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例2 已知抛物线$y=a(x-2)^2$经过点$(1,4)$.求:
(1)抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴、顶点坐标;
(3)当$x=3$时的函数值;
(4)抛物线上有两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,若$x_1＜x_2＜1$,试比较$y_1$与$y_2$的大小;
(5)若$3≤x≤4$,直接写出$y$的取值范围;
(6)若$-1≤x≤4$,直接写出$y$的取值范围.
(1)抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴、顶点坐标;
(3)当$x=3$时的函数值;
(4)抛物线上有两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,若$x_1＜x_2＜1$,试比较$y_1$与$y_2$的大小;
(5)若$3≤x≤4$,直接写出$y$的取值范围;
(6)若$-1≤x≤4$,直接写出$y$的取值范围.
答案
(1) 将点(1,4)代入解析式得$4=a(1-2)^2$，解得a=4，抛物线解析式为$y=4(x-2)^2$；
(2) 对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,0)；
(3) 当x=3时，$y=4×(3-2)^2=4$；
(4) a=4＞0，x＜2时y随x的增大而减小，由$x_1＜x_2＜1＜2$可得$y_1＞y_2$；
(5) 当3≤x≤4时，y的取值范围是4≤y≤16；
(6) 当-1≤x≤4时，y的取值范围是0≤y≤36。
(2) 对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,0)；
(3) 当x=3时，$y=4×(3-2)^2=4$；
(4) a=4＞0，x＜2时y随x的增大而减小，由$x_1＜x_2＜1＜2$可得$y_1＞y_2$；
(5) 当3≤x≤4时，y的取值范围是4≤y≤16；
(6) 当-1≤x≤4时，y的取值范围是0≤y≤36。
解析
【分析】
(1) 已知抛物线的顶点式解析式和图象经过的点坐标，将点坐标代入解析式求解参数a，即可得到抛物线解析式；
(2) 顶点式为$y=a(x-h)^2$的二次函数，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，对照解析式直接提取h的值即可得结果；
(3) 求x=3对应的函数值，直接将x=3代入已求出的解析式计算即可；
(4) 先根据a的正负判断抛物线开口方向，结合对称轴判断x＜2时的函数增减性，已知两点横坐标都小于1（即都在对称轴左侧），根据增减性即可比较$y_1$、$y_2$的大小；
(5) 先判断$3≤x≤4$在对称轴右侧，结合该区间函数的增减性，计算区间两端点的y值即可得到y的取值范围；
(6) 先判断对称轴$x=2$在$-1≤x≤4$区间内，开口向上的抛物线在顶点处取最小值，再计算区间两端点的y值，取较大值为最大值，即可得到y的取值范围。
【解析】
(1) 将点$(1,4)$代入$y=a(x-2)^2$，得：
$4=a(1-2)^2$
解得$a=4$，因此抛物线的解析式为$y=4(x-2)^2$；
(2) 抛物线解析式为$y=4(x-2)^2$，对应顶点式中$h=2$，因此对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,0)$；
(3) 把$x=3$代入$y=4(x-2)^2$，得：
$y=4×(3-2)^2=4$；
(4) 由$a=4＞0$，可知抛物线开口向上，在对称轴$x=2$左侧，y随x的增大而减小；
已知$x_1＜x_2＜1＜2$，两点均在对称轴左侧，因此$y_1＞y_2$；
(5) 对称轴右侧y随x的增大而增大，当$x=3$时$y=4$，当$x=4$时$y=4×(4-2)^2=16$，因此$3≤x≤4$时，$4≤y≤16$；
(6) 对称轴$x=2$在$-1≤x≤4$区间内，抛物线开口向上，顶点处y取最小值0；
当$x=-1$时，$y=4×(-1-2)^2=36$，当$x=4$时$y=16$，最大值为36，因此$-1≤x≤4$时，$0≤y≤36$。
【答案】
(1) $y=4(x-2)^2$；
(2) 对称轴是直线$x=2$，顶点坐标为$(2,0)$；
(3) $4$；
(4) $y_1＞y_2$；
(5) $4≤y≤16$；
(6) $0≤y≤36$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数的性质，二次函数区间最值
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，围绕顶点式的相关知识点层层递进考查，从解析式求解到性质应用，再到区间取值范围判断，熟练掌握二次函数顶点式的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线的顶点式解析式和图象经过的点坐标，将点坐标代入解析式求解参数a，即可得到抛物线解析式；
(2) 顶点式为$y=a(x-h)^2$的二次函数，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，对照解析式直接提取h的值即可得结果；
(3) 求x=3对应的函数值，直接将x=3代入已求出的解析式计算即可；
(4) 先根据a的正负判断抛物线开口方向，结合对称轴判断x＜2时的函数增减性，已知两点横坐标都小于1（即都在对称轴左侧），根据增减性即可比较$y_1$、$y_2$的大小；
(5) 先判断$3≤x≤4$在对称轴右侧，结合该区间函数的增减性，计算区间两端点的y值即可得到y的取值范围；
(6) 先判断对称轴$x=2$在$-1≤x≤4$区间内，开口向上的抛物线在顶点处取最小值，再计算区间两端点的y值，取较大值为最大值，即可得到y的取值范围。
【解析】
(1) 将点$(1,4)$代入$y=a(x-2)^2$，得：
$4=a(1-2)^2$
解得$a=4$，因此抛物线的解析式为$y=4(x-2)^2$；
(2) 抛物线解析式为$y=4(x-2)^2$，对应顶点式中$h=2$，因此对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,0)$；
(3) 把$x=3$代入$y=4(x-2)^2$，得：
$y=4×(3-2)^2=4$；
(4) 由$a=4＞0$，可知抛物线开口向上，在对称轴$x=2$左侧，y随x的增大而减小；
已知$x_1＜x_2＜1＜2$，两点均在对称轴左侧，因此$y_1＞y_2$；
(5) 对称轴右侧y随x的增大而增大，当$x=3$时$y=4$，当$x=4$时$y=4×(4-2)^2=16$，因此$3≤x≤4$时，$4≤y≤16$；
(6) 对称轴$x=2$在$-1≤x≤4$区间内，抛物线开口向上，顶点处y取最小值0；
当$x=-1$时，$y=4×(-1-2)^2=36$，当$x=4$时$y=16$，最大值为36，因此$-1≤x≤4$时，$0≤y≤36$。
【答案】
(1) $y=4(x-2)^2$；
(2) 对称轴是直线$x=2$，顶点坐标为$(2,0)$；
(3) $4$；
(4) $y_1＞y_2$；
(5) $4≤y≤16$；
(6) $0≤y≤36$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数的性质，二次函数区间最值
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，围绕顶点式的相关知识点层层递进考查，从解析式求解到性质应用，再到区间取值范围判断，熟练掌握二次函数顶点式的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
1. 把抛物线$y=3x^2$向左平移6个单位后，得到的抛物线的解析式为
$y=3(x+6)^2$
。答案
1. $y=3(x+6)^2$
解析
【分析】
解决本题需先明确二次函数图像的平移规律：左右平移是针对自变量x进行调整，遵循“左加右减”的原则，即向左平移n个单位，就将原解析式中的x替换为x+n；向右平移n个单位，就将原解析式中的x替换为x-n。本题是向左平移6个单位，只需将原解析式中的x替换为x+6，即可得到平移后的抛物线解析式。
【解析】
二次函数图象左右平移遵循“左加右减”的变换规则，且变换仅作用于自变量x。
已知原抛物线的解析式为$y=3x^2$，将其向左平移6个单位，因此把解析式中的$x$替换为$x+6$，代入可得平移后的抛物线解析式为$y=3(x+6)^2$。
【答案】
$y=3(x+6)^2$
【知识点】
二次函数图象平移、函数平移规律
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题，核心是准确掌握平移变换的规则，需注意区分左右平移（针对x变换）和上下平移（针对常数项变换）的不同，避免将平移单位错加在二次项系数或常数项上。
【难度系数】
0.9
解决本题需先明确二次函数图像的平移规律：左右平移是针对自变量x进行调整，遵循“左加右减”的原则，即向左平移n个单位，就将原解析式中的x替换为x+n；向右平移n个单位，就将原解析式中的x替换为x-n。本题是向左平移6个单位，只需将原解析式中的x替换为x+6，即可得到平移后的抛物线解析式。
【解析】
二次函数图象左右平移遵循“左加右减”的变换规则，且变换仅作用于自变量x。
已知原抛物线的解析式为$y=3x^2$，将其向左平移6个单位，因此把解析式中的$x$替换为$x+6$，代入可得平移后的抛物线解析式为$y=3(x+6)^2$。
【答案】
$y=3(x+6)^2$
【知识点】
二次函数图象平移、函数平移规律
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题，核心是准确掌握平移变换的规则，需注意区分左右平移（针对x变换）和上下平移（针对常数项变换）的不同，避免将平移单位错加在二次项系数或常数项上。
【难度系数】
0.9
2. 写出一个顶点是$(5,0)$，形状、开口方向与抛物线$y=-2x^2$都相同的二次函数解析式：
$y=-2(x-5)^2$
.答案
2. $y=-2(x-5)^2$
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式的性质：二次函数中二次项系数a决定抛物线的开口方向和形状大小，当两个抛物线a相等时，形状和开口方向完全相同；顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$。我们可以分两步求解：第一步根据形状、开口方向相同确定a的值，第二步根据顶点坐标确定h、k的值，最后代入顶点式即可得到解析式。
【解析】
设所求二次函数的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$：
1. 确定a的值：
∵ 所求抛物线的形状、开口方向与$y=-2x^2$相同，
∴ 二次项系数$a=-2$。
2. 确定h、k的值：
∵ 抛物线的顶点为$(5,0)$，结合顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，
∴ $h=5$，$k=0$。
3. 代入参数得到解析式：
将$a=-2$、$h=5$、$k=0$代入顶点式，得$y=-2(x-5)^2$。
【答案】
$y=-2(x-5)^2$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心是理解二次项系数a对抛物线形状、开口的决定作用，以及顶点式中各参数与顶点坐标的对应关系，熟练掌握顶点式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数顶点式的性质：二次函数中二次项系数a决定抛物线的开口方向和形状大小，当两个抛物线a相等时，形状和开口方向完全相同；顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$。我们可以分两步求解：第一步根据形状、开口方向相同确定a的值，第二步根据顶点坐标确定h、k的值，最后代入顶点式即可得到解析式。
【解析】
设所求二次函数的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$：
1. 确定a的值：
∵ 所求抛物线的形状、开口方向与$y=-2x^2$相同，
∴ 二次项系数$a=-2$。
2. 确定h、k的值：
∵ 抛物线的顶点为$(5,0)$，结合顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，
∴ $h=5$，$k=0$。
3. 代入参数得到解析式：
将$a=-2$、$h=5$、$k=0$代入顶点式，得$y=-2(x-5)^2$。
【答案】
$y=-2(x-5)^2$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心是理解二次项系数a对抛物线形状、开口的决定作用，以及顶点式中各参数与顶点坐标的对应关系，熟练掌握顶点式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3.已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线$y=3x^2$都相同，顶点与抛物线$y=(x+2)^2$相同。
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）将上述抛物线向右平移4个单位长度，会得到怎样的抛物线解析式？
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）将上述抛物线向右平移4个单位长度，会得到怎样的抛物线解析式？
答案
(1) 由题意得a=3，顶点坐标为(-2,0)，抛物线解析式为$y=3(x+2)^2$；
(2) 向右平移4个单位长度后，得到的抛物线解析式为$y=3(x-2)^2$。
(2) 向右平移4个单位长度后，得到的抛物线解析式为$y=3(x-2)^2$。
解析
【分析】
（1）解第一问需先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的参数意义：$a$决定抛物线的开口方向和大小，顶点坐标为$(h,k)$。首先根据开口特征与$y=3x^2$相同确定$a$的值，再提取已知抛物线的顶点坐标代入顶点式，即可得到所求解析式。
（2）解第二问要掌握二次函数平移的“左加右减”规律：左右平移仅对$x$本身做加减操作，向右平移4个单位就将原式中的$x$替换为$x-4$，化简后得到平移后的解析式。
【解析】
（1）
∵ 所求抛物线的开口方向、大小与$y=3x^2$完全相同，
∴ 二次项系数$a=3$，
又
∵ 所求抛物线顶点与$y=(x+2)^2$相同，$y=(x+2)^2$的顶点坐标为$(-2,0)$，
设所求抛物线解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，代入$a=3$、$h=-2$、$k=0$，
得解析式为$y=3(x+2)^2$。
（2）根据二次函数平移“左加右减”的规则，将$y=3(x+2)^2$向右平移4个单位，需把原式中的$x$替换为$x-4$，
则平移后解析式为：$y=3[(x-4)+2]^2=3(x-2)^2$。
【答案】
(1) $y=3(x+2)^2$；(2) $y=3(x-2)^2$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数图象性质，二次函数平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查顶点式参数的意义和平移规则的应用，解题关键是牢记$a$的作用、平移时“左加右减针对x”的原则，熟练掌握后可快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.8
（1）解第一问需先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的参数意义：$a$决定抛物线的开口方向和大小，顶点坐标为$(h,k)$。首先根据开口特征与$y=3x^2$相同确定$a$的值，再提取已知抛物线的顶点坐标代入顶点式，即可得到所求解析式。
（2）解第二问要掌握二次函数平移的“左加右减”规律：左右平移仅对$x$本身做加减操作，向右平移4个单位就将原式中的$x$替换为$x-4$，化简后得到平移后的解析式。
【解析】
（1）
∵ 所求抛物线的开口方向、大小与$y=3x^2$完全相同，
∴ 二次项系数$a=3$，
又
∵ 所求抛物线顶点与$y=(x+2)^2$相同，$y=(x+2)^2$的顶点坐标为$(-2,0)$，
设所求抛物线解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，代入$a=3$、$h=-2$、$k=0$，
得解析式为$y=3(x+2)^2$。
（2）根据二次函数平移“左加右减”的规则，将$y=3(x+2)^2$向右平移4个单位，需把原式中的$x$替换为$x-4$，
则平移后解析式为：$y=3[(x-4)+2]^2=3(x-2)^2$。
【答案】
(1) $y=3(x+2)^2$；(2) $y=3(x-2)^2$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数图象性质，二次函数平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查顶点式参数的意义和平移规则的应用，解题关键是牢记$a$的作用、平移时“左加右减针对x”的原则，熟练掌握后可快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.8
1. 函数$y=a(x-1)^2$和$y=ax+a$在同一平面直角坐标系中的图象可能是(
B
)答案
1. B
解析
【分析】
两个函数都含有相同参数a，a的正负会同时决定两个函数的图象特征，解题时我们可以分a＞0和a＜0两种情况，分别结合一次函数、二次函数的图象性质，逐一判断选项是否符合，通过排除错误选项得到正确答案。
【解析】
先明确两个函数的基础特征：
1. 二次函数$y=a(x-1)^2$：顶点为$(1,0)$，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；
2. 一次函数$y=ax+a=a(x+1)$：过定点$(-1,0)$，$a＞0$时直线斜率为正、与y轴交于正半轴，图象过一、二、三象限；$a＜0$时直线斜率为负、与y轴交于负半轴，图象过二、三、四象限。
分情况讨论：
① 当$a＞0$时：
二次函数开口向上，一次函数图象上升、与y轴交于正半轴。A选项的一次函数图象下降（斜率为负），不符合要求，排除；B选项二次函数开口向上，一次函数上升且与y轴交于正半轴，符合特征。
② 当$a＜0$时：
二次函数开口向下，一次函数图象下降、与y轴交于负半轴。C选项的一次函数图象上升（斜率为正），不符合要求，排除；D选项的二次函数顶点在y轴上，和二次函数顶点$(1,0)$的特征不符，排除。
综上只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象与性质；二次函数图象与性质；分类讨论
【点评】
本题是典型的同参数函数图象匹配题，解题核心是抓住参数对两个函数图象的共同影响，结合函数的定点、开口方向、斜率、截距等特征即可快速排除错误选项，也可通过代入特殊值辅助验证。
【难度系数】
0.7
两个函数都含有相同参数a，a的正负会同时决定两个函数的图象特征，解题时我们可以分a＞0和a＜0两种情况，分别结合一次函数、二次函数的图象性质，逐一判断选项是否符合，通过排除错误选项得到正确答案。
【解析】
先明确两个函数的基础特征：
1. 二次函数$y=a(x-1)^2$：顶点为$(1,0)$，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；
2. 一次函数$y=ax+a=a(x+1)$：过定点$(-1,0)$，$a＞0$时直线斜率为正、与y轴交于正半轴，图象过一、二、三象限；$a＜0$时直线斜率为负、与y轴交于负半轴，图象过二、三、四象限。
分情况讨论：
① 当$a＞0$时：
二次函数开口向上，一次函数图象上升、与y轴交于正半轴。A选项的一次函数图象下降（斜率为负），不符合要求，排除；B选项二次函数开口向上，一次函数上升且与y轴交于正半轴，符合特征。
② 当$a＜0$时：
二次函数开口向下，一次函数图象下降、与y轴交于负半轴。C选项的一次函数图象上升（斜率为正），不符合要求，排除；D选项的二次函数顶点在y轴上，和二次函数顶点$(1,0)$的特征不符，排除。
综上只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象与性质；二次函数图象与性质；分类讨论
【点评】
本题是典型的同参数函数图象匹配题，解题核心是抓住参数对两个函数图象的共同影响，结合函数的定点、开口方向、斜率、截距等特征即可快速排除错误选项，也可通过代入特殊值辅助验证。
【难度系数】
0.7
