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1.某商店销售某种商品所获得的利润y(单位:元)关于所卖的件数x的函数解析式是$y=-x^2+1000x-200000$,则当$0＜x≤450$时,最大利润为(
A.2 500元
B.47 500元
C.50 000元
D.250 000元
B
)A.2 500元
B.47 500元
C.50 000元
D.250 000元
答案
1. B
解析
【分析】
本题是二次函数在利润问题中的最值求解问题。首先回忆二次函数的性质：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a\ne0)$，当$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，右侧$y$随$x$的增大而减小，在对称轴处取得最大值。我们先求出该函数的对称轴，再判断给定的$x$取值范围$0＜x≤450$在对称轴的哪一侧，确定函数在该区间的单调性，即可找到取最大利润时对应的$x$值，代入计算即可。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+1000x-200000$：
1. 确定开口方向和对称轴：二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1000}{2×(-1)}=500$；
2. 判断区间单调性：给定$x$的取值范围是$0＜x≤450$，该区间在对称轴$x=500$的左侧，因此在该范围内$y$随$x$的增大而增大；
3. 计算最大利润：当$x=450$时$y$取最大值，代入得：
$\begin{aligned}y&=-450^2 + 1000×450 - 200000\\&=-202500 + 450000 - 200000\\&=47500\end{aligned}$
即最大利润为47500元，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数最值求解；二次函数实际应用
【点评】
解题的核心是不能直接将顶点处的函数值作为最值，必须结合自变量的实际取值范围判断函数单调性，再计算对应最值，避免因忽略取值范围造成错误。
【难度系数】
0.6
本题是二次函数在利润问题中的最值求解问题。首先回忆二次函数的性质：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a\ne0)$，当$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，右侧$y$随$x$的增大而减小，在对称轴处取得最大值。我们先求出该函数的对称轴，再判断给定的$x$取值范围$0＜x≤450$在对称轴的哪一侧，确定函数在该区间的单调性，即可找到取最大利润时对应的$x$值，代入计算即可。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+1000x-200000$：
1. 确定开口方向和对称轴：二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1000}{2×(-1)}=500$；
2. 判断区间单调性：给定$x$的取值范围是$0＜x≤450$，该区间在对称轴$x=500$的左侧，因此在该范围内$y$随$x$的增大而增大；
3. 计算最大利润：当$x=450$时$y$取最大值，代入得：
$\begin{aligned}y&=-450^2 + 1000×450 - 200000\\&=-202500 + 450000 - 200000\\&=47500\end{aligned}$
即最大利润为47500元，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数最值求解；二次函数实际应用
【点评】
解题的核心是不能直接将顶点处的函数值作为最值，必须结合自变量的实际取值范围判断函数单调性，再计算对应最值，避免因忽略取值范围造成错误。
【难度系数】
0.6
2.某产品进货单价为90元，按100元一个售出时，能售出500个.如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个.为了获得最大利润，其单价应定为
120
元.答案
2. 120
解析
【分析】
这是一道销售利润最大化的问题，解题核心是构建二次函数模型求最值。首先回忆总利润的计算公式：总利润=单个商品利润×销售总量。我们可以先设定价为x元，分别用含x的代数式表示出单个利润和销售总量：单个利润为售价减进价即(x-90)元；售价比100元上涨了(x-100)元，已知每涨1元销量减少10个，因此销量减少10(x-100)个，实际销量为[500-10(x-100)]个。将两个代数式相乘即可得到总利润关于x的二次函数，再根据二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，即可求出对应定价。
【解析】
解：设该产品的单价定为x元，获得的总利润为W元。
单个商品的利润为：$ x - 90 $（元）
实际销售量为：$ 500 - 10(x - 100) = 1500 - 10x $（个）
根据总利润公式可得：
$ W = (x - 90)(1500 - 10x) $
展开并整理得：
$ W = -10x^2 + 2400x - 135000 $
∵ 二次项系数$ a = -10 ＜ 0 $，
∴ 该函数图象开口向下，当$ x = -\frac{b}{2a} $时，W取得最大值。
代入$ a=-10 $，$ b=2400 $得：
$ x = -\frac{2400}{2×(-10)} = 120 $
即为了获得最大利润，单价应定为120元。
【答案】
120
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是销售类最值问题的典型题型，解题关键是正确梳理数量关系，构建二次函数模型，再结合二次函数的性质求解，解题时要注意验证所求结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是一道销售利润最大化的问题，解题核心是构建二次函数模型求最值。首先回忆总利润的计算公式：总利润=单个商品利润×销售总量。我们可以先设定价为x元，分别用含x的代数式表示出单个利润和销售总量：单个利润为售价减进价即(x-90)元；售价比100元上涨了(x-100)元，已知每涨1元销量减少10个，因此销量减少10(x-100)个，实际销量为[500-10(x-100)]个。将两个代数式相乘即可得到总利润关于x的二次函数，再根据二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，即可求出对应定价。
【解析】
解：设该产品的单价定为x元，获得的总利润为W元。
单个商品的利润为：$ x - 90 $（元）
实际销售量为：$ 500 - 10(x - 100) = 1500 - 10x $（个）
根据总利润公式可得：
$ W = (x - 90)(1500 - 10x) $
展开并整理得：
$ W = -10x^2 + 2400x - 135000 $
∵ 二次项系数$ a = -10 ＜ 0 $，
∴ 该函数图象开口向下，当$ x = -\frac{b}{2a} $时，W取得最大值。
代入$ a=-10 $，$ b=2400 $得：
$ x = -\frac{2400}{2×(-10)} = 120 $
即为了获得最大利润，单价应定为120元。
【答案】
120
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是销售类最值问题的典型题型，解题关键是正确梳理数量关系，构建二次函数模型，再结合二次函数的性质求解，解题时要注意验证所求结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
3.某种商品每天的销售利润$y$(单位:元)与销售单价$x$(单位:元)之间满足关系：$y=ax^2+bx-75$.其图象如图所示.
(1)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元?
(2)销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于16元?
【智慧提升】
4.
探究墨红玫瑰的最优销售单价
项目背景：墨红玫瑰是云南地区种植的食用玫瑰品种之一,它是制作玫瑰花酱、玫瑰花曲奇、鲜花饼、牛轧糖等各种美食的重要原料.某校学习小组以“探究墨红玫瑰的最优销售单价”为主题开展项目式学习.
材料一：墨红玫瑰的成本为80元/千克.
材料二：墨红玫瑰的月销售量$y$(千克)与销售单价$x$(元/千克)(不低于成本)之间满足一次函数关系的解析式为$y = -10x + 1800$.
任务驱动：探究墨红玫瑰月销售总利润与销售单价的关系.
问题解决
任务一 建立函数模型：(1)设墨红玫瑰的月销售总利润为$w$元,写出$w$与$x$之间的函数解析式；
任务二 确定销售方案：(2)墨红玫瑰的销售单价定为多少元/千克时,获得的月销售总利润最大?(3)若墨红玫瑰获得的月销售总利润为21000元,则墨红玫瑰的销售单价应定为多少元/千克?
(1)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元?
(2)销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于16元?
【智慧提升】
4.
探究墨红玫瑰的最优销售单价
项目背景：墨红玫瑰是云南地区种植的食用玫瑰品种之一,它是制作玫瑰花酱、玫瑰花曲奇、鲜花饼、牛轧糖等各种美食的重要原料.某校学习小组以“探究墨红玫瑰的最优销售单价”为主题开展项目式学习.
材料一：墨红玫瑰的成本为80元/千克.
材料二：墨红玫瑰的月销售量$y$(千克)与销售单价$x$(元/千克)(不低于成本)之间满足一次函数关系的解析式为$y = -10x + 1800$.
任务驱动：探究墨红玫瑰月销售总利润与销售单价的关系.
问题解决
任务一 建立函数模型：(1)设墨红玫瑰的月销售总利润为$w$元,写出$w$与$x$之间的函数解析式；
任务二 确定销售方案：(2)墨红玫瑰的销售单价定为多少元/千克时,获得的月销售总利润最大?(3)若墨红玫瑰获得的月销售总利润为21000元,则墨红玫瑰的销售单价应定为多少元/千克?
答案
3. (1) 销售单价为10元时每天的利润最大,最大利润为25元. (2) 销售单价不低于7元且不高于13元时,该商品每天的销售利润不低于16元.
4. (1) $w = - 10x^{2} + 2 600x - 144 000(80 ＜ x ＜ 180)$.
(2) 当墨红玫瑰的销售单价为130元/千克时,获得的月销售总利润最大.
(3) 墨红玫瑰的销售单价应为110元/千克或150元/千克.
4. (1) $w = - 10x^{2} + 2 600x - 144 000(80 ＜ x ＜ 180)$.
(2) 当墨红玫瑰的销售单价为130元/千克时,获得的月销售总利润最大.
(3) 墨红玫瑰的销售单价应为110元/千克或150元/千克.
解析
【分析】
第3题：本题是二次函数在销售利润中的应用，（1）首先需要根据函数图象上的已知点坐标代入一般式$y=ax^2+bx-75$，求出系数$a$、$b$得到完整解析式，再通过配方法或顶点坐标公式求二次函数的顶点，即可得到最大利润及对应销售单价；（2）要求利润不低于16元，即令$y≥16$，转化为一元二次不等式，结合二次函数开口向下的性质求解$x$的取值范围。
第4题：（1）根据销售问题的核心数量关系“总利润=（单价-成本）×销售量”，将已知的成本、销售量的表达式代入，化简即可得到$w$与$x$的函数解析式，同时结合实际意义确定自变量$x$的取值范围；（2）求最大利润即求开口向下的二次函数的顶点横坐标，利用顶点坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$计算即可；（3）令$w=21000$，转化为一元二次方程求解，检验解是否符合自变量取值范围即可。
【解析】
第3题
（1）由二次函数图象的对称性及已知条件，可得函数图象过点$(5,0)$、$(15,0)$，代入$y=ax^2+bx-75$得：
$\begin{cases}25a+5b-75=0 \\225a+15b-75=0 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1 \\b=20 \end{cases}$
所以解析式为$y=-x^2+20x-75$，配方得：
$y=-(x^2-20x+100)+25=-(x-10)^2+25$
$\because a=-1＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$当$x=10$时，$y$取最大值25。
即销售单价为10元时，每天销售利润最大，最大利润为25元。
（2）令$y≥16$，则：
$-x^2+20x-75≥16$
整理得$x^2-20x+91≤0$
因式分解得$(x-7)(x-13)≤0$
结合二次函数性质解得$7≤ x≤13$。
即销售单价不低于7元且不高于13元时，每天销售利润不低于16元。
第4题
（1）由题意，每千克利润为$(x-80)$元，月销售量为$(-10x+1800)$千克，因此总利润：
$w=(x-80)(-10x+1800)$
展开化简得：
$w=-10x^2+2600x-144000$
结合实际意义：销售单价高于成本，且销售量大于0，因此$80＜x＜180$。
（2）$\because$二次函数$w=-10x^2+2600x-144000$中$a=-10＜0$，开口向下，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2600}{2×(-10)}=130$，且$130$在$80＜x＜180$范围内，
$\therefore$当$x=130$时，$w$取得最大值，即销售单价定为130元/千克时，月销售总利润最大。
（3）令$w=21000$，则：
$-10x^2+2600x-144000=21000$
整理得$x^2-260x+16500=0$
解得$x_1=150$，$x_2=110$，两个解均在$80＜x＜180$范围内，均符合题意。
即销售单价应定为110元/千克或150元/千克。
【答案】
3. (1) 销售单价为10元时每天的利润最大,最大利润为25元。 (2) 销售单价不低于7元且不高于13元时,该商品每天的销售利润不低于16元。
4. (1) $w = - 10x^{2} + 2 600x - 144 000(80 ＜ x ＜ 180)$。
(2) 当墨红玫瑰的销售单价为130元/千克时,获得的月销售总利润最大。
(3) 墨红玫瑰的销售单价应为110元/千克或150元/千克。
【知识点】
二次函数的应用；一元二次方程的解法；二次函数与不等式的关系
【点评】
这两道题均为二次函数在实际销售利润问题中的典型应用，解题核心是先结合题意或图象建立正确的函数模型，再利用二次函数的性质、一元二次方程与不等式的解法求解，解题时需注意自变量的实际取值范围，避免得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
第3题：本题是二次函数在销售利润中的应用，（1）首先需要根据函数图象上的已知点坐标代入一般式$y=ax^2+bx-75$，求出系数$a$、$b$得到完整解析式，再通过配方法或顶点坐标公式求二次函数的顶点，即可得到最大利润及对应销售单价；（2）要求利润不低于16元，即令$y≥16$，转化为一元二次不等式，结合二次函数开口向下的性质求解$x$的取值范围。
第4题：（1）根据销售问题的核心数量关系“总利润=（单价-成本）×销售量”，将已知的成本、销售量的表达式代入，化简即可得到$w$与$x$的函数解析式，同时结合实际意义确定自变量$x$的取值范围；（2）求最大利润即求开口向下的二次函数的顶点横坐标，利用顶点坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$计算即可；（3）令$w=21000$，转化为一元二次方程求解，检验解是否符合自变量取值范围即可。
【解析】
第3题
（1）由二次函数图象的对称性及已知条件，可得函数图象过点$(5,0)$、$(15,0)$，代入$y=ax^2+bx-75$得：
$\begin{cases}25a+5b-75=0 \\225a+15b-75=0 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1 \\b=20 \end{cases}$
所以解析式为$y=-x^2+20x-75$，配方得：
$y=-(x^2-20x+100)+25=-(x-10)^2+25$
$\because a=-1＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$当$x=10$时，$y$取最大值25。
即销售单价为10元时，每天销售利润最大，最大利润为25元。
（2）令$y≥16$，则：
$-x^2+20x-75≥16$
整理得$x^2-20x+91≤0$
因式分解得$(x-7)(x-13)≤0$
结合二次函数性质解得$7≤ x≤13$。
即销售单价不低于7元且不高于13元时，每天销售利润不低于16元。
第4题
（1）由题意，每千克利润为$(x-80)$元，月销售量为$(-10x+1800)$千克，因此总利润：
$w=(x-80)(-10x+1800)$
展开化简得：
$w=-10x^2+2600x-144000$
结合实际意义：销售单价高于成本，且销售量大于0，因此$80＜x＜180$。
（2）$\because$二次函数$w=-10x^2+2600x-144000$中$a=-10＜0$，开口向下，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2600}{2×(-10)}=130$，且$130$在$80＜x＜180$范围内，
$\therefore$当$x=130$时，$w$取得最大值，即销售单价定为130元/千克时，月销售总利润最大。
（3）令$w=21000$，则：
$-10x^2+2600x-144000=21000$
整理得$x^2-260x+16500=0$
解得$x_1=150$，$x_2=110$，两个解均在$80＜x＜180$范围内，均符合题意。
即销售单价应定为110元/千克或150元/千克。
【答案】
3. (1) 销售单价为10元时每天的利润最大,最大利润为25元。 (2) 销售单价不低于7元且不高于13元时,该商品每天的销售利润不低于16元。
4. (1) $w = - 10x^{2} + 2 600x - 144 000(80 ＜ x ＜ 180)$。
(2) 当墨红玫瑰的销售单价为130元/千克时,获得的月销售总利润最大。
(3) 墨红玫瑰的销售单价应为110元/千克或150元/千克。
【知识点】
二次函数的应用；一元二次方程的解法；二次函数与不等式的关系
【点评】
这两道题均为二次函数在实际销售利润问题中的典型应用，解题核心是先结合题意或图象建立正确的函数模型，再利用二次函数的性质、一元二次方程与不等式的解法求解，解题时需注意自变量的实际取值范围，避免得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
