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3.若$(a^2 - b^2)(a^2 - b^2 - 2)=8$，则$a^2 - b^2$的值为(
A.4
B.4或-2
C.-2
D.-4
B
)A.4
B.4或-2
C.-2
D.-4
答案
3. B
解析
【分析】
观察方程可发现两个括号中都含有相同的整体$a^2 - b^2$，因此可以使用换元法简化计算：将$a^2 - b^2$设为新的未知数，把原方程转化为常见的一元二次方程求解即可。由于题目没有对$a^2 - b^2$的取值做限制，因此解出的一元二次方程的根都需要保留。
【解析】
设$x = a^2 - b^2$，则原方程可变形为：
$x(x - 2) = 8$
展开并整理得：
$x^2 - 2x - 8 = 0$
对左侧因式分解得：
$(x - 4)(x + 2) = 0$
解得$x_1 = 4$，$x_2 = -2$
即$a^2 - b^2$的值为4或-2。
【答案】
B
【知识点】
换元法，一元二次方程求解
【点评】
本题解题的核心是识别出可整体替换的代数式，通过换元将复杂方程转化为已学的一元二次方程求解，做题时要注意判断所求代数式的取值是否有限制，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
观察方程可发现两个括号中都含有相同的整体$a^2 - b^2$，因此可以使用换元法简化计算：将$a^2 - b^2$设为新的未知数，把原方程转化为常见的一元二次方程求解即可。由于题目没有对$a^2 - b^2$的取值做限制，因此解出的一元二次方程的根都需要保留。
【解析】
设$x = a^2 - b^2$，则原方程可变形为：
$x(x - 2) = 8$
展开并整理得：
$x^2 - 2x - 8 = 0$
对左侧因式分解得：
$(x - 4)(x + 2) = 0$
解得$x_1 = 4$，$x_2 = -2$
即$a^2 - b^2$的值为4或-2。
【答案】
B
【知识点】
换元法，一元二次方程求解
【点评】
本题解题的核心是识别出可整体替换的代数式，通过换元将复杂方程转化为已学的一元二次方程求解，做题时要注意判断所求代数式的取值是否有限制，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
4. 若一个一元二次方程的两个根分别是直角$△ ABC$的两条直角边长，且$S_{△ ABC}=3$，请
写出一个符合题意的一元二次方程：
写出一个符合题意的一元二次方程：
$x^2 - 5x + 6 = 0$(答案不唯一)
.答案
4. $x^2 - 5x + 6 = 0$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：一元二次方程的两个正根是直角三角形的两条直角边，且直角三角形面积为3。第一步先利用直角三角形面积公式，计算出两根的乘积：因为直角三角形面积=1/2×直角边1×直角边2，代入面积值可得两根之积为6。第二步结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），构造方程：对于二次项系数为1的一元二次方程，常数项等于两根之积，一次项系数等于两根之和的相反数，我们只需选取任意两个乘积为6的正实数作为方程的根，计算出两根之和，就能写出符合要求的方程，答案不唯一。
【解析】
设该一元二次方程的两个正根为$x_1$、$x_2$，二者为Rt△ABC的两条直角边长。
根据三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}x_1x_2$，已知$S_{△ ABC}=3$，代入得：
$\frac{1}{2}x_1x_2=3$，解得$x_1x_2=6$。
选取满足乘积为6的两个正整数，例如$x_1=2$，$x_2=3$，此时两根之和$x_1+x_2=2+3=5$。
根据韦达定理，二次项系数为1的一元二次方程可写为$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$，将$x_1+x_2=5$、$x_1x_2=6$代入，可得方程：$x^2-5x+6=0$。
（也可选取其他符合条件的根，如$x_1=1$、$x_2=6$，对应方程为$x^2-7x+6=0$，均符合题意）
【答案】
$x^2 - 5x + 6 = 0$（答案不唯一）
【知识点】
1. 直角三角形面积公式
2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于开放性基础题，结合了几何计算和代数方程构造的知识点，解题核心是先通过面积求出两根的乘积，再结合韦达定理构造方程，注意方程的两根必须为正数（符合边长的实际意义）即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理已知条件：一元二次方程的两个正根是直角三角形的两条直角边，且直角三角形面积为3。第一步先利用直角三角形面积公式，计算出两根的乘积：因为直角三角形面积=1/2×直角边1×直角边2，代入面积值可得两根之积为6。第二步结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），构造方程：对于二次项系数为1的一元二次方程，常数项等于两根之积，一次项系数等于两根之和的相反数，我们只需选取任意两个乘积为6的正实数作为方程的根，计算出两根之和，就能写出符合要求的方程，答案不唯一。
【解析】
设该一元二次方程的两个正根为$x_1$、$x_2$，二者为Rt△ABC的两条直角边长。
根据三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}x_1x_2$，已知$S_{△ ABC}=3$，代入得：
$\frac{1}{2}x_1x_2=3$，解得$x_1x_2=6$。
选取满足乘积为6的两个正整数，例如$x_1=2$，$x_2=3$，此时两根之和$x_1+x_2=2+3=5$。
根据韦达定理，二次项系数为1的一元二次方程可写为$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$，将$x_1+x_2=5$、$x_1x_2=6$代入，可得方程：$x^2-5x+6=0$。
（也可选取其他符合条件的根，如$x_1=1$、$x_2=6$，对应方程为$x^2-7x+6=0$，均符合题意）
【答案】
$x^2 - 5x + 6 = 0$（答案不唯一）
【知识点】
1. 直角三角形面积公式
2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于开放性基础题，结合了几何计算和代数方程构造的知识点，解题核心是先通过面积求出两根的乘积，再结合韦达定理构造方程，注意方程的两根必须为正数（符合边长的实际意义）即可。
【难度系数】
0.8
5. 如果$x_1,x_2$是两个不相等的实数，且满足$x_1^2 -2x_1=1$，$x_2^2 -2x_2=1$，那么$x_1^2 +x_2^2$等于（
A.2
B.$-2$
C.$-1$
D.6
D
）A.2
B.$-2$
C.$-1$
D.6
答案
5. D
解析
【分析】
首先观察题干中两个等式的特征，发现$x_1$、$x_2$满足相同形式的二次方程，且两数不相等，因此可判断$x_1$、$x_2$是一元二次方程$x^2-2x-1=0$的两个不等实根。要求$x_1^2+x_2^2$，可利用完全平方公式将其变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，再通过一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because x_1$、$x_2$是两个不相等的实数，且满足$x_1^2-2x_1=1$，$x_2^2-2x_2=1$，
$\therefore x_1$、$x_2$是一元二次方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的两个不相等的实数根。
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = -1$。
对$x_1^2 + x_2^2$变形得：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
代入数值计算：
原式$=2^2 - 2×(-1) = 4 + 2 = 6$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是代数综合基础题，解题的核心是通过两个数满足的等式特征，识别出二者为对应一元二次方程的两个根，再结合代数式变形和根与系数的关系求解，是一元二次方程章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
首先观察题干中两个等式的特征，发现$x_1$、$x_2$满足相同形式的二次方程，且两数不相等，因此可判断$x_1$、$x_2$是一元二次方程$x^2-2x-1=0$的两个不等实根。要求$x_1^2+x_2^2$，可利用完全平方公式将其变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，再通过一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because x_1$、$x_2$是两个不相等的实数，且满足$x_1^2-2x_1=1$，$x_2^2-2x_2=1$，
$\therefore x_1$、$x_2$是一元二次方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的两个不相等的实数根。
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = -1$。
对$x_1^2 + x_2^2$变形得：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
代入数值计算：
原式$=2^2 - 2×(-1) = 4 + 2 = 6$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是代数综合基础题，解题的核心是通过两个数满足的等式特征，识别出二者为对应一元二次方程的两个根，再结合代数式变形和根与系数的关系求解，是一元二次方程章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
1. 几何图形存在性问题
是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？
【归纳总结】将几何存在性条件（如直角、边长相等）转化为代数方程，通过判断方程是否有符合题意的实数解，确定图形是否存在，体现“数形结合”思想。
是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？
【归纳总结】将几何存在性条件（如直角、边长相等）转化为代数方程，通过判断方程是否有符合题意的实数解，确定图形是否存在，体现“数形结合”思想。
答案
解：设三边长分别为n、n+1、n+2，其中n为正整数，由直角三角形勾股定理可知最长边n+2为斜边，因此列方程：$n^2+(n+1)^2=(n+2)^2$，整理得$n^2-2n-3=0$，因式分解为$(n-3)(n+1)=0$，解得$n_1=3$，$n_2=-1$，$n=-1$不符合正整数要求舍去，因此三边长为3、4、5，存在这样的直角三角形，且仅有1个。
解析
【分析】
遇到这类几何存在性问题，首先要将几何条件转化为代数关系求解。本题要求三边长为连续正整数的直角三角形，第一步可以设三个连续正整数中最小的边长为n（n为正整数），则另外两边长为n+1、n+2；第二步根据直角三角形斜边最长的性质，确定最长边n+2为斜边；第三步利用勾股定理列关于n的一元二次方程，解方程后检验解是否符合正整数的要求，统计符合条件的解的个数即可得到最终结论。
【解析】
解：设直角三角形三边长分别为$n$、$n+1$、$n+2$（$n$为正整数）。
∵直角三角形中斜边为最长边，
∴长度为$n+2$的边为斜边。
根据勾股定理列方程：
$n^2+(n+1)^2=(n+2)^2$
展开并整理方程：
$n^2 + n^2 + 2n +1 = n^2 +4n +4$
$n^2-2n-3=0$
因式分解得：
$(n-3)(n+1)=0$
解得$n_1=3$，$n_2=-1$。
∵$n$为正整数，
∴$n=-1$不符合题意，舍去。
当$n=3$时，三角形三边长为3、4、5，符合直角三角形要求。
【答案】
存在这样的直角三角形，且仅有1个，三边长为3、4、5。
【知识点】
勾股定理；一元二次方程求解；数形结合思想
【点评】
本题是几何存在性问题的基础题型，核心考查将几何条件转化为代数方程的思维，求解后需要结合实际题意对根进行取舍，能帮助学生理解数形结合思想的应用逻辑。
【难度系数】
0.7
遇到这类几何存在性问题，首先要将几何条件转化为代数关系求解。本题要求三边长为连续正整数的直角三角形，第一步可以设三个连续正整数中最小的边长为n（n为正整数），则另外两边长为n+1、n+2；第二步根据直角三角形斜边最长的性质，确定最长边n+2为斜边；第三步利用勾股定理列关于n的一元二次方程，解方程后检验解是否符合正整数的要求，统计符合条件的解的个数即可得到最终结论。
【解析】
解：设直角三角形三边长分别为$n$、$n+1$、$n+2$（$n$为正整数）。
∵直角三角形中斜边为最长边，
∴长度为$n+2$的边为斜边。
根据勾股定理列方程：
$n^2+(n+1)^2=(n+2)^2$
展开并整理方程：
$n^2 + n^2 + 2n +1 = n^2 +4n +4$
$n^2-2n-3=0$
因式分解得：
$(n-3)(n+1)=0$
解得$n_1=3$，$n_2=-1$。
∵$n$为正整数，
∴$n=-1$不符合题意，舍去。
当$n=3$时，三角形三边长为3、4、5，符合直角三角形要求。
【答案】
存在这样的直角三角形，且仅有1个，三边长为3、4、5。
【知识点】
勾股定理；一元二次方程求解；数形结合思想
【点评】
本题是几何存在性问题的基础题型，核心考查将几何条件转化为代数方程的思维，求解后需要结合实际题意对根进行取舍，能帮助学生理解数形结合思想的应用逻辑。
【难度系数】
0.7
2. 矩形围合的面积问题
用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m²的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？（用不同设未知数的方法解决问题）
【归纳总结】以“周长”为突破口，用周长表示矩形邻边关系，结合“面积公式”建立一元二次方程，通过解方程、检验解的合理性，判断问题是否有解。
用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m²的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？（用不同设未知数的方法解决问题）
【归纳总结】以“周长”为突破口，用周长表示矩形邻边关系，结合“面积公式”建立一元二次方程，通过解方程、检验解的合理性，判断问题是否有解。
答案
解：方法1（直接设元）：设矩形的一边长为x m，由周长40m可知邻边长为$(20-x)$m，列方程得$x(20-x)=96$，整理得$x^2-20x+96=0$，解得$x_1=8$，$x_2=12$，对应邻边长分别为12m、8m，两个解对应同一个长12m宽8m的矩形。方法2（间接设元）：设矩形两邻边的长度差为x m，由周长40m得两邻边和为20m，因此两邻边长为$(10+\frac{x}{2})$m、$(10-\frac{x}{2})$m，列方程得$(10+\frac{x}{2})(10-\frac{x}{2})=96$，整理得$100 - \frac{x^2}{4}=96$，解得$x^2=16$，$x=\pm4$，取正x=4，得两邻边长为12m、8m。综上，能围成面积为96m²的矩形，这样的矩形唯一。
解析
【分析】
要解决该问题，我们可利用矩形周长和邻边长度的关联，结合面积公式建立一元二次方程，通过方程根的情况判断能否围成对应面积的矩形，再根据根的实际意义判断矩形是否唯一。解题可采用两种设元思路：①直接设元：设其中一边长为未知数，用周长表示出邻边长度，结合面积列方程；②间接设元：设两邻边的长度差为未知数，用周长算出两边平均长度，进而表示出两边长度，结合面积列方程。最后求解方程，验证根是否符合边长为正的要求，再判断矩形是否唯一。
【解析】
方法1（直接设元）：设矩形的一边长为$x\ \mathrm{m}$，由周长为40m可知矩形一组邻边的和为$40÷2=20\ \mathrm{m}$，因此邻边长为$(20-x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式列方程：
$x(20-x)=96$
整理得：
$x^2-20x+96=0$
因式分解得$(x-8)(x-12)=0$，解得$x_1=8$，$x_2=12$。
当$x=8$时，邻边长为$20-8=12\ \mathrm{m}$；当$x=12$时，邻边长为$20-12=8\ \mathrm{m}$，两个解对应同一个长12m、宽8m的矩形。
方法2（间接设元）：设矩形两邻边的长度差为$x\ \mathrm{m}$，由周长为40m得两邻边和为20m，因此两边的平均长度为10m，可得两邻边长分别为$(10+\frac{x}{2})\ \mathrm{m}$、$(10-\frac{x}{2})\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式列方程：
$(10+\frac{x}{2})(10-\frac{x}{2})=96$
利用平方差公式整理得：
$100 - \frac{x^2}{4}=96$
移项计算得$x^2=16$，解得$x=\pm4$，结合边长的实际意义取正值$x=4$，此时两邻边长分别为$10+\frac{4}{2}=12\ \mathrm{m}$、$10-\frac{4}{2}=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
能围成面积为$96\ \mathrm{m}^2$的矩形，这样的矩形唯一。
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形的周长与面积计算；一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程解决几何实际问题的典型基础题，考查了设未知数列方程的能力，求解后需要注意检验根是否符合实际意义，同时要明确矩形长宽互换属于同一图形，避免误判矩形不唯一。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，我们可利用矩形周长和邻边长度的关联，结合面积公式建立一元二次方程，通过方程根的情况判断能否围成对应面积的矩形，再根据根的实际意义判断矩形是否唯一。解题可采用两种设元思路：①直接设元：设其中一边长为未知数，用周长表示出邻边长度，结合面积列方程；②间接设元：设两邻边的长度差为未知数，用周长算出两边平均长度，进而表示出两边长度，结合面积列方程。最后求解方程，验证根是否符合边长为正的要求，再判断矩形是否唯一。
【解析】
方法1（直接设元）：设矩形的一边长为$x\ \mathrm{m}$，由周长为40m可知矩形一组邻边的和为$40÷2=20\ \mathrm{m}$，因此邻边长为$(20-x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式列方程：
$x(20-x)=96$
整理得：
$x^2-20x+96=0$
因式分解得$(x-8)(x-12)=0$，解得$x_1=8$，$x_2=12$。
当$x=8$时，邻边长为$20-8=12\ \mathrm{m}$；当$x=12$时，邻边长为$20-12=8\ \mathrm{m}$，两个解对应同一个长12m、宽8m的矩形。
方法2（间接设元）：设矩形两邻边的长度差为$x\ \mathrm{m}$，由周长为40m得两邻边和为20m，因此两边的平均长度为10m，可得两邻边长分别为$(10+\frac{x}{2})\ \mathrm{m}$、$(10-\frac{x}{2})\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式列方程：
$(10+\frac{x}{2})(10-\frac{x}{2})=96$
利用平方差公式整理得：
$100 - \frac{x^2}{4}=96$
移项计算得$x^2=16$，解得$x=\pm4$，结合边长的实际意义取正值$x=4$，此时两邻边长分别为$10+\frac{4}{2}=12\ \mathrm{m}$、$10-\frac{4}{2}=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
能围成面积为$96\ \mathrm{m}^2$的矩形，这样的矩形唯一。
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形的周长与面积计算；一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程解决几何实际问题的典型基础题，考查了设未知数列方程的能力，求解后需要注意检验根是否符合实际意义，同时要明确矩形长宽互换属于同一图形，避免误判矩形不唯一。
【难度系数】
0.7
