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1. 为改善小区环境,某小区决定在一块一边靠墙(墙长25 m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙,另三边用总长为40 m的栅栏围住,如图.
若设绿化带BC边长为x m,绿化带的面积为y m².
(1)求y与x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
(2)当x为何值时,绿化带的面积最大?
若设绿化带BC边长为x m,绿化带的面积为y m².(1)求y与x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
(2)当x为何值时,绿化带的面积最大?
答案
1.(1) $y=-\dfrac{1}{2}x^2+20x$，自变量$x$的取值范围是$0＜x≤25$
1.(2) 函数开口向下，对称轴为$x=20$，在取值范围内，故当$x=20$时，绿化带的面积最大，最大面积为$200\ \mathrm{m}^2$
1.(2) 函数开口向下，对称轴为$x=20$，在取值范围内，故当$x=20$时，绿化带的面积最大，最大面积为$200\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
(1) 要得到y与x的函数解析式，首先利用矩形面积公式：面积=长×宽。已知BC边长为x m，三边栅栏总长40 m，且矩形对边AB=CD，可先表示出AB的长度，再代入面积公式推导解析式；自变量的取值范围要结合实际意义判断：边长为正数，且靠墙的边长度不能超过墙长25 m，据此确定x的范围。
(2) 求绿化带最大面积就是求二次函数的最大值，先判断二次函数的开口方向，再求出对称轴，结合自变量的取值范围，判断对称轴是否在取值区间内，若在区间内则函数在对称轴处取得最大值，代入计算即可。
【解析】
(1) 由题意可知，矩形三边栅栏总长为$AB+BC+CD=40\ \mathrm{m}$，且$AB=CD$，$BC=x\ \mathrm{m}$，
因此$AB=\frac{40-x}{2}\ \mathrm{m}$，
矩形面积$y=BC× AB=x·\frac{40-x}{2}$，
整理得$y=-\frac{1}{2}x^2+20x$。
结合实际意义：边长$x＞0$，且靠墙边$AD=BC=x≤25\ \mathrm{m}$，
因此自变量x的取值范围是$0＜x≤25$。
(2) 二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2+20x$中，$a=-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值。
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{20}{2×(-\frac{1}{2})}=20$，
$20$在$0＜x≤25$的取值范围内，因此当$x=20$时，y取得最大值，
代入得最大值$y=-\frac{1}{2}×20^2+20×20=200\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{2}x^2+20x$，自变量$x$的取值范围是$0＜x≤25$；
(2) 当$x=20$时，绿化带的面积最大，最大面积为$200\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数图象与性质；自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数解决实际面积问题的典型题型，解题核心是结合题意正确建立函数关系，同时要注意实际问题中自变量的取值限制，再利用二次函数的性质求解最值，属于常考的基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
(1) 要得到y与x的函数解析式，首先利用矩形面积公式：面积=长×宽。已知BC边长为x m，三边栅栏总长40 m，且矩形对边AB=CD，可先表示出AB的长度，再代入面积公式推导解析式；自变量的取值范围要结合实际意义判断：边长为正数，且靠墙的边长度不能超过墙长25 m，据此确定x的范围。
(2) 求绿化带最大面积就是求二次函数的最大值，先判断二次函数的开口方向，再求出对称轴，结合自变量的取值范围，判断对称轴是否在取值区间内，若在区间内则函数在对称轴处取得最大值，代入计算即可。
【解析】
(1) 由题意可知，矩形三边栅栏总长为$AB+BC+CD=40\ \mathrm{m}$，且$AB=CD$，$BC=x\ \mathrm{m}$，
因此$AB=\frac{40-x}{2}\ \mathrm{m}$，
矩形面积$y=BC× AB=x·\frac{40-x}{2}$，
整理得$y=-\frac{1}{2}x^2+20x$。
结合实际意义：边长$x＞0$，且靠墙边$AD=BC=x≤25\ \mathrm{m}$，
因此自变量x的取值范围是$0＜x≤25$。
(2) 二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2+20x$中，$a=-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值。
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{20}{2×(-\frac{1}{2})}=20$，
$20$在$0＜x≤25$的取值范围内，因此当$x=20$时，y取得最大值，
代入得最大值$y=-\frac{1}{2}×20^2+20×20=200\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{2}x^2+20x$，自变量$x$的取值范围是$0＜x≤25$；
(2) 当$x=20$时，绿化带的面积最大，最大面积为$200\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数图象与性质；自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数解决实际面积问题的典型题型，解题核心是结合题意正确建立函数关系，同时要注意实际问题中自变量的取值限制，再利用二次函数的性质求解最值，属于常考的基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
变式1 上题中“若设绿化带BC边长为x m”改为“若绿化带CD边长为x m”,其他不变.
【归纳总结】对不确定自变量的题目应该灵活选取自变量,减小解题的难度.
变式2 如图,用一段长为40 m的篱笆围成一边靠墙的草坪,墙长16 m.当这个矩形的长和宽分别为多少时,草坪面积最大?最大面积为多少?
【归纳总结】对不确定自变量的题目应该灵活选取自变量,减小解题的难度.
变式2 如图,用一段长为40 m的篱笆围成一边靠墙的草坪,墙长16 m.当这个矩形的长和宽分别为多少时,草坪面积最大?最大面积为多少?
答案
变式1：$y=-2x^2+40x$，自变量$x$的取值范围是$\dfrac{15}{2}≤ x＜20$，当$x=10$时，绿化带面积最大为$200\ \mathrm{m}^2$
变式2：设垂直于墙的边长为$x$ m，则平行于墙的边长为$(40-2x)$ m，面积$S=x(40-2x)=-2x^2+40x$，由$0＜40-2x≤16$得$12≤ x＜20$，函数对称轴为$x=10$，在区间$[12,20)$上$S$随$x$增大而减小，故当$x=12$时，$S$取最大值为$192$，此时平行于墙的边长为$16$ m，即长为16 m，宽为12 m时，草坪面积最大，最大面积为$192\ \mathrm{m}^2$
变式2：设垂直于墙的边长为$x$ m，则平行于墙的边长为$(40-2x)$ m，面积$S=x(40-2x)=-2x^2+40x$，由$0＜40-2x≤16$得$12≤ x＜20$，函数对称轴为$x=10$，在区间$[12,20)$上$S$随$x$增大而减小，故当$x=12$时，$S$取最大值为$192$，此时平行于墙的边长为$16$ m，即长为16 m，宽为12 m时，草坪面积最大，最大面积为$192\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
本题是利用二次函数求解矩形面积最大值的实际问题，解题思路如下：1. 合理设自变量：设垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长可通过篱笆总长表示为$(40-2x)\ \mathrm{m}$；2. 确定自变量取值范围：结合实际意义，平行于墙的边长不能为负，且不能超过墙长$16\ \mathrm{m}$，据此列不等式求解$x$的范围；3. 列面积函数：根据矩形面积公式写出面积$S$关于$x$的二次函数表达式；4. 求最值：先确定二次函数的对称轴，结合函数开口方向和自变量取值范围，判断函数在取值区间内的单调性，进而找到最值点，计算对应的边长和最大面积。
【解析】
解：设垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长为$(40-2x)\ \mathrm{m}$，草坪面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
根据实际限制，平行于墙的边长满足：$0＜40-2x≤16$，
解不等式组：
$\begin{cases}40-2x＞0 \\40-2x≤16 \end{cases}$，解得$12≤ x＜20$。
由矩形面积公式得：
$S=x(40-2x)=-2x^2+40x$，
该二次函数$a=-2＜0$，图象开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{40}{2×(-2)}=10$。
对称轴$x=10$不在取值范围$[12,20)$内，且在区间$[12,20)$上$S$随$x$的增大而减小，因此当$x=12$时，$S$取得最大值。
代入$x=12$计算：
$S_{\mathrm{最大}}=-2×12^2+40×12=192$，
此时平行于墙的边长为$40-2×12=16\ \mathrm{m}$，即矩形长为$16\ \mathrm{m}$，宽为$12\ \mathrm{m}$。
【答案】
当矩形的长为$16\ \mathrm{m}$，宽为$12\ \mathrm{m}$时，草坪面积最大，最大面积为$192\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型题型，易错点为忽略墙长的限制，直接取二次函数顶点处的最值，解题时需先结合实际场景确定自变量的取值范围，再结合函数单调性判断最值位置。
【难度系数】
0.6
本题是利用二次函数求解矩形面积最大值的实际问题，解题思路如下：1. 合理设自变量：设垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长可通过篱笆总长表示为$(40-2x)\ \mathrm{m}$；2. 确定自变量取值范围：结合实际意义，平行于墙的边长不能为负，且不能超过墙长$16\ \mathrm{m}$，据此列不等式求解$x$的范围；3. 列面积函数：根据矩形面积公式写出面积$S$关于$x$的二次函数表达式；4. 求最值：先确定二次函数的对称轴，结合函数开口方向和自变量取值范围，判断函数在取值区间内的单调性，进而找到最值点，计算对应的边长和最大面积。
【解析】
解：设垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长为$(40-2x)\ \mathrm{m}$，草坪面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
根据实际限制，平行于墙的边长满足：$0＜40-2x≤16$，
解不等式组：
$\begin{cases}40-2x＞0 \\40-2x≤16 \end{cases}$，解得$12≤ x＜20$。
由矩形面积公式得：
$S=x(40-2x)=-2x^2+40x$，
该二次函数$a=-2＜0$，图象开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{40}{2×(-2)}=10$。
对称轴$x=10$不在取值范围$[12,20)$内，且在区间$[12,20)$上$S$随$x$的增大而减小，因此当$x=12$时，$S$取得最大值。
代入$x=12$计算：
$S_{\mathrm{最大}}=-2×12^2+40×12=192$，
此时平行于墙的边长为$40-2×12=16\ \mathrm{m}$，即矩形长为$16\ \mathrm{m}$，宽为$12\ \mathrm{m}$。
【答案】
当矩形的长为$16\ \mathrm{m}$，宽为$12\ \mathrm{m}$时，草坪面积最大，最大面积为$192\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型题型，易错点为忽略墙长的限制，直接取二次函数顶点处的最值，解题时需先结合实际场景确定自变量的取值范围，再结合函数单调性判断最值位置。
【难度系数】
0.6
1.如图,在正方形ABCD中,AB=8 cm,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别从B,C两点同时出发,以1 cm/s的速度沿BC,CD运动,到点C,D时停止运动.设运动时间为t(单位:s),△OEF的面积为S(单位:cm²),则S与t的函数关系可用图象表示为(
B
)答案
1. B
解析
【分析】
解题思路：先明确动点的运动路程，结合正方形性质证明三角形全等，推导出△OEF的形状，再用勾股定理结合面积公式得到S关于t的函数表达式，最后根据函数性质判断对应图像。
步骤：1. 确定运动路程BE=CF=t，EC=8-t，t的取值范围为0≤t≤8；2. 利用正方形对角线性质得OB=OC、∠OBE=∠OCF=45°，证△OBE≌△OCF，推出△OEF是等腰直角三角形；3. 推导S的函数表达式，分析其开口方向、顶点坐标、端点值，匹配对应图像即可。
【解析】
解：
∵点E、F的运动速度均为1cm/s，运动时间为t s，
∴BE=CF=t cm，$0\le t\le8$，EC=(8-t)cm。
∵四边形ABCD是正方形，AB=8cm，
∴OB=OC，$∠ OBE=∠ OCF=45°$，$∠ BOC=90°$。
在$△ OBE$和$△ OCF$中：
$\begin{cases}OB=OC\\∠ OBE=∠ OCF\\BE=CF\end{cases}$
∴$△ OBE≌△ OCF(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ BOE=∠ COF$，$OE=OF$，
∴$∠ EOF=∠ EOC+∠ COF=∠ EOC+∠ BOE=∠ BOC=90°$，即$△ OEF$是等腰直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ECF$中，由勾股定理得：
$EF^2=EC^2+CF^2=(8-t)^2+t^2=2t^2-16t+64$，
等腰直角三角形的面积等于斜边平方的$\frac{1}{4}$，因此：
$S=\frac{1}{4}EF^2=\frac{1}{4}(2t^2-16t+64)=\frac{1}{2}t^2-4t+16$。
该函数是开口向上的二次函数，对称轴为$t=\frac{4}{2×\frac{1}{2}}=4$，
当t=0或t=8时，$S=16\ \mathrm{cm}^2$；当t=4时，$S=8\ \mathrm{cm}^2$，对应图像为开口向上的抛物线，顶点为$(4,8)$，过点$(0,16)$、$(8,16)$，符合选项B。
【答案】
B
【知识点】
动点问题的函数图象；正方形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了几何图形性质和函数图像的结合，解题的关键是通过全等推导△OEF的形状，得到面积的函数表达式，也可以通过端点和顶点的函数值快速排除错误选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.6
解题思路：先明确动点的运动路程，结合正方形性质证明三角形全等，推导出△OEF的形状，再用勾股定理结合面积公式得到S关于t的函数表达式，最后根据函数性质判断对应图像。
步骤：1. 确定运动路程BE=CF=t，EC=8-t，t的取值范围为0≤t≤8；2. 利用正方形对角线性质得OB=OC、∠OBE=∠OCF=45°，证△OBE≌△OCF，推出△OEF是等腰直角三角形；3. 推导S的函数表达式，分析其开口方向、顶点坐标、端点值，匹配对应图像即可。
【解析】
解：
∵点E、F的运动速度均为1cm/s，运动时间为t s，
∴BE=CF=t cm，$0\le t\le8$，EC=(8-t)cm。
∵四边形ABCD是正方形，AB=8cm，
∴OB=OC，$∠ OBE=∠ OCF=45°$，$∠ BOC=90°$。
在$△ OBE$和$△ OCF$中：
$\begin{cases}OB=OC\\∠ OBE=∠ OCF\\BE=CF\end{cases}$
∴$△ OBE≌△ OCF(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ BOE=∠ COF$，$OE=OF$，
∴$∠ EOF=∠ EOC+∠ COF=∠ EOC+∠ BOE=∠ BOC=90°$，即$△ OEF$是等腰直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ECF$中，由勾股定理得：
$EF^2=EC^2+CF^2=(8-t)^2+t^2=2t^2-16t+64$，
等腰直角三角形的面积等于斜边平方的$\frac{1}{4}$，因此：
$S=\frac{1}{4}EF^2=\frac{1}{4}(2t^2-16t+64)=\frac{1}{2}t^2-4t+16$。
该函数是开口向上的二次函数，对称轴为$t=\frac{4}{2×\frac{1}{2}}=4$，
当t=0或t=8时，$S=16\ \mathrm{cm}^2$；当t=4时，$S=8\ \mathrm{cm}^2$，对应图像为开口向上的抛物线，顶点为$(4,8)$，过点$(0,16)$、$(8,16)$，符合选项B。
【答案】
B
【知识点】
动点问题的函数图象；正方形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了几何图形性质和函数图像的结合，解题的关键是通过全等推导△OEF的形状，得到面积的函数表达式，也可以通过端点和顶点的函数值快速排除错误选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.6
