x-0)^2$，对应$h=0$，因此对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,0)$；
② $y=\frac{1}{2}(x+2)^2=\frac{1}{2}[x-(-2)]^2$，对应$h=-2$，因此对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标为$(-2,0)$；
③ $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$，对应$h=2$，因此对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,0)$。
(2) 可通过顶点平移判断：$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$的顶点为$(2,0)$，$y=\frac{1}{2}(x+2)^2$的顶点为$(-2,0)$，点$(2,0)$向左平移4个单位长度可得到$(-2,0)$，因此整个图象向左平移4个单位长度即可得到目标函数图象；也可根据平移规律验证：将$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$的自变量$x$替换为$x+4$，即可得到$y=\frac{1}{2}(x+2)^2$，符合“左加右减”的平移原则。
【答案】
(1) 直线$x=0$，直线$x=-2$，直线$x=2$；$(0,0)$，$(-2,0)$，$(2,0)$
(2) 将$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$的图象向左平移4个单位长度，就得到$y=\frac{1}{2}(x+2)^2$的图象。
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数图象相关的基础题型，核心考察对顶点式参数意义的理解和平移规则的应用，解题时要注意平移规律是针对自变量$x$本身的变换，避免混淆左右平移的符号方向，熟练掌握本知识点可为后续复杂二次函数的图象分析打下基础。
【难度系数】
0.85
