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1. 一般地,因为抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点是最低(高)点,所以当$x=$
$\displaystyle -\frac{b}{2a}$
时,二次函数$y=ax^2+bx+c$有最小(大)值$\displaystyle \frac{4ac-b^2}{4a}$
.答案
1. $\displaystyle -\frac{b}{2a}$ 2. $\displaystyle \frac{4ac-b^2}{4a}$
解析
【分析】
二次函数的最值在其顶点处取得，因此要确定二次函数取最值时的x值和对应的最值，只需要求出二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标即可。我们可以通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，推导得到顶点坐标，进而得到结果。
【解析】
对二次函数一般式用配方法变形：
$\begin{aligned}y&=ax^2+bx+c\\&=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\\&=a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2]+c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned}$
可得二次函数顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$：
若$a＞0$，抛物线开口向上，顶点为最低点，当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数有最小值$\frac{4ac-b^2}{4a}$；
若$a＜0$，抛物线开口向下，顶点为最高点，当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数有最大值$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
因此两个空依次填入$-\frac{b}{2a}$、$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
【答案】
$\displaystyle -\frac{b}{2a}$；$\displaystyle \frac{4ac-b^2}{4a}$
【知识点】
二次函数顶点坐标；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考察题，核心是掌握二次函数顶点与最值的对应关系，牢记顶点坐标公式即可快速解题，是后续用二次函数解决实际最值问题的基础。
【难度系数】
0.9
二次函数的最值在其顶点处取得，因此要确定二次函数取最值时的x值和对应的最值，只需要求出二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标即可。我们可以通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，推导得到顶点坐标，进而得到结果。
【解析】
对二次函数一般式用配方法变形：
$\begin{aligned}y&=ax^2+bx+c\\&=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\\&=a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2]+c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned}$
可得二次函数顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$：
若$a＞0$，抛物线开口向上，顶点为最低点，当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数有最小值$\frac{4ac-b^2}{4a}$；
若$a＜0$，抛物线开口向下，顶点为最高点，当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数有最大值$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
因此两个空依次填入$-\frac{b}{2a}$、$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
【答案】
$\displaystyle -\frac{b}{2a}$；$\displaystyle \frac{4ac-b^2}{4a}$
【知识点】
二次函数顶点坐标；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考察题，核心是掌握二次函数顶点与最值的对应关系，牢记顶点坐标公式即可快速解题，是后续用二次函数解决实际最值问题的基础。
【难度系数】
0.9
2. 已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查发现：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想每周获得6090元的利润，该商品定价应为多少元？
分析：没调价之前商场一周的利润为
若设商品定价为x元，那么每件商品的利润可表示为
分析：没调价之前商场一周的利润为
6000元
。设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润可表示为(20+x)元
，每周的销售量可表示为(300-10x)件
，一周的利润可表示为(20+x)(300-10x)元
。要想获得6090元利润，可列方程$(20+x)(300-10x)=6090$
。若设商品定价为x元，那么每件商品的利润可表示为
(x-40)元
，每周的销售量可表示为$(900-10x)$件
，一周的利润可表示为$(x-40)(900-10x)$元
。要想获得6090元利答案
1. 6000元 2. (20+x)元 3. (300-10x)件 4. (20+x)(300-10x)元 5. $(20+x)(300-10x)=6090$ 6. (x-40)元 7. $(900-10x)$件 8. $(x-40)(900-10x)$元
解析
【分析】
解决利润类问题首先要牢记核心公式：总利润=单件商品利润×销售数量。首先计算未调价时的利润，直接用原单件利润乘原销量即可。若设价格上调x元，需明确：涨价后单件利润会在原利润基础上增加x元，销量会在原销量基础上随涨价幅度减少，两者相乘就是总利润，令总利润等于6090即可列出方程。若直接设定价为x元，单件利润用售价减进价直接表示，销量则需先算出现价比原价高了多少，再对应算出减少的销量，进而得到实际销量，同样用总利润公式表示即可。
【解析】
1. 未调价时每件利润为$60-40=20$元，一周总利润为$20×300=6000$元；
2. 设销售单价上调x元，每件商品利润为$(20+x)$元，每涨1元少卖10件，涨x元少卖$10x$件，故每周销售量为$(300-10x)$件，一周总利润为$(20+x)(300-10x)$元，令总利润为6090元，列方程得：$(20+x)(300-10x)=6090$；
3. 设商品定价为x元，每件利润为售价减进价，即$(x-40)$元；售价比原价60元高了$(x-60)$元，对应少卖$10(x-60)$件，故销量为$300-10(x-60)=900-10x$件，一周总利润为$(x-40)(900-10x)$元。
【答案】
1. 6000元 2. (20+x)元 3. (300-10x)件 4. (20+x)(300-10x)元 5. $(20+x)(300-10x)=6090$ 6. (x-40)元 7. $(900-10x)$件 8. $(x-40)(900-10x)$元
【知识点】
销售利润计算、列代数式、一元二次方程应用
【点评】
本题是销售利润类的基础应用题，核心是掌握总利润的计算公式，能根据价格的变动准确表示出单件利润和销售数量，两种设未知数的方法都需要熟练掌握，是后续学习利润最值类问题的基础。
【难度系数】
0.8
解决利润类问题首先要牢记核心公式：总利润=单件商品利润×销售数量。首先计算未调价时的利润，直接用原单件利润乘原销量即可。若设价格上调x元，需明确：涨价后单件利润会在原利润基础上增加x元，销量会在原销量基础上随涨价幅度减少，两者相乘就是总利润，令总利润等于6090即可列出方程。若直接设定价为x元，单件利润用售价减进价直接表示，销量则需先算出现价比原价高了多少，再对应算出减少的销量，进而得到实际销量，同样用总利润公式表示即可。
【解析】
1. 未调价时每件利润为$60-40=20$元，一周总利润为$20×300=6000$元；
2. 设销售单价上调x元，每件商品利润为$(20+x)$元，每涨1元少卖10件，涨x元少卖$10x$件，故每周销售量为$(300-10x)$件，一周总利润为$(20+x)(300-10x)$元，令总利润为6090元，列方程得：$(20+x)(300-10x)=6090$；
3. 设商品定价为x元，每件利润为售价减进价，即$(x-40)$元；售价比原价60元高了$(x-60)$元，对应少卖$10(x-60)$件，故销量为$300-10(x-60)=900-10x$件，一周总利润为$(x-40)(900-10x)$元。
【答案】
1. 6000元 2. (20+x)元 3. (300-10x)件 4. (20+x)(300-10x)元 5. $(20+x)(300-10x)=6090$ 6. (x-40)元 7. $(900-10x)$件 8. $(x-40)(900-10x)$元
【知识点】
销售利润计算、列代数式、一元二次方程应用
【点评】
本题是销售利润类的基础应用题，核心是掌握总利润的计算公式，能根据价格的变动准确表示出单件利润和销售数量，两种设未知数的方法都需要熟练掌握，是后续学习利润最值类问题的基础。
【难度系数】
0.8
已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？
答案
解：设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元，则$y=(60-40+x)(300-10x)=-10x^2+100x+6000=-10(x-5)^2+6250$，当x=5时，y取得最大值6250，此时定价为$60+5=65$元。即该商品定价为65元时，商场能获得最大利润6250元。
解析
【分析】
要解决这个利润最大化问题，首先回忆销售问题的核心等量关系：总利润=单件商品的利润×总销售量。我们可以设涨价金额为自变量，总利润为因变量，先分别用含自变量的式子表示出涨价后的单件利润和对应销售量，再代入等量关系列出二次函数解析式，最后根据二次函数的图象性质（开口向下的抛物线在顶点处取最大值）求出最大值对应的自变量取值，进而计算出商品的定价即可。
【解析】
解：设每件商品涨价x元，每星期售出商品的总利润为y元。
涨价后单件利润为：$(60+x)-40=20+x$（元）
涨价后对应的销售量为：$300-10x$（件）
根据总利润公式列函数解析式：
$\begin{aligned}y&=(20+x)(300-10x)\\&=-10x^2+100x+6000\\&=-10(x-5)^2+6250\end{aligned}$
∵二次项系数$-10＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=5$时，$y$取得最大值6250元，
此时商品定价为$60+5=65$（元）。
【答案】
该商品定价为65元时，商场能获得最大利润，最大利润为6250元。
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是典型的二次函数销售最值类应用题，解题核心是准确梳理数量关系列出正确的函数解析式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的取值要符合实际销售场景的要求。
【难度系数】
0.7
要解决这个利润最大化问题，首先回忆销售问题的核心等量关系：总利润=单件商品的利润×总销售量。我们可以设涨价金额为自变量，总利润为因变量，先分别用含自变量的式子表示出涨价后的单件利润和对应销售量，再代入等量关系列出二次函数解析式，最后根据二次函数的图象性质（开口向下的抛物线在顶点处取最大值）求出最大值对应的自变量取值，进而计算出商品的定价即可。
【解析】
解：设每件商品涨价x元，每星期售出商品的总利润为y元。
涨价后单件利润为：$(60+x)-40=20+x$（元）
涨价后对应的销售量为：$300-10x$（件）
根据总利润公式列函数解析式：
$\begin{aligned}y&=(20+x)(300-10x)\\&=-10x^2+100x+6000\\&=-10(x-5)^2+6250\end{aligned}$
∵二次项系数$-10＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=5$时，$y$取得最大值6250元，
此时商品定价为$60+5=65$（元）。
【答案】
该商品定价为65元时，商场能获得最大利润，最大利润为6250元。
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是典型的二次函数销售最值类应用题，解题核心是准确梳理数量关系列出正确的函数解析式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的取值要符合实际销售场景的要求。
【难度系数】
0.7
变式1 若把“每涨价1元，每星期要少卖出10件”改为“每降价1元，每星期可多卖出20件”，其他条件不变，该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？
答案
解：设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，则$y=(60-40-x)(300+20x)=-20x^2+100x+6000=-20(x-2.5)^2+6125$，当x=2.5时，y取得最大值6125，此时定价为$60-2.5=57.5$元。即该商品定价为57.5元时，商场能获得最大利润6125元。
解析
【分析】
解决这道题首先要明确销售利润的核心等量关系：总利润=单件商品的利润×销售总数量。第一步，设降价的金额为自变量x，总利润为函数y；第二步，分别表示出降价后的单件利润：原售价60元，成本40元，降价x元后单件利润为(60-40-x)元；第三步，表示出降价后的销售量：原销量300件，每降1元多卖20件，降价x元后销量为(300+20x)件；第四步，根据等量关系列出y关于x的二次函数解析式；第五步，将二次函数化为顶点式，结合二次函数开口方向确定最大值对应的x值，最后用原价减去降价的x值即可得到最优定价。
【解析】
解：设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元。
根据总利润=单件利润×销售量，可得：
$\begin{aligned}y&=(60-40-x)(300+20x)\\&=(20-x)(300+20x)\\&=-20x^2+100x+6000\\&=-20(x-2.5)^2+6125\end{aligned}$
∵二次项系数$-20＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=2.5$时，y取得最大值，最大值为6125元。
此时商品定价为$60-2.5=57.5$元。
【答案】
该商品定价为57.5元时，商场能获得最大利润6125元。
【知识点】
销售利润计算；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数解决实际利润问题的典型题型，解题关键是找准数量关系，正确列出二次函数解析式，再结合二次函数的性质求解最值，注意计算过程中要保证自变量的取值符合实际意义。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确销售利润的核心等量关系：总利润=单件商品的利润×销售总数量。第一步，设降价的金额为自变量x，总利润为函数y；第二步，分别表示出降价后的单件利润：原售价60元，成本40元，降价x元后单件利润为(60-40-x)元；第三步，表示出降价后的销售量：原销量300件，每降1元多卖20件，降价x元后销量为(300+20x)件；第四步，根据等量关系列出y关于x的二次函数解析式；第五步，将二次函数化为顶点式，结合二次函数开口方向确定最大值对应的x值，最后用原价减去降价的x值即可得到最优定价。
【解析】
解：设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元。
根据总利润=单件利润×销售量，可得：
$\begin{aligned}y&=(60-40-x)(300+20x)\\&=(20-x)(300+20x)\\&=-20x^2+100x+6000\\&=-20(x-2.5)^2+6125\end{aligned}$
∵二次项系数$-20＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=2.5$时，y取得最大值，最大值为6125元。
此时商品定价为$60-2.5=57.5$元。
【答案】
该商品定价为57.5元时，商场能获得最大利润6125元。
【知识点】
销售利润计算；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数解决实际利润问题的典型题型，解题关键是找准数量关系，正确列出二次函数解析式，再结合二次函数的性质求解最值，注意计算过程中要保证自变量的取值符合实际意义。
【难度系数】
0.7
变式2 调整价格不仅包括涨价还包括降价,综合上述涨价和降价及现在的销售状况,你能确定什么情况下利润最大吗?
【归纳总结】(1)列出二次函数的解析式,并根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围.
(2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.
其步骤为:审题→找出等量关系→列出函数解析式(建模)→求最值.
【归纳总结】(1)列出二次函数的解析式,并根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围.
(2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.
其步骤为:审题→找出等量关系→列出函数解析式(建模)→求最值.
答案
综合涨价和降价两种情况可知，当商品定价为65元时，商场获得的利润最大，最大利润为6250元。
解析
【分析】
要解决调价后利润最大的问题，核心要抓住销售利润的基本等量关系：总利润=单个商品利润×销售数量。解题思路如下：首先分涨价、降价两种情况讨论，针对每种调价方式设出对应变量（如涨价/降价的金额、商品定价），结合价格变动时销量的变化规律，分别列出两种场景下利润关于变量的二次函数解析式，同时根据实际意义（如售价不低于成本、销量不能为负等）确定自变量的取值范围；接下来分别求两个二次函数在各自取值范围内的最大值，开口向下的二次函数若顶点横坐标在取值范围内，顶点纵坐标就是该场景的最大利润，若顶点不在范围内则取靠近顶点的端点对应利润值；最后对比两种场景的最大利润，数值更大的对应定价就是最优定价，对应利润就是最大利润。
【解析】
解：根据利润计算公式：$ 总利润W=（售价-进价）×销售量 $，分两类情况计算：
1. 涨价场景：设涨价$ x $元（$ x≥0 $），结合题中“每涨1元对应销量减少固定值”的规律，列出利润关于$ x $的二次函数，在自变量取值范围内求最值，可得该场景下最大利润为6250元，对应售价为65元。
2. 降价场景：设降价$ y $元（$ y≥0 $），同理列出降价时的利润二次函数，在自变量取值范围内求出最大利润，其数值小于6250元。
对比两种场景的最大利润，可知涨价到65元时利润更高。
【答案】
综合涨价和降价两种情况可知，当商品定价为65元时，商场获得的利润最大，最大利润为6250元。
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数最值；销售利润问题
【点评】
本题是二次函数在销售调价场景的典型应用，解题时需注意分涨价、降价两种情况分别建模，同时要结合自变量的实际意义确定取值范围，不能脱离实际直接求顶点最值，最后通过对比两类情况的最值得到最终结果。
【难度系数】
0.65
要解决调价后利润最大的问题，核心要抓住销售利润的基本等量关系：总利润=单个商品利润×销售数量。解题思路如下：首先分涨价、降价两种情况讨论，针对每种调价方式设出对应变量（如涨价/降价的金额、商品定价），结合价格变动时销量的变化规律，分别列出两种场景下利润关于变量的二次函数解析式，同时根据实际意义（如售价不低于成本、销量不能为负等）确定自变量的取值范围；接下来分别求两个二次函数在各自取值范围内的最大值，开口向下的二次函数若顶点横坐标在取值范围内，顶点纵坐标就是该场景的最大利润，若顶点不在范围内则取靠近顶点的端点对应利润值；最后对比两种场景的最大利润，数值更大的对应定价就是最优定价，对应利润就是最大利润。
【解析】
解：根据利润计算公式：$ 总利润W=（售价-进价）×销售量 $，分两类情况计算：
1. 涨价场景：设涨价$ x $元（$ x≥0 $），结合题中“每涨1元对应销量减少固定值”的规律，列出利润关于$ x $的二次函数，在自变量取值范围内求最值，可得该场景下最大利润为6250元，对应售价为65元。
2. 降价场景：设降价$ y $元（$ y≥0 $），同理列出降价时的利润二次函数，在自变量取值范围内求出最大利润，其数值小于6250元。
对比两种场景的最大利润，可知涨价到65元时利润更高。
【答案】
综合涨价和降价两种情况可知，当商品定价为65元时，商场获得的利润最大，最大利润为6250元。
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数最值；销售利润问题
【点评】
本题是二次函数在销售调价场景的典型应用，解题时需注意分涨价、降价两种情况分别建模，同时要结合自变量的实际意义确定取值范围，不能脱离实际直接求顶点最值，最后通过对比两类情况的最值得到最终结果。
【难度系数】
0.65
