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例 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品.这种产品的成本价为10元/件.已知销售价不低于成本价，物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y(单位：件)与销售价x(单位：元/件)之间的函数关系如图所示.
(1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.
(2)求每天的销售利润W(单位：元)与销售价x之间的函数解析式，当每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.
(2)求每天的销售利润W(单位：元)与销售价x之间的函数解析式，当每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
答案
(1) 设y与x的函数解析式为$y=kx+b$，将(10,30)、(16,18)代入得：$\begin{cases}10k+b=30 \\16k+b=18 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-2 \\b=50 \end{cases}$，所以$y=-2x+50$，自变量x的取值范围是$10 ≤ x ≤ 16$。
(2) 根据题意得$W=(x-10)y=(x-10)(-2x+50)=-2x^2+70x-500$，配方得$W=-2(x-17.5)^2+112.5$，因为$-2＜0$，所以当$x＜17.5$时，W随x的增大而增大，又$10 ≤ x ≤ 16$，所以当x=16时，W取得最大值，最大值为108元。即当每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是108元。
(2) 根据题意得$W=(x-10)y=(x-10)(-2x+50)=-2x^2+70x-500$，配方得$W=-2(x-17.5)^2+112.5$，因为$-2＜0$，所以当$x＜17.5$时，W随x的增大而增大，又$10 ≤ x ≤ 16$，所以当x=16时，W取得最大值，最大值为108元。即当每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是108元。
解析
【分析】
(1) 由图象可知y与x符合一次函数关系，采用待定系数法求解：先设出一次函数的一般式，再将图象上的两个已知点坐标代入解析式，解方程组即可得到k、b的值，最后结合题目中销售价的限制条件确定自变量x的取值范围。
(2) 根据“销售总利润=单件利润×销售量”的等量关系列函数式：单件利润为(x-10)元，销售量为(1)中所求的y，代入后得到W关于x的二次函数，再结合二次函数的增减性和x的取值范围，即可求出最大利润。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$(10,30)$、$(16,18)$代入解析式，得：
$\begin{cases}10k+b=30 \\16k+b=18 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$6k=-12$，解得$k=-2$，
把$k=-2$代入$10k+b=30$，得$-20+b=30$，解得$b=50$，
因此y与x的函数解析式为$y=-2x+50$。
由题意可知销售价不低于成本价10元/件，且不高于16元/件，故自变量x的取值范围为$10≤ x≤16$。
(2) 由题意得，单件产品利润为$(x-10)$元，因此总利润：
$W=(x-10)y=(x-10)(-2x+50)$
展开并整理得$W=-2x^2+70x-500$，
配方得$W=-2(x-17.5)^2+112.5$。
$\because -2＜0$，$\therefore$ 二次函数开口向下，当$x＜17.5$时，W随x的增大而增大，
又$\because 10≤ x≤16＜17.5$，$\therefore$ 在x的取值范围内W随x增大而增大，
因此当$x=16$时，W取得最大值，代入得：
$W=-2×(16-17.5)^2+112.5=108$（元）。
【答案】
(1) $y=-2x+50$（$10≤ x≤16$）；
(2) W与x的函数解析式为$W=-2x^2+70x-500$（$10≤ x≤16$），当每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是108元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；销售利润问题；二次函数的性质
【点评】
本题结合实际销售场景考查一次函数和二次函数的应用，解题的关键是明确利润的计算逻辑，注意求解二次函数最值时，需要先判断函数顶点横坐标是否在自变量的取值范围内，若不在范围内则根据函数增减性确定最值。
【难度系数】
0.7
(1) 由图象可知y与x符合一次函数关系，采用待定系数法求解：先设出一次函数的一般式，再将图象上的两个已知点坐标代入解析式，解方程组即可得到k、b的值，最后结合题目中销售价的限制条件确定自变量x的取值范围。
(2) 根据“销售总利润=单件利润×销售量”的等量关系列函数式：单件利润为(x-10)元，销售量为(1)中所求的y，代入后得到W关于x的二次函数，再结合二次函数的增减性和x的取值范围，即可求出最大利润。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$(10,30)$、$(16,18)$代入解析式，得：
$\begin{cases}10k+b=30 \\16k+b=18 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$6k=-12$，解得$k=-2$，
把$k=-2$代入$10k+b=30$，得$-20+b=30$，解得$b=50$，
因此y与x的函数解析式为$y=-2x+50$。
由题意可知销售价不低于成本价10元/件，且不高于16元/件，故自变量x的取值范围为$10≤ x≤16$。
(2) 由题意得，单件产品利润为$(x-10)$元，因此总利润：
$W=(x-10)y=(x-10)(-2x+50)$
展开并整理得$W=-2x^2+70x-500$，
配方得$W=-2(x-17.5)^2+112.5$。
$\because -2＜0$，$\therefore$ 二次函数开口向下，当$x＜17.5$时，W随x的增大而增大，
又$\because 10≤ x≤16＜17.5$，$\therefore$ 在x的取值范围内W随x增大而增大，
因此当$x=16$时，W取得最大值，代入得：
$W=-2×(16-17.5)^2+112.5=108$（元）。
【答案】
(1) $y=-2x+50$（$10≤ x≤16$）；
(2) W与x的函数解析式为$W=-2x^2+70x-500$（$10≤ x≤16$），当每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是108元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；销售利润问题；二次函数的性质
【点评】
本题结合实际销售场景考查一次函数和二次函数的应用，解题的关键是明确利润的计算逻辑，注意求解二次函数最值时，需要先判断函数顶点横坐标是否在自变量的取值范围内，若不在范围内则根据函数增减性确定最值。
【难度系数】
0.7
1.将进货价为70元/件的某种商品，按零售价100元/件出售时，每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元/件，其日销售量就增加1件，为了获得最大利润，决定每件降价x元，则单件的利润为
(30-x)
元，每天的销售量为(20+x)
件，则每天的利润y(单位:元)关于x(单位:元)的函数解析式是y=$-x^2+10x+600$
，所以每件降价5
元时，每天获得的利润最大，最大利润为625
元.答案
1. (30-x) 2. (20+x) 3. $-x^2+10x+600$ 4. 5 5. 625
解析
【分析】
解决这道利润最值问题，我们首先要明确销售问题的核心数量关系：总利润=单件利润×销售量。解题思路分三步：第一步先推导降价x元后的单件利润：单件利润=原单件利润-降价金额；第二步推导降价后的日销售量：日销售量=原销售量+降价带来的新增销量；第三步根据总利润的计算公式列出函数解析式，再结合二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
1. 计算单件利润：原零售价100元/件，进价70元/件，原单件利润为$100-70=30$元，降价x元后，单件利润减少x元，因此单件利润为$(30-x)$元；
2. 计算日销售量：原日销售量为20件，每降价1元日销量增加1件，降价x元后日销量增加x件，因此每天的销售量为$(20+x)$件；
3. 列利润函数解析式：总利润=单件利润×日销售量，因此$y=(30-x)(20+x)$，展开整理得：
$y=30×20 + 30x - 20x -x^2 = -x^2+10x+600$；
4. 求最大利润：该函数是二次函数，其中$a=-1＜0$，函数图象开口向下，顶点处取得最大值。根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1,b=10$得：
$x=-\frac{10}{2×(-1)}=5$，即降价5元时利润最大；
将$x=5$代入解析式得最大利润：$y=-5^2+10×5+600=-25+50+600=625$元。
【答案】
$(30-x)$；$(20+x)$；$-x^2+10x+600$；$5$；$625$
【知识点】
销售利润计算；二次函数解析式求解；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在实际销售问题中的典型应用，解题的核心是找准各个数量之间的对应关系，正确列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解最值，属于常考的基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
解决这道利润最值问题，我们首先要明确销售问题的核心数量关系：总利润=单件利润×销售量。解题思路分三步：第一步先推导降价x元后的单件利润：单件利润=原单件利润-降价金额；第二步推导降价后的日销售量：日销售量=原销售量+降价带来的新增销量；第三步根据总利润的计算公式列出函数解析式，再结合二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
1. 计算单件利润：原零售价100元/件，进价70元/件，原单件利润为$100-70=30$元，降价x元后，单件利润减少x元，因此单件利润为$(30-x)$元；
2. 计算日销售量：原日销售量为20件，每降价1元日销量增加1件，降价x元后日销量增加x件，因此每天的销售量为$(20+x)$件；
3. 列利润函数解析式：总利润=单件利润×日销售量，因此$y=(30-x)(20+x)$，展开整理得：
$y=30×20 + 30x - 20x -x^2 = -x^2+10x+600$；
4. 求最大利润：该函数是二次函数，其中$a=-1＜0$，函数图象开口向下，顶点处取得最大值。根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1,b=10$得：
$x=-\frac{10}{2×(-1)}=5$，即降价5元时利润最大；
将$x=5$代入解析式得最大利润：$y=-5^2+10×5+600=-25+50+600=625$元。
【答案】
$(30-x)$；$(20+x)$；$-x^2+10x+600$；$5$；$625$
【知识点】
销售利润计算；二次函数解析式求解；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在实际销售问题中的典型应用，解题的核心是找准各个数量之间的对应关系，正确列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解最值，属于常考的基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
2.某商店以20元的单价购进一批商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件.市场调查发现:销售单价每提高1元,销售量则减少20件,售价提高
5
元,才能在半月内获得利润最大,最大利润为4500元
.答案
1. 5 2. 4500元
解析
【分析】
这是一道利用二次函数求解销售利润最值的典型题，解题思路如下：首先明确利润问题的核心等量关系：总利润=单件利润×销售数量；我们设售价提高的金额为自变量x，分别表示出提价后的单件利润和对应销售量，代入等量关系得到利润关于x的二次函数解析式；再结合二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，计算最大值即可，注意要验证自变量的取值符合销售量非负的实际要求。
【解析】
解：设销售单价提高$ x $元，半月内获得的总利润为$ y $元。
1. 表示单件利润：提价后售价为$ (30+x) $元，进价为20元，因此单件利润为$ 30+x-20=(10+x) $元。
2. 表示销售量：每提价1元销量减少20件，因此提价$ x $元后的销量为$ (400-20x) $件，且需满足$ 400-20x≥0 $，即$ 0≤ x≤20 $。
3. 列利润函数：根据总利润公式得
$ y=(10+x)(400-20x) $
展开整理得：$ y=-20x^2+200x+4000 $
4. 求最值：该二次函数中$ a=-20＜0 $，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值。
顶点横坐标$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{200}{2×(-20)}=5 $，符合$ 0≤ x≤20 $的取值范围。
将$ x=5 $代入函数得最大利润：
$ y=-20×5^2+200×5+4000=-500+1000+4000=4500 $（元）
【答案】
5；4500元
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是销售类最值的常考题型，核心是找准等量关系列出正确的二次函数解析式，求解时要注意结合实际情况确定自变量的取值范围，避免算出的结果不符合现实意义。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数求解销售利润最值的典型题，解题思路如下：首先明确利润问题的核心等量关系：总利润=单件利润×销售数量；我们设售价提高的金额为自变量x，分别表示出提价后的单件利润和对应销售量，代入等量关系得到利润关于x的二次函数解析式；再结合二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，计算最大值即可，注意要验证自变量的取值符合销售量非负的实际要求。
【解析】
解：设销售单价提高$ x $元，半月内获得的总利润为$ y $元。
1. 表示单件利润：提价后售价为$ (30+x) $元，进价为20元，因此单件利润为$ 30+x-20=(10+x) $元。
2. 表示销售量：每提价1元销量减少20件，因此提价$ x $元后的销量为$ (400-20x) $件，且需满足$ 400-20x≥0 $，即$ 0≤ x≤20 $。
3. 列利润函数：根据总利润公式得
$ y=(10+x)(400-20x) $
展开整理得：$ y=-20x^2+200x+4000 $
4. 求最值：该二次函数中$ a=-20＜0 $，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值。
顶点横坐标$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{200}{2×(-20)}=5 $，符合$ 0≤ x≤20 $的取值范围。
将$ x=5 $代入函数得最大利润：
$ y=-20×5^2+200×5+4000=-500+1000+4000=4500 $（元）
【答案】
5；4500元
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是销售类最值的常考题型，核心是找准等量关系列出正确的二次函数解析式，求解时要注意结合实际情况确定自变量的取值范围，避免算出的结果不符合现实意义。
【难度系数】
0.7
3. 某产品每件的成本是10元,试销阶段每件产品的销售价x(单位:元)与产品的日销售量y(单位:件)之间的关系如下表:
已知日销售量y是销售价x的一次函数.
(1)求日销售量y与销售价x的函数解析式.
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时最大销售利润是多少?
已知日销售量y是销售价x的一次函数.
(1)求日销售量y与销售价x的函数解析式.
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时最大销售利润是多少?
答案
(1) 设$y=kx+b$，代入表中两组数据解得$\begin{cases}k=-1 \\b=40 \end{cases}$，所以$y=-x+40$。
(2) 设每日销售利润为w元，则$w=(x-10)y=(x-10)(-x+40)=-x^2+50x-400=-(x-25)^2+225$，所以当x=25时，w取得最大值225。即每件产品的销售价定为25元时，每日销售利润最大，最大销售利润是225元。
(2) 设每日销售利润为w元，则$w=(x-10)y=(x-10)(-x+40)=-x^2+50x-400=-(x-25)^2+225$，所以当x=25时，w取得最大值225。即每件产品的销售价定为25元时，每日销售利润最大，最大销售利润是225元。
解析
【分析】
(1) 题目明确说明日销售量y是销售价x的一次函数，因此采用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），从表格中选取两组x、y的对应值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k和b的值，即可得到函数解析式，可代入第三组数据验证结果是否正确。
(2) 销售利润的等量关系为：每日总利润=单件产品的利润×日销售量。单件利润为售价x减去成本10元，日销售量用(1)中得到的函数式代入，即可得到总利润关于x的二次函数表达式，再根据二次函数的性质，结合二次项系数的符号判断开口方向，进而求出最大值及对应的售价。
【解析】
(1) 设日销售量y与销售价x的函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），
选取表格中两组数据$\begin{cases}x=15 \\ y=25 \end{cases}$和$\begin{cases}x=20 \\ y=20 \end{cases}$代入解析式，得：
$\begin{cases}15k+b=25 \\20k+b=20 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$5k=-5$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$15k+b=25$，得$-15+b=25$，解得$b=40$，
代入第三组数据$x=25$验证，得$y=-25+40=15$，与表格数据一致，
故日销售量y与销售价x的函数解析式为$y=-x+40$。
(2) 设每日的销售利润为w元，
由题意得，单件产品的利润为$(x-10)$元，日销售量为$y=-x+40$件，
因此总利润$w=(x-10)y$，
将$y=-x+40$代入得：
$\begin{aligned}w&=(x-10)(-x+40)\\&=-x^2+50x-400\\&=-(x-25)^2+225\end{aligned}$
$\because$二次项系数$-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，当$x=25$时，w取得最大值，最大值为225。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-x+40}$
(2) 每件产品的销售价应定为25元，此时最大销售利润是225元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，销售利润计算，二次函数的最值
【点评】
本题是一次函数与二次函数结合的实际应用类常考题，核心考察待定系数法求函数解析式、二次函数性质在最值问题中的应用，解题的关键是理清售价、成本、销量、利润之间的数量关系，正确列出函数表达式。
【难度系数】
0.7
(1) 题目明确说明日销售量y是销售价x的一次函数，因此采用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），从表格中选取两组x、y的对应值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k和b的值，即可得到函数解析式，可代入第三组数据验证结果是否正确。
(2) 销售利润的等量关系为：每日总利润=单件产品的利润×日销售量。单件利润为售价x减去成本10元，日销售量用(1)中得到的函数式代入，即可得到总利润关于x的二次函数表达式，再根据二次函数的性质，结合二次项系数的符号判断开口方向，进而求出最大值及对应的售价。
【解析】
(1) 设日销售量y与销售价x的函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），
选取表格中两组数据$\begin{cases}x=15 \\ y=25 \end{cases}$和$\begin{cases}x=20 \\ y=20 \end{cases}$代入解析式，得：
$\begin{cases}15k+b=25 \\20k+b=20 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$5k=-5$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$15k+b=25$，得$-15+b=25$，解得$b=40$，
代入第三组数据$x=25$验证，得$y=-25+40=15$，与表格数据一致，
故日销售量y与销售价x的函数解析式为$y=-x+40$。
(2) 设每日的销售利润为w元，
由题意得，单件产品的利润为$(x-10)$元，日销售量为$y=-x+40$件，
因此总利润$w=(x-10)y$，
将$y=-x+40$代入得：
$\begin{aligned}w&=(x-10)(-x+40)\\&=-x^2+50x-400\\&=-(x-25)^2+225\end{aligned}$
$\because$二次项系数$-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，当$x=25$时，w取得最大值，最大值为225。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-x+40}$
(2) 每件产品的销售价应定为25元，此时最大销售利润是225元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，销售利润计算，二次函数的最值
【点评】
本题是一次函数与二次函数结合的实际应用类常考题，核心考察待定系数法求函数解析式、二次函数性质在最值问题中的应用，解题的关键是理清售价、成本、销量、利润之间的数量关系，正确列出函数表达式。
【难度系数】
0.7
