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自学教材第51和52页,思考下列问题.
1. 求二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$最值的方法
(1)配方法:将$y=ax^2+bx+c(a≠0)$化成$y=a(x-h)^2+k$的形式,当自变量$x=$
(2)公式法:当$x=$
2. 面积最值问题
面积最值问题应设图形的一边长为
1. 求二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$最值的方法
(1)配方法:将$y=ax^2+bx+c(a≠0)$化成$y=a(x-h)^2+k$的形式,当自变量$x=$
$-\dfrac{b}{2a}$
时,函数$y$有最大(小)值为$k$
.(2)公式法:当$x=$
$-\dfrac{b}{2a}$
时,二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$有最大(小)值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$
.2. 面积最值问题
面积最值问题应设图形的一边长为
自变量$x$
,面积为因变量,建立二次函数
的模型,利用二次函数的有关知识求得最值,要注意函数自变量的取值范围
.答案
1.(1) $-\dfrac{b}{2a}$，$k$
1.(2) $-\dfrac{b}{2a}$，$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$
2. 自变量$x$，二次函数，取值范围
1.(2) $-\dfrac{b}{2a}$，$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$
2. 自变量$x$，二次函数，取值范围
解析
【分析】
本题考查二次函数最值的求解方法及实际应用的基本思路。对于二次函数最值部分，可从配方法转化一般式为顶点式的推导过程入手，顶点式中顶点的横坐标就是取得最值时的自变量取值，纵坐标就是对应最值；公式法是配方法推导得出的结论，可直接套用顶点坐标公式得到结果。对于面积最值问题，属于二次函数实际应用类问题，按照列函数解实际问题的常规逻辑思考即可：先设自变量，再建立函数关系，同时注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义。
【解析】
1. (1) 对二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$配方：
$\begin{aligned}y&=ax^2+bx+c\\&=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\\&=a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2]+c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned}$
化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$后，可得$h=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(h,k)$，因此当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数取得最值$k$。
(2) 由配方法推导得到的顶点坐标公式可知，二次函数顶点的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，因此用公式法求最值时，当$x=-\frac{b}{2a}$，二次函数取得最值$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
2. 解决面积最值实际问题时，通常先设图形的一边长为自变量$x$，将面积表示为关于$x$的函数，建立二次函数模型，再结合二次函数最值的相关知识求解，求解过程中需注意边长不能为负、不能超过图形限制长度等现实要求，即要明确函数自变量的取值范围。
【答案】
1.(1) $-\dfrac{b}{2a}$，$k$
1.(2) $-\dfrac{b}{2a}$，$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$
2. 自变量$x$，二次函数，取值范围
【知识点】
二次函数的最值，配方法，二次函数实际应用
【点评】
本题属于二次函数基础概念题，侧重考察对二次函数最值两种求解方法的理解记忆，以及实际问题中列二次函数解析式的基本思路，是解决二次函数实际最值问题的核心基础。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数最值的求解方法及实际应用的基本思路。对于二次函数最值部分，可从配方法转化一般式为顶点式的推导过程入手，顶点式中顶点的横坐标就是取得最值时的自变量取值，纵坐标就是对应最值；公式法是配方法推导得出的结论，可直接套用顶点坐标公式得到结果。对于面积最值问题，属于二次函数实际应用类问题，按照列函数解实际问题的常规逻辑思考即可：先设自变量，再建立函数关系，同时注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义。
【解析】
1. (1) 对二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$配方：
$\begin{aligned}y&=ax^2+bx+c\\&=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\\&=a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2]+c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned}$
化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$后，可得$h=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(h,k)$，因此当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数取得最值$k$。
(2) 由配方法推导得到的顶点坐标公式可知，二次函数顶点的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，因此用公式法求最值时，当$x=-\frac{b}{2a}$，二次函数取得最值$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
2. 解决面积最值实际问题时，通常先设图形的一边长为自变量$x$，将面积表示为关于$x$的函数，建立二次函数模型，再结合二次函数最值的相关知识求解，求解过程中需注意边长不能为负、不能超过图形限制长度等现实要求，即要明确函数自变量的取值范围。
【答案】
1.(1) $-\dfrac{b}{2a}$，$k$
1.(2) $-\dfrac{b}{2a}$，$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$
2. 自变量$x$，二次函数，取值范围
【知识点】
二次函数的最值，配方法，二次函数实际应用
【点评】
本题属于二次函数基础概念题，侧重考察对二次函数最值两种求解方法的理解记忆，以及实际问题中列二次函数解析式的基本思路，是解决二次函数实际最值问题的核心基础。
【难度系数】
0.9
例1 教材第51页例1
分析:在一些涉及变量的最大值或最小值的应用问题中,可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决.
思考:结合图象,你能描述运动员的整个过程吗？
分析:在一些涉及变量的最大值或最小值的应用问题中,可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决.
思考:结合图象,你能描述运动员的整个过程吗？
答案
解：抛物线$h=-4.9t^2+2.8t+11$中，二次项系数$-4.9＜0$，抛物线开口向下，
对称轴为直线$t=-\frac{2.8}{2×(-4.9)}=\frac{2}{7}\ \mathrm{s}$。
起跳时刻$t=0$，运动员距离水面高度为11m，处于起跳位置；
起跳后运动员先向上运动，经过$\frac{2}{7}\ \mathrm{s}$约0.29s时，到达距离水面的最大高度$h_{\mathrm{max}}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-4.9)×11 - 2.8^2}{4×(-4.9)}=11.4\ \mathrm{m}$；
随后运动员开始向下运动，令$h=0$，解得方程$-4.9t^2+2.8t+11=0$的正根约为$t\approx1.8\ \mathrm{s}$，即起跳后约1.8s运动员入水。
答：运动员从距离水面11m的位置起跳，先向上运动约0.29s到达距水面11.4m的最高点，之后向下运动，起跳后约1.8s时入水，完成整个跳水运动过程。
对称轴为直线$t=-\frac{2.8}{2×(-4.9)}=\frac{2}{7}\ \mathrm{s}$。
起跳时刻$t=0$，运动员距离水面高度为11m，处于起跳位置；
起跳后运动员先向上运动，经过$\frac{2}{7}\ \mathrm{s}$约0.29s时，到达距离水面的最大高度$h_{\mathrm{max}}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-4.9)×11 - 2.8^2}{4×(-4.9)}=11.4\ \mathrm{m}$；
随后运动员开始向下运动，令$h=0$，解得方程$-4.9t^2+2.8t+11=0$的正根约为$t\approx1.8\ \mathrm{s}$，即起跳后约1.8s运动员入水。
答：运动员从距离水面11m的位置起跳，先向上运动约0.29s到达距水面11.4m的最高点，之后向下运动，起跳后约1.8s时入水，完成整个跳水运动过程。
解析
【分析】
本题是二次函数在实际跳水场景中的应用，可按以下思路分析：首先明确函数中两个变量的意义：t代表运动员起跳后的时间，h代表对应时刻运动员距离水面的高度；第一步先分析初始时刻t=0的函数值，得到运动员的起跳高度；第二步根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，明确函数存在最大值，再通过对称轴公式计算出运动员到达最高点的时间，代入顶点纵坐标公式得到最大高度，对应运动员上升的过程；第三步令h=0，解一元二次方程后舍去不符合实际意义的负根，得到入水时间，对应运动员从最高点下降到入水的过程，整合各阶段即可描述完整运动过程。
【解析】
对二次函数$h=-4.9t^2+2.8t+11$分步分析：
1. 二次项系数$a=-4.9＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值。
2. 计算对称轴：$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{2.8}{2×(-4.9)}=\frac{2}{7}\approx0.29\mathrm{s}$，即起跳后约0.29s运动员到达最高点。
3. 计算最大高度：代入顶点纵坐标公式得$h_{\mathrm{max}}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-4.9)×11 - 2.8^2}{4×(-4.9)}=11.4\mathrm{m}$。
4. 初始状态：当$t=0$时，$h=11\mathrm{m}$，即运动员起跳位置距离水面11m。
5. 入水时刻：令$h=0$，解方程$-4.9t^2+2.8t+11=0$，舍去负根后得到正根$t\approx1.8\mathrm{s}$，即起跳后约1.8s运动员入水。
【答案】
运动员从距离水面11m的位置起跳，先向上运动约0.29s到达距水面11.4m的最高点，之后向下运动，起跳后约1.8s时入水，完成整个跳水运动过程。
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的实际应用，一元二次方程的求解
【点评】
本题结合实际运动场景考查二次函数的应用，解题时需要将函数的数学性质和变量的实际意义对应，能有效锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在实际跳水场景中的应用，可按以下思路分析：首先明确函数中两个变量的意义：t代表运动员起跳后的时间，h代表对应时刻运动员距离水面的高度；第一步先分析初始时刻t=0的函数值，得到运动员的起跳高度；第二步根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，明确函数存在最大值，再通过对称轴公式计算出运动员到达最高点的时间，代入顶点纵坐标公式得到最大高度，对应运动员上升的过程；第三步令h=0，解一元二次方程后舍去不符合实际意义的负根，得到入水时间，对应运动员从最高点下降到入水的过程，整合各阶段即可描述完整运动过程。
【解析】
对二次函数$h=-4.9t^2+2.8t+11$分步分析：
1. 二次项系数$a=-4.9＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值。
2. 计算对称轴：$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{2.8}{2×(-4.9)}=\frac{2}{7}\approx0.29\mathrm{s}$，即起跳后约0.29s运动员到达最高点。
3. 计算最大高度：代入顶点纵坐标公式得$h_{\mathrm{max}}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-4.9)×11 - 2.8^2}{4×(-4.9)}=11.4\mathrm{m}$。
4. 初始状态：当$t=0$时，$h=11\mathrm{m}$，即运动员起跳位置距离水面11m。
5. 入水时刻：令$h=0$，解方程$-4.9t^2+2.8t+11=0$，舍去负根后得到正根$t\approx1.8\mathrm{s}$，即起跳后约1.8s运动员入水。
【答案】
运动员从距离水面11m的位置起跳，先向上运动约0.29s到达距水面11.4m的最高点，之后向下运动，起跳后约1.8s时入水，完成整个跳水运动过程。
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的实际应用，一元二次方程的求解
【点评】
本题结合实际运动场景考查二次函数的应用，解题时需要将函数的数学性质和变量的实际意义对应，能有效锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
例2 利用一面墙(墙的长度不限),用20 m长篱笆围成一个矩形菜园,如何围才能使菜园的面积最大?最大面积是多少?
分析:设垂直于墙的边长为x m,则平行于墙的边长为
即$S=-2x^2+20x(0＜x＜10)$.
当x=
因此,当垂直于墙的边长为5 m时,这个矩形菜园的面积最大,最大面积为50 m².
变式 墙的长度为8 m,如何围才能使菜园面积最大?最大面积是多少?
分析:设垂直于墙的边长为x m,则平行于墙的边长为
$20-2x$
m,矩形菜园面积S=$x(20-2x)$
,即$S=-2x^2+20x(0＜x＜10)$.
当x=
$5$
时,S有最大值=$50$
.因此,当垂直于墙的边长为5 m时,这个矩形菜园的面积最大,最大面积为50 m².
变式 墙的长度为8 m,如何围才能使菜园面积最大?最大面积是多少?
答案
平行于墙的边长为$(20-2x)$ m，矩形菜园面积$S=x(20-2x)$，当$x=5$时，$S$有最大值为$50$；
变式：由$0＜20-2x≤8$得$6≤ x＜10$，函数$S=-2x^2+20x$开口向下，对称轴为$x=5$，在区间$[6,10)$上$S$随$x$增大而减小，故当$x=6$时，$S$取最大值为48，此时平行于墙的边长为$20-2×6=8$ m，即当垂直于墙的边长为6 m，平行于墙的边长为8 m时，菜园面积最大，最大面积为$48\ \mathrm{m}^2$。
变式：由$0＜20-2x≤8$得$6≤ x＜10$，函数$S=-2x^2+20x$开口向下，对称轴为$x=5$，在区间$[6,10)$上$S$随$x$增大而减小，故当$x=6$时，$S$取最大值为48，此时平行于墙的边长为$20-2×6=8$ m，即当垂直于墙的边长为6 m，平行于墙的边长为8 m时，菜园面积最大，最大面积为$48\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
解决这类篱笆围矩形求最大面积的问题，核心是先建立面积关于边长的二次函数，再结合函数性质和实际限制求最值。原问题墙长不限时，设垂直于墙的边长为x m，总篱笆长20m，减去2条垂直边的长度就是平行于墙的边长，再用矩形面积公式得到二次函数，因函数开口向下，对称轴处取最大值。变式中墙长仅8m，平行于墙的边长不能超过墙长，需先求出自变量x的合法取值范围，再结合二次函数增减性在范围内找最大值，不能直接取顶点值，避免不符合实际限制。
【解析】
原例题填空：
设垂直于墙的边长为x m，2条垂直边总长度为2x m，因此平行于墙的边长为$\boldsymbol{(20-2x)}$ m；
矩形面积=垂直边长×平行边长，因此$S=\boldsymbol{x(20-2x)}$，整理得$S=-2x^2+20x(0＜x＜10)$；
该二次函数$a=-2＜0$，开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{20}{2×(-2)}=5$，因此当$x=\boldsymbol{5}$时，S有最大值，代入得$S_{max}=-2×5^2+20×5=50$，即最大值为$\boldsymbol{50}$。
变式解答：
1. 求自变量取值范围：墙长为8m，因此平行于墙的边长满足$0＜20-2x≤8$，解得$6≤ x＜10$。
2. 分析函数增减性：二次函数$S=-2x^2+20x$开口向下，对称轴为$x=5$，在$x＞5$时S随x增大而减小，因此在区间$[6,10)$内，x取最小值6时S最大。
3. 计算最值：代入x=6，平行于墙的边长为$20-2×6=8$m，最大面积$S_{max}=6×8=48\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
原例题填空：$20-2x$；$x(20-2x)$；$5$；$50$；
变式：当垂直于墙的边长为6 m，平行于墙的边长为8 m时，菜园面积最大，最大面积为$48\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数最值；二次函数增减性；自变量取值范围
【点评】
本题是二次函数在实际面积问题中的典型应用，解题关键是先结合实际限制确定自变量的取值范围，再结合函数性质求最值，避免忽略实际条件直接套用顶点坐标导致错误。
【难度系数】
0.6
解决这类篱笆围矩形求最大面积的问题，核心是先建立面积关于边长的二次函数，再结合函数性质和实际限制求最值。原问题墙长不限时，设垂直于墙的边长为x m，总篱笆长20m，减去2条垂直边的长度就是平行于墙的边长，再用矩形面积公式得到二次函数，因函数开口向下，对称轴处取最大值。变式中墙长仅8m，平行于墙的边长不能超过墙长，需先求出自变量x的合法取值范围，再结合二次函数增减性在范围内找最大值，不能直接取顶点值，避免不符合实际限制。
【解析】
原例题填空：
设垂直于墙的边长为x m，2条垂直边总长度为2x m，因此平行于墙的边长为$\boldsymbol{(20-2x)}$ m；
矩形面积=垂直边长×平行边长，因此$S=\boldsymbol{x(20-2x)}$，整理得$S=-2x^2+20x(0＜x＜10)$；
该二次函数$a=-2＜0$，开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{20}{2×(-2)}=5$，因此当$x=\boldsymbol{5}$时，S有最大值，代入得$S_{max}=-2×5^2+20×5=50$，即最大值为$\boldsymbol{50}$。
变式解答：
1. 求自变量取值范围：墙长为8m，因此平行于墙的边长满足$0＜20-2x≤8$，解得$6≤ x＜10$。
2. 分析函数增减性：二次函数$S=-2x^2+20x$开口向下，对称轴为$x=5$，在$x＞5$时S随x增大而减小，因此在区间$[6,10)$内，x取最小值6时S最大。
3. 计算最值：代入x=6，平行于墙的边长为$20-2×6=8$m，最大面积$S_{max}=6×8=48\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
原例题填空：$20-2x$；$x(20-2x)$；$5$；$50$；
变式：当垂直于墙的边长为6 m，平行于墙的边长为8 m时，菜园面积最大，最大面积为$48\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数最值；二次函数增减性；自变量取值范围
【点评】
本题是二次函数在实际面积问题中的典型应用，解题关键是先结合实际限制确定自变量的取值范围，再结合函数性质求最值，避免忽略实际条件直接套用顶点坐标导致错误。
【难度系数】
0.6
