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2.若小敏用一根长为8 cm的细铁丝围成矩形,则矩形的最大面积是(
A.$4\ \mathrm{cm}^2$
B.$8\ \mathrm{cm}^2$
C.$16\ \mathrm{cm}^2$
D.$32\ \mathrm{cm}^2$
A
)A.$4\ \mathrm{cm}^2$
B.$8\ \mathrm{cm}^2$
C.$16\ \mathrm{cm}^2$
D.$32\ \mathrm{cm}^2$
答案
2. A
解析
【分析】
首先明确8cm是矩形的固定周长，要求最大面积，可先设矩形的一边长，结合周长公式表示出另一边长，再根据面积公式写出面积关于边长的函数表达式，最后利用二次函数的性质求出最大值即可。
【解析】
设矩形的长为$ x\ \mathrm{cm} $（$ 0＜x＜4 $），
已知矩形周长为$ 8\ \mathrm{cm} $，则矩形的宽为$ \frac{8}{2}-x=(4-x)\ \mathrm{cm} $。
设矩形面积为$ S\ \mathrm{cm}^2 $，根据矩形面积公式可得：
$ S=x(4-x)=-x^2+4x $
对函数配方得：$ S=-(x-2)^2+4 $
因为二次项系数$ -1＜0 $，函数图象开口向下，
所以当$ x=2 $时，$ S $取得最大值，最大值为$ 4\ \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；矩形周长与面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，解题核心是根据矩形周长的等量关系建立面积的函数解析式，再利用二次函数的性质求解最值，掌握二次函数的最值求法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先明确8cm是矩形的固定周长，要求最大面积，可先设矩形的一边长，结合周长公式表示出另一边长，再根据面积公式写出面积关于边长的函数表达式，最后利用二次函数的性质求出最大值即可。
【解析】
设矩形的长为$ x\ \mathrm{cm} $（$ 0＜x＜4 $），
已知矩形周长为$ 8\ \mathrm{cm} $，则矩形的宽为$ \frac{8}{2}-x=(4-x)\ \mathrm{cm} $。
设矩形面积为$ S\ \mathrm{cm}^2 $，根据矩形面积公式可得：
$ S=x(4-x)=-x^2+4x $
对函数配方得：$ S=-(x-2)^2+4 $
因为二次项系数$ -1＜0 $，函数图象开口向下，
所以当$ x=2 $时，$ S $取得最大值，最大值为$ 4\ \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；矩形周长与面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，解题核心是根据矩形周长的等量关系建立面积的函数解析式，再利用二次函数的性质求解最值，掌握二次函数的最值求法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度$h$(单位:m)与小球的运动时间$t$(单位:s)之间的关系式是$h=30t-5t^2(0≤t≤6)$.有下列结论:
①小球从抛出到落地需要6 s;②小球运动中的高度可以是30 m;③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度.
其中,正确结论的个数是(
A.0
B.1
C.2
D.3
①小球从抛出到落地需要6 s;②小球运动中的高度可以是30 m;③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度.
其中,正确结论的个数是(
C
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案
3. C
解析
【分析】
要判断三个结论是否正确，可结合二次函数的性质、一元二次方程的求解逐一分析：1.判断结论①，落地时高度h=0，解h=0对应的方程，舍去初始时刻t=0即可得到落地时间；2.判断结论②，可先求二次函数的最大值，若最大值≥30m则高度可以达到30m，也可直接解方程h=30判断是否有符合取值范围的根；3.判断结论③，分别将t=2和t=5代入解析式计算高度，比较大小即可。
【解析】
我们逐个分析三个结论：
1. 验证结论①：小球落地时高度h=0，代入关系式得：
$30t - 5t^2 = 0$
因式分解得$5t(6 - t)=0$，解得$t=0$或$t=6$。
$t=0$是小球抛出的初始时刻，因此落地时间为6s，结论①正确。
2. 验证结论②：先将函数配方求最大值：
$h=-5t^2+30t=-5(t^2-6t)=-5(t-3)^2+45$
可知小球运动的最大高度为45m，45＞30，因此小球高度可以达到30m，结论②正确。
3. 验证结论③：分别计算t=2和t=5时的高度：
当$t=2$时，$h=30×2 - 5×2^2=60-20=40\,\mathrm{m}$
当$t=5$时，$h=30×5 - 5×5^2=150-125=25\,\mathrm{m}$
40m＞25m，即小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度，结论③错误。
综上，正确的结论是①②，共2个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的性质；解一元二次方程
【点评】
本题结合竖直上抛运动的实际场景考查二次函数的应用，解题时需结合函数性质、方程求解逐一验证结论，要注意自变量t的取值范围，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
要判断三个结论是否正确，可结合二次函数的性质、一元二次方程的求解逐一分析：1.判断结论①，落地时高度h=0，解h=0对应的方程，舍去初始时刻t=0即可得到落地时间；2.判断结论②，可先求二次函数的最大值，若最大值≥30m则高度可以达到30m，也可直接解方程h=30判断是否有符合取值范围的根；3.判断结论③，分别将t=2和t=5代入解析式计算高度，比较大小即可。
【解析】
我们逐个分析三个结论：
1. 验证结论①：小球落地时高度h=0，代入关系式得：
$30t - 5t^2 = 0$
因式分解得$5t(6 - t)=0$，解得$t=0$或$t=6$。
$t=0$是小球抛出的初始时刻，因此落地时间为6s，结论①正确。
2. 验证结论②：先将函数配方求最大值：
$h=-5t^2+30t=-5(t^2-6t)=-5(t-3)^2+45$
可知小球运动的最大高度为45m，45＞30，因此小球高度可以达到30m，结论②正确。
3. 验证结论③：分别计算t=2和t=5时的高度：
当$t=2$时，$h=30×2 - 5×2^2=60-20=40\,\mathrm{m}$
当$t=5$时，$h=30×5 - 5×5^2=150-125=25\,\mathrm{m}$
40m＞25m，即小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度，结论③错误。
综上，正确的结论是①②，共2个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的性质；解一元二次方程
【点评】
本题结合竖直上抛运动的实际场景考查二次函数的应用，解题时需结合函数性质、方程求解逐一验证结论，要注意自变量t的取值范围，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
4. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度$h$(单位:$m$)与运动时间$t$(单位:$s$)的函数关系式为$h=20t-5t^2$,则小球运动中的最大高度为
20
m.答案
4. 20
解析
【分析】
本题是二次函数在实际问题中的应用，求小球的最大高度即求高度h关于时间t的二次函数的最大值。首先观察函数表达式，二次项系数为-5＜0，说明抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值就是抛物线顶点的纵坐标，我们可以通过配方法将函数化为顶点式，或者利用二次函数顶点纵坐标公式计算得到最大值。
【解析】
已知函数关系式为$ h=20t-5t^2 $，整理为二次函数一般形式：$ h=-5t^2+20t $，其中$ a=-5 $，$ b=20 $，$ c=0 $。
方法一：配方法
$\begin{aligned}h&=-5t^2+20t\\&=-5(t^2-4t)\\&=-5(t^2-4t+4-4)\\&=-5[(t-2)^2-4]\\&=-5(t-2)^2+20\end{aligned}$
因为$ -5＜0 $，所以当$ t=2 $时，$ h $取得最大值，最大值为$ 20\ \mathrm{m} $。
方法二：顶点纵坐标公式法
对于二次函数$ y=ax^2+bx+c(a≠0) $，顶点的纵坐标为$ \frac{4ac-b^2}{4a} $，代入数值计算：
$\frac{4×(-5)×0 - 20^2}{4×(-5)}=\frac{-400}{-20}=20$
即$ h $的最大值为$ 20\ \mathrm{m} $。
【答案】
20
【知识点】
二次函数的最值；配方法；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的抛球场景考查二次函数的最值应用，解题核心是将实际问题中的最大值转化为二次函数的顶点纵坐标，熟练掌握配方法或顶点坐标公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题是二次函数在实际问题中的应用，求小球的最大高度即求高度h关于时间t的二次函数的最大值。首先观察函数表达式，二次项系数为-5＜0，说明抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值就是抛物线顶点的纵坐标，我们可以通过配方法将函数化为顶点式，或者利用二次函数顶点纵坐标公式计算得到最大值。
【解析】
已知函数关系式为$ h=20t-5t^2 $，整理为二次函数一般形式：$ h=-5t^2+20t $，其中$ a=-5 $，$ b=20 $，$ c=0 $。
方法一：配方法
$\begin{aligned}h&=-5t^2+20t\\&=-5(t^2-4t)\\&=-5(t^2-4t+4-4)\\&=-5[(t-2)^2-4]\\&=-5(t-2)^2+20\end{aligned}$
因为$ -5＜0 $，所以当$ t=2 $时，$ h $取得最大值，最大值为$ 20\ \mathrm{m} $。
方法二：顶点纵坐标公式法
对于二次函数$ y=ax^2+bx+c(a≠0) $，顶点的纵坐标为$ \frac{4ac-b^2}{4a} $，代入数值计算：
$\frac{4×(-5)×0 - 20^2}{4×(-5)}=\frac{-400}{-20}=20$
即$ h $的最大值为$ 20\ \mathrm{m} $。
【答案】
20
【知识点】
二次函数的最值；配方法；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的抛球场景考查二次函数的最值应用，解题核心是将实际问题中的最大值转化为二次函数的顶点纵坐标，熟练掌握配方法或顶点坐标公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5.如图,用长为24 m的篱笆,一面利用墙(墙的最大长度a为10 m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x(单位:m),面积为S(单位:m²).
(1)BC=
(2)求出S关于x的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
(3)当x为何值时,花圃占地面积S最大?并求出S的最大值.
(1)BC=
(24 - 3x) m
(用含x的代数式表示);(2)求出S关于x的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
(3)当x为何值时,花圃占地面积S最大?并求出S的最大值.
答案
5. (1) (24 - 3x) m; (2) $S = - 3x^2 + 24x(\dfrac{14}{3} ≤ x ＜ 8)$; (3) 当$x = \dfrac{14}{3}$,$S$最大,最大值为$- 3 × (\dfrac{14}{3} - 4)^2 + 48 = \dfrac{140}{3}$.
解析
【分析】
(1) 首先明确篱笆的构成：共有3段垂直于墙的篱笆，长度均为x m，总篱笆长24m，因此用总长度减去3段垂直篱笆的长度即可得到BC的长度。
(2) 长方形面积=长×宽，代入AB和BC的表达式即可得到面积S的函数解析式；自变量取值范围需要结合两个实际条件：一是BC的长度不能超过墙的最大可用长度10m，二是BC的长度必须为正数，列不等式求解即可。
(3) 先将二次函数解析式化为顶点式，判断开口方向和对称轴，再结合自变量的取值范围判断函数的单调性，即可找到使S最大的x值，代入计算得到最大值。
【解析】
(1) 总篱笆长24m，3段垂直于墙的篱笆总长为3x m，因此$BC=(24-3x)\ \mathrm{m}$。
(2) 长方形面积$S=AB· BC$，代入得：
$S=x(24-3x)=-3x^2+24x$
求自变量取值范围：
① 墙的最大长度为10m，因此$24-3x≤10$，解得$x≥\dfrac{14}{3}$；
② BC长度为正，因此$24-3x＞0$，解得$x＜8$；
综上，自变量取值范围为$\dfrac{14}{3}≤ x＜8$。
(3) 将函数解析式化为顶点式：
$S=-3x^2+24x=-3(x-4)^2+48$
二次项系数$-3＜0$，抛物线开口向下，对称轴为$x=4$。
由于自变量取值范围$\dfrac{14}{3}≤ x＜8$在对称轴右侧，该区间内S随x的增大而减小，因此当$x=\dfrac{14}{3}$时S取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-3×(\dfrac{14}{3}-4)^2+48=\dfrac{140}{3}\ \mathrm{m}^2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(24-3x)\ \mathrm{m}}$；
(2) $\boldsymbol{S=-3x^2+24x(\dfrac{14}{3}≤ x＜8)}$；
(3) 当$\boldsymbol{x=\dfrac{14}{3}}$时，花圃面积S最大，最大值为$\boldsymbol{\dfrac{140}{3}\ \mathrm{m}^2}$。
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数的最值、不等式组求解
【点评】
本题考查二次函数在实际面积问题中的应用，易错点是容易忽略墙的长度限制，直接取抛物线顶点作为最值点，解题时一定要结合实际约束条件确定自变量范围，再根据函数单调性求解最值。
【难度系数】
0.65
(1) 首先明确篱笆的构成：共有3段垂直于墙的篱笆，长度均为x m，总篱笆长24m，因此用总长度减去3段垂直篱笆的长度即可得到BC的长度。
(2) 长方形面积=长×宽，代入AB和BC的表达式即可得到面积S的函数解析式；自变量取值范围需要结合两个实际条件：一是BC的长度不能超过墙的最大可用长度10m，二是BC的长度必须为正数，列不等式求解即可。
(3) 先将二次函数解析式化为顶点式，判断开口方向和对称轴，再结合自变量的取值范围判断函数的单调性，即可找到使S最大的x值，代入计算得到最大值。
【解析】
(1) 总篱笆长24m，3段垂直于墙的篱笆总长为3x m，因此$BC=(24-3x)\ \mathrm{m}$。
(2) 长方形面积$S=AB· BC$，代入得：
$S=x(24-3x)=-3x^2+24x$
求自变量取值范围：
① 墙的最大长度为10m，因此$24-3x≤10$，解得$x≥\dfrac{14}{3}$；
② BC长度为正，因此$24-3x＞0$，解得$x＜8$；
综上，自变量取值范围为$\dfrac{14}{3}≤ x＜8$。
(3) 将函数解析式化为顶点式：
$S=-3x^2+24x=-3(x-4)^2+48$
二次项系数$-3＜0$，抛物线开口向下，对称轴为$x=4$。
由于自变量取值范围$\dfrac{14}{3}≤ x＜8$在对称轴右侧，该区间内S随x的增大而减小，因此当$x=\dfrac{14}{3}$时S取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-3×(\dfrac{14}{3}-4)^2+48=\dfrac{140}{3}\ \mathrm{m}^2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(24-3x)\ \mathrm{m}}$；
(2) $\boldsymbol{S=-3x^2+24x(\dfrac{14}{3}≤ x＜8)}$；
(3) 当$\boldsymbol{x=\dfrac{14}{3}}$时，花圃面积S最大，最大值为$\boldsymbol{\dfrac{140}{3}\ \mathrm{m}^2}$。
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数的最值、不等式组求解
【点评】
本题考查二次函数在实际面积问题中的应用，易错点是容易忽略墙的长度限制，直接取抛物线顶点作为最值点，解题时一定要结合实际约束条件确定自变量范围，再根据函数单调性求解最值。
【难度系数】
0.65
