2. 已知抛物线$y=x^2 -x -1$与$x$轴的一个交点为$(m,0)$，则代数式$m^2 -m +2025$的值为（）

A.2023
B.2024
C.2025
D.2026

2. D

【分析】
解题时首先利用“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”的性质，把交点坐标代入抛物线解析式，得到关于m的等式，变形求出$m^2 -m$的值，再整体代入所求代数式即可得到结果，无需单独求解m的具体值，用整体代入法更简便。
【解析】
∵ 点$(m, 0)$是抛物线$y=x^2 -x -1$与x轴的交点，
∴ 将$x=m$，$y=0$代入抛物线解析式，可得：
$m^2 - m - 1 = 0$
移项得：$m^2 - m = 1$
将$m^2 - m = 1$代入代数式$m^2 -m +2025$，得：
原式$=1 + 2025 = 2026$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；代数式整体代入求值
【点评】
本题属于基础常考题型，解题核心是掌握二次函数图象上点的坐标和函数解析式的对应关系，运用整体代入的思想可简化计算，避免求解一元二次方程的繁琐步骤。
【难度系数】
0.9

3.已知函数$y=-(x-1)^2$图象上两点$A(2,y_1),B(a,y_2)$，其中$a＞2$，则$y_1$与$y_2$的大小关系是$y_1$$y_2$.（填“＜”“＞”或“=”）

3. ＞

【分析】
要比较抛物线上两点的函数值大小，首先分析该二次函数的基本性质：先由函数解析式确定开口方向、对称轴，再判断两点是否在对称轴同侧，最后结合二次函数的增减性即可得出$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=-(x-1)^2$：
1. 二次项系数为$-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$；
2. 抛物线开口向下时，在对称轴右侧（即$x＞1$的区间），$y$随$x$的增大而减小；
3. 已知点$A$横坐标为$2$，点$B$横坐标为$a$且$a＞2$，两点均在对称轴右侧，且$2＜a$，根据增减性可得$y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题核心是先明确抛物线的开口方向与对称轴，再根据点的横坐标范围结合增减性判断函数值大小，熟练掌握二次函数基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8

4. 抛物线$y=m(x+n)^2$向左平移2个单位后，得到的函数解析式是$y=-4(x-4)^2$，则$m=$，$n=$。

4. -4 -6

【分析】
解决本题首先要明确二次函数图象平移的规律：“左加右减，上加下减”，其中左右平移是对自变量x本身进行变换，向左平移2个单位时，需将原解析式中的x替换为x+2。我们先根据平移规则写出平移后的函数解析式，再与题目给出的平移后解析式对比，让对应位置的系数和常数项相等，即可求出m、n的值。
【解析】
根据二次函数“左加右减”的平移规律，将抛物线$y=m(x+n)^2$向左平移2个单位后，得到的解析式为：
$y=m[(x+2)+n]^2=m(x+n+2)^2$
已知平移后解析式为$y=-4(x-4)^2$，两个解析式完全相等，因此：
1. 二次项系数对应相等，可得$m=-4$；
2. 括号内的常数项对应相等，可得$n+2=-4$，解得$n=-6$。
【答案】
-4；-6
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数图象的平移变换，解题关键是牢记平移规则，注意左右平移仅针对自变量x进行调整，避免混淆平移方向和加减运算的对应关系。
【难度系数】
0.8

5. (2025·上海一模)已知$(-3,y_1)$，$(0,y_2)$和$(1,y_3)$都在抛物线$y=(x+2)^2$上，那么$y_1,y_2$和$y_3$的大小关系为()

A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_1＞y_2＞y_3$
D.$y_1＞y_3＞y_2$

5. A

【分析】
本题考查二次函数上点的函数值大小比较，解题有两种清晰思路：①代入计算法：直接将三个点的横坐标代入抛物线解析式，分别求出对应的y值后比较大小；②性质比较法：先确定抛物线的开口方向和对称轴，开口向上的抛物线中，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，计算各点到对称轴的距离即可判断y值大小。两种方法都符合九年级二次函数的知识要求，可任选方法解题。
【解析】
方法一：代入计算法
把三个点的横坐标分别代入解析式$y=(x+2)^2$：
当$x=-3$时，$y_1=(-3+2)^2=1$；
当$x=0$时，$y_2=(0+2)^2=4$；
当$x=1$时，$y_3=(1+2)^2=9$。
因为$1＜4＜9$，所以$y_1＜y_2＜y_3$。
方法二：性质比较法
抛物线$y=(x+2)^2$中$a=1＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=-2$。
开口向上的抛物线上的点，到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。
各点到对称轴$x=-2$的距离：
$|-3-(-2)|=1$，$|0-(-2)|=2$，$|1-(-2)|=3$。
因为$1＜2＜3$，所以$y_1＜y_2＜y_3$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；函数值大小比较；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题方法灵活，既可以直接代入坐标计算求解，也可以利用抛物线的开口方向、对称轴的性质快速判断，熟练掌握二次函数的基本特征是解题的关键。
【难度系数】
0.85

6. 已知抛物线 $y=4x^2 -2$ 的顶点为A，抛物线 $y=2x^2 +1$ 的顶点为B，将抛物线 $y=2x^2$ 向右平移3个单位长度后所得新抛物线的顶点为C，试求 $△ ABC$ 的面积.

$\frac{9}{2}$

【分析】
要计算△ABC的面积，首先需要确定A、B、C三个点的坐标：①对于形如$y=ax^2+k$的抛物线，顶点坐标为$(0,k)$，可直接求出A、B两点的坐标；②根据二次函数平移“左加右减自变量”的规律，求出平移后新抛物线的顶点C的坐标；③观察坐标可知A、B均在y轴上，可将AB作为三角形的底，点C到y轴的距离作为高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
步骤1：求三个顶点的坐标
① 抛物线$y=4x^2 -2$属于$y=ax^2+k$的形式，顶点A的坐标为$(0,-2)$；
② 抛物线$y=2x^2 +1$属于$y=ax^2+k$的形式，顶点B的坐标为$(0,1)$；
③ 抛物线$y=2x^2$向右平移3个单位长度，根据“左加右减”的平移规律，所得新抛物线的解析式为$y=2(x-3)^2$，其顶点C的坐标为$(3,0)$。
步骤2：计算三角形的底和高
点A、B的横坐标均为0，都在y轴上，因此AB的长度为：$AB=|1 - (-2)|=3$；
AB在y轴上，点C到y轴的距离等于C点横坐标的绝对值，即高$h=3$。
步骤3：计算△ABC的面积
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
1. 抛物线顶点坐标求法
2. 二次函数平移规律
3. 三角形面积计算
【点评】
本题综合考查二次函数的基础性质与图形面积计算，解题的核心是准确求出三个顶点的坐标，再结合点的位置特征选择简便的面积计算方法，能较好地考查学生对二次函数基础知识点的掌握情况。
【难度系数】
0.7

1. 填表：
| 抛物线 | $y=-\frac{1}{2}x^2$ | $y=-\frac{1}{2}x^2 -1$ | $y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$ |
| --- | --- | --- | --- |
| 开口方向 | | | |
| 对称轴 | | | |
| 顶点坐标 | | | |

| 抛物线 | $y=-\frac{1}{2}x^2$ | $y=-\frac{1}{2}x^2 -1$ | $y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$ |
| --- | --- | --- | --- |
| 开口方向 | 向下 | 向下 | 向下 |
| 对称轴 | 直线x=0（y轴） | 直线x=0（y轴） | 直线x=-1 |
| 顶点坐标 | (0,0) | (0,-1) | (-1,0) |

【分析】
解决本题的核心是掌握二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：1. 开口方向由参数$a$的符号决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；2. 对称轴为直线$x=h$；3. 顶点坐标为$(h,k)$。我们只需要把三个抛物线的解析式对应到顶点式形式，确定每个式子的$a、h、k$的值，就能依次推导对应的开口方向、对称轴和顶点坐标。
【解析】
1. 开口方向判断：
三个抛物线的二次项系数$a$均为$-\frac{1}{2}＜0$，因此三者开口方向均为向下。
2. 对称轴与顶点坐标求解：
① 对$y=-\frac{1}{2}x^2$，可变形为顶点式$y=-\frac{1}{2}(x-0)^2+0$，对应$h=0,k=0$，因此对称轴为直线$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,0)$；
② 对$y=-\frac{1}{2}x^2-1$，可变形为顶点式$y=-\frac{1}{2}(x-0)^2-1$，对应$h=0,k=-1$，因此对称轴为直线$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,-1)$；
③ 对$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$，可变形为顶点式$y=-\frac{1}{2}[x-(-1)]^2+0$，对应$h=-1,k=0$，因此对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,0)$。
【答案】
| 抛物线 | $y=-\frac{1}{2}x^2$ | $y=-\frac{1}{2}x^2 -1$ | $y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$ |
| --- | --- | --- | --- |
| 开口方向 | 向下 | 向下 | 向下 |
| 对称轴 | 直线x=0（y轴） | 直线x=0（y轴） | 直线x=-1 |
| 顶点坐标 | $(0,0)$ | $(0,-1)$ | $(-1,0)$ |
【知识点】
二次函数的图象性质，二次函数顶点式的应用
【点评】
本题是二次函数性质的基础考察题，解题关键是理解顶点式中各参数的几何意义，该知识点是后续学习二次函数平移、实际应用的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9

2. 将抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 向平移个单位长度，得到抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2 -1.$

2. 下 1

【分析】
解题时首先观察两个二次函数解析式的特征，二者二次项系数相同，说明抛物线的形状、开口方向完全一致，仅位置不同，只需判断平移方式即可。可通过两种思路推导：①对比两个抛物线的顶点坐标，顶点的平移规律就是抛物线的平移规律；②利用二次函数平移口诀“上加下减常数项，左加右减自变量”判断，上下平移对应常数项的加减，向下平移对应常数项减小，向上平移对应常数项增大。
【解析】
方法一（顶点法）：
抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2 -1$的顶点坐标为$(0,-1)$。
顶点从$(0,0)$移动到$(0,-1)$，是向下平移了1个单位长度，因此原抛物线向下平移1个单位长度得到新抛物线。
方法二（平移规律法）：
二次函数图像平移遵循“上加下减，左加右减”的规律，其中上下平移时对函数的常数项进行操作：常数项加几就是向上平移几个单位，常数项减几就是向下平移几个单位。
对比两个解析式，新抛物线的解析式是在原抛物线解析式的基础上整体减1，因此是向下平移1个单位长度。
【答案】
下；1
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，既可以通过对比顶点坐标的变化求解，也可以直接利用平移口诀快速判断，掌握平移规则是解题的关键，出错率较低。
【难度系数】
0.9

3. 抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$ 的开口方向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 。

3. 向下 直线x=-1 (-1,-1)

【分析】
这道题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的基本性质，解题思路如下：首先明确顶点式中各参数的意义：1. 参数$a$的正负决定抛物线开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；2. 对称轴为直线$x=h$，需把原式括号内的部分转化为$x-h$的形式确定$h$的值；3. 顶点坐标为$(h,k)$，对应找到$h、k$的值即可得到结果。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$，属于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$：
1. 判断开口方向：式中$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 求对称轴：将括号内的$x+1$改写为$x-(-1)$，可得$h=-1$，因此对称轴为直线$x=-1$；
3. 求顶点坐标：由$h=-1$，$k=-1$，可得顶点坐标为$(-1,-1)$。
【答案】向下；直线x=-1；(-1,-1)
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数开口方向判断；二次函数对称轴与顶点坐标
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是熟练掌握二次函数顶点式中各参数对应的几何意义，做题时注意括号内为加法时要转化为减法确定$h$的取值，避免符号出错。
【难度系数】
0.9