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例2 用配方法解下列方程：
(1)$x^2 + 10x + 9 = 0$；
(2)$3x^2 - 4x + 2 = 0$。
(1)$x^2 + 10x + 9 = 0$；
(2)$3x^2 - 4x + 2 = 0$。
答案
1. 解：移项，得$x^2+10x=-9$，配方，得$x^2+10x+25=-9+25$，即$(x+5)^2=16$，开平方得$x+5=\pm4$，解得$x_1=-1$，$x_2=-9$。
2. 解：方程两边同时除以3，得$x^2-\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}=0$，移项得$x^2-\frac{4}{3}x=-\frac{2}{3}$，配方得$x^2-\frac{4}{3}x+(\frac{2}{3})^2=-\frac{2}{3}+(\frac{2}{3})^2$，即$(x-\frac{2}{3})^2=-\frac{2}{9}$，因为任何实数的平方都不可能是负数，所以原方程无实数根。
2. 解：方程两边同时除以3，得$x^2-\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}=0$，移项得$x^2-\frac{4}{3}x=-\frac{2}{3}$，配方得$x^2-\frac{4}{3}x+(\frac{2}{3})^2=-\frac{2}{3}+(\frac{2}{3})^2$，即$(x-\frac{2}{3})^2=-\frac{2}{9}$，因为任何实数的平方都不可能是负数，所以原方程无实数根。
解析
【分析】
解题时首先回忆配方法解一元二次方程的通用步骤：①若二次项系数不为1，先将方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1；②移项，将含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；③配方，等号两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开方求解，若等号右侧为非负数，直接开方求根，若右侧为负数，根据实数平方的非负性可判断方程无实数根。第(1)题二次项系数已经是1，直接按移项、配方、开方的步骤求解即可；第(2)题二次项系数为3，需先把二次项系数化为1，再按后续步骤操作，最后根据配方后右侧的符号判断根的情况。
【解析】
(1) 移项，得$x^2+10x=-9$，
配方，得$x^2+10x+25=-9+25$，即$(x+5)^2=16$，
开平方得$x+5=\pm4$，
解得$x_1=-1$，$x_2=-9$。
(2) 方程两边同时除以3，得$x^2-\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}=0$，
移项得$x^2-\frac{4}{3}x=-\frac{2}{3}$，
配方得$x^2-\frac{4}{3}x+(\frac{2}{3})^2=-\frac{2}{3}+(\frac{2}{3})^2$，即$(x-\frac{2}{3})^2=-\frac{2}{9}$，
因为任何实数的平方都不可能是负数，所以原方程无实数根。
【答案】
(1) $x_1=-1$，$x_2=-9$；(2) 原方程无实数根
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、实数平方的非负性
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，掌握配方法的标准步骤是解题关键，解题时需注意配方时等号两边要同时加上相同的数，最后根据配方后右侧的符号判断根的情况，属于一元二次方程解法的基础训练题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆配方法解一元二次方程的通用步骤：①若二次项系数不为1，先将方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1；②移项，将含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；③配方，等号两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开方求解，若等号右侧为非负数，直接开方求根，若右侧为负数，根据实数平方的非负性可判断方程无实数根。第(1)题二次项系数已经是1，直接按移项、配方、开方的步骤求解即可；第(2)题二次项系数为3，需先把二次项系数化为1，再按后续步骤操作，最后根据配方后右侧的符号判断根的情况。
【解析】
(1) 移项，得$x^2+10x=-9$，
配方，得$x^2+10x+25=-9+25$，即$(x+5)^2=16$，
开平方得$x+5=\pm4$，
解得$x_1=-1$，$x_2=-9$。
(2) 方程两边同时除以3，得$x^2-\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}=0$，
移项得$x^2-\frac{4}{3}x=-\frac{2}{3}$，
配方得$x^2-\frac{4}{3}x+(\frac{2}{3})^2=-\frac{2}{3}+(\frac{2}{3})^2$，即$(x-\frac{2}{3})^2=-\frac{2}{9}$，
因为任何实数的平方都不可能是负数，所以原方程无实数根。
【答案】
(1) $x_1=-1$，$x_2=-9$；(2) 原方程无实数根
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、实数平方的非负性
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，掌握配方法的标准步骤是解题关键，解题时需注意配方时等号两边要同时加上相同的数，最后根据配方后右侧的符号判断根的情况，属于一元二次方程解法的基础训练题。
【难度系数】
0.8
例3 用公式法解下列方程：
(1)$2x^2 -8x +5=0$；
(2)$2x(x+2)=(x+1)^2$。
(1)$2x^2 -8x +5=0$；
(2)$2x(x+2)=(x+1)^2$。
答案
1. 解：这里$a=2$，$b=-8$，$c=5$，判别式$\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4×2×5=64-40=24＞0$，所以$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{8\pm\sqrt{24}}{4}=\frac{8\pm2\sqrt{6}}{4}=\frac{4\pm\sqrt{6}}{2}$，解得$x_1=\frac{4+\sqrt{6}}{2}$，$x_2=\frac{4-\sqrt{6}}{2}$。
2. 解：先将原方程整理为一般形式：$2x^2+4x=x^2+2x+1$，移项合并同类项得$x^2+2x-1=0$，这里$a=1$，$b=2$，$c=-1$，判别式$\Delta=2^2-4×1×(-1)=4+4=8＞0$，所以$x=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$，解得$x_1=-1+\sqrt{2}$，$x_2=-1-\sqrt{2}$。
2. 解：先将原方程整理为一般形式：$2x^2+4x=x^2+2x+1$，移项合并同类项得$x^2+2x-1=0$，这里$a=1$，$b=2$，$c=-1$，判别式$\Delta=2^2-4×1×(-1)=4+4=8＞0$，所以$x=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$，解得$x_1=-1+\sqrt{2}$，$x_2=-1-\sqrt{2}$。
解析
【分析】
使用公式法解一元二次方程的核心思路是先将方程转化为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的标准形式：首先确认二次项系数不为0，接着确定常数$a、b、c$的取值，再计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断方程是否有实数根，若$\Delta≥0$，直接代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算并化简得到方程的根；若$\Delta＜0$则方程无实数根。第(1)题已经是一般形式，可直接确定$a、b、c$的值计算；第(2)题需要先去括号、移项合并同类项整理为一般形式后，再按步骤计算。
【解析】
(1) 方程$2x^2 -8x +5=0$为一元二次方程的一般形式，其中$a=2$，$b=-8$，$c=5$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4×2×5=64-40=24＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{8\pm\sqrt{24}}{4}=\frac{8\pm2\sqrt{6}}{4}=\frac{4\pm\sqrt{6}}{2}$。
(2) 先将原方程整理为一般形式：
去括号得：$2x^2+4x=x^2+2x+1$，
移项合并同类项得：$x^2+2x-1=0$，
其中$a=1$，$b=2$，$c=-1$，
计算判别式：$\Delta=2^2-4×1×(-1)=4+4=8＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{4+\sqrt{6}}{2}$，$x_2=\frac{4-\sqrt{6}}{2}$；
(2) $x_1=-1+\sqrt{2}$，$x_2=-1-\sqrt{2}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程一般形式、根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查公式法的标准解题流程，需要注意在整理一般形式时不要出现符号错误，计算判别式和求根时要做好根式化简，养成先判断判别式符号再求根的习惯，避免无效计算。
【难度系数】
0.8
使用公式法解一元二次方程的核心思路是先将方程转化为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的标准形式：首先确认二次项系数不为0，接着确定常数$a、b、c$的取值，再计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断方程是否有实数根，若$\Delta≥0$，直接代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算并化简得到方程的根；若$\Delta＜0$则方程无实数根。第(1)题已经是一般形式，可直接确定$a、b、c$的值计算；第(2)题需要先去括号、移项合并同类项整理为一般形式后，再按步骤计算。
【解析】
(1) 方程$2x^2 -8x +5=0$为一元二次方程的一般形式，其中$a=2$，$b=-8$，$c=5$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4×2×5=64-40=24＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{8\pm\sqrt{24}}{4}=\frac{8\pm2\sqrt{6}}{4}=\frac{4\pm\sqrt{6}}{2}$。
(2) 先将原方程整理为一般形式：
去括号得：$2x^2+4x=x^2+2x+1$，
移项合并同类项得：$x^2+2x-1=0$，
其中$a=1$，$b=2$，$c=-1$，
计算判别式：$\Delta=2^2-4×1×(-1)=4+4=8＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{4+\sqrt{6}}{2}$，$x_2=\frac{4-\sqrt{6}}{2}$；
(2) $x_1=-1+\sqrt{2}$，$x_2=-1-\sqrt{2}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程一般形式、根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查公式法的标准解题流程，需要注意在整理一般形式时不要出现符号错误，计算判别式和求根时要做好根式化简，养成先判断判别式符号再求根的习惯，避免无效计算。
【难度系数】
0.8
例4 用因式分解法解下列方程：
(1) $3x^2 -6x = -3$;
(2) $(x-1)^2 = 1 -x$.
(1) $3x^2 -6x = -3$;
(2) $(x-1)^2 = 1 -x$.
答案
1. 解：移项得$3x^2-6x+3=0$，方程两边同时除以3，得$x^2-2x+1=0$，因式分解得$(x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=1$。
2. 解：移项得$(x-1)^2+(x-1)=0$，提取公因式得$(x-1)(x-1+1)=0$，即$x(x-1)=0$，所以$x=0$或$x-1=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$。
2. 解：移项得$(x-1)^2+(x-1)=0$，提取公因式得$(x-1)(x-1+1)=0$，即$x(x-1)=0$，所以$x=0$或$x-1=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$。
解析
【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为“两个整式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为一元一次方程求解。
(1) 解第一题时，先将等号右边的常数项移到左边，整理后式子符合完全平方公式的结构，直接因式分解即可求解；
(2) 解第二题时，注意不能直接在方程两边同时除以(x-1)，否则会漏掉x=1的根，正确做法是将右边的(1-x)移到左边变形为+(x-1)，再提取公因式(x-1)进行因式分解后求解。
【解析】
(1) 解：移项，得 $3x^2 -6x +3 = 0$，
方程两边同时除以3，得 $x^2 -2x +1 = 0$，
因式分解，得 $(x-1)^2 = 0$，
解得 $x_1=x_2=1$。
(2) 解：移项，得 $(x-1)^2 + (x-1) = 0$，
提取公因式$(x-1)$，得 $(x-1)(x-1+1) = 0$，
化简得 $x(x-1) = 0$，
所以 $x=0$ 或 $x-1=0$，
解得 $x_1=0$，$x_2=1$。
【答案】
(1) $x_1=x_2=1$；
(2) $x_1=0$，$x_2=1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、完全平方公式因式分解、提公因式法因式分解
【点评】
这两道题是因式分解法解一元二次方程的典型基础题，重点考查对因式分解方法的掌握和解方程的细节注意事项，解题时切忌随意除以含未知数的整式，避免出现漏根的问题。
【难度系数】
0.8
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为“两个整式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为一元一次方程求解。
(1) 解第一题时，先将等号右边的常数项移到左边，整理后式子符合完全平方公式的结构，直接因式分解即可求解；
(2) 解第二题时，注意不能直接在方程两边同时除以(x-1)，否则会漏掉x=1的根，正确做法是将右边的(1-x)移到左边变形为+(x-1)，再提取公因式(x-1)进行因式分解后求解。
【解析】
(1) 解：移项，得 $3x^2 -6x +3 = 0$，
方程两边同时除以3，得 $x^2 -2x +1 = 0$，
因式分解，得 $(x-1)^2 = 0$，
解得 $x_1=x_2=1$。
(2) 解：移项，得 $(x-1)^2 + (x-1) = 0$，
提取公因式$(x-1)$，得 $(x-1)(x-1+1) = 0$，
化简得 $x(x-1) = 0$，
所以 $x=0$ 或 $x-1=0$，
解得 $x_1=0$，$x_2=1$。
【答案】
(1) $x_1=x_2=1$；
(2) $x_1=0$，$x_2=1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、完全平方公式因式分解、提公因式法因式分解
【点评】
这两道题是因式分解法解一元二次方程的典型基础题，重点考查对因式分解方法的掌握和解方程的细节注意事项，解题时切忌随意除以含未知数的整式，避免出现漏根的问题。
【难度系数】
0.8
1. 用适当的方法解下列方程：
(1) $x(x-7)=8(7-x)$；
(2) $4x - x^2 + 2 = 0$；
(3) $4x^2 + 3x - 2 = 0$；
(4) $(3x+2)^2 - 4x^2 = 0$；
(5) $(2x+1)^2 + 4(2x+1) + 4 = 0$。
(1) $x(x-7)=8(7-x)$；
(2) $4x - x^2 + 2 = 0$；
(3) $4x^2 + 3x - 2 = 0$；
(4) $(3x+2)^2 - 4x^2 = 0$；
(5) $(2x+1)^2 + 4(2x+1) + 4 = 0$。
答案
(1) $x_1 = 7,x_2 = - 8$;(2) $x_1 = 2 + \sqrt{6},x_2 = 2 - \sqrt{6}$;(3) $x_1 = \frac{- 3 + \sqrt{41}}{8},x_2 = \frac{- 3 - \sqrt{41}}{8}$;(4) $x_1 = - 2,x_2 = -\frac{2}{5}$;(5) $x_1 = x_2 = -\frac{3}{2}$。
解析
【分析】
解一元二次方程需根据方程的结构特征选择最优解法：1. 若方程两边含有相同公因式，优先选用因式分解法，注意不要随意两边同除以含未知数的式子，避免漏根；2. 若方程为一般形式且难以因式分解，可选用通用的公式法，或用配方法求解；3. 若方程符合平方差、完全平方的结构特征，直接用因式分解法简化计算；4. 若方程含相同的整体多项式，可将整体看作一个未知数简化运算。
【解析】
(1) 解：移项得 $x(x-7)+8(x-7)=0$，
提取公因式得 $(x-7)(x+8)=0$，
$\therefore x-7=0$ 或 $x+8=0$，
解得 $x_1=7, x_2=-8$。
(2) 解：移项整理得 $x^2-4x=2$，
配方，两边同时加4得 $x^2-4x+4=2+4$，即 $(x-2)^2=6$，
开平方得 $x-2=\pm\sqrt{6}$，
解得 $x_1=2+\sqrt{6}, x_2=2-\sqrt{6}$。
(3) 解：该方程为一元二次方程一般形式，其中$a=4, b=3, c=-2$，
判别式 $\Delta=b^2-4ac=3^2-4×4×(-2)=9+32=41＞0$，
代入求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ 得 $x=\frac{-3\pm\sqrt{41}}{8}$，
即 $x_1=\frac{-3+\sqrt{41}}{8}, x_2=\frac{-3-\sqrt{41}}{8}$。
(4) 解：原方程符合平方差结构，变形得 $(3x+2)^2-(2x)^2=0$，
由平方差公式因式分解得 $(3x+2+2x)(3x+2-2x)=0$，即 $(5x+2)(x+2)=0$，
$\therefore 5x+2=0$ 或 $x+2=0$，
解得 $x_1=-2, x_2=-\frac{2}{5}$。
(5) 解：将$2x+1$看作整体，原方程符合完全平方结构，变形得 $[(2x+1)+2]^2=0$，即 $(2x+3)^2=0$，
$\therefore 2x+3=0$，
解得 $x_1=x_2=-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $x_1 = 7,x_2 = - 8$；(2) $x_1 = 2 + \sqrt{6},x_2 = 2 - \sqrt{6}$；(3) $x_1 = \frac{- 3 + \sqrt{41}}{8},x_2 = \frac{- 3 - \sqrt{41}}{8}$；(4) $x_1 = - 2,x_2 = -\frac{2}{5}$；(5) $x_1 = x_2 = -\frac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，公式法
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活运用，解题时优先选择简便方法可提升解题速度和准确率，需注意因式分解法不要漏根，运用公式法前要先验证判别式是否非负。
【难度系数】
0.7
解一元二次方程需根据方程的结构特征选择最优解法：1. 若方程两边含有相同公因式，优先选用因式分解法，注意不要随意两边同除以含未知数的式子，避免漏根；2. 若方程为一般形式且难以因式分解，可选用通用的公式法，或用配方法求解；3. 若方程符合平方差、完全平方的结构特征，直接用因式分解法简化计算；4. 若方程含相同的整体多项式，可将整体看作一个未知数简化运算。
【解析】
(1) 解：移项得 $x(x-7)+8(x-7)=0$，
提取公因式得 $(x-7)(x+8)=0$，
$\therefore x-7=0$ 或 $x+8=0$，
解得 $x_1=7, x_2=-8$。
(2) 解：移项整理得 $x^2-4x=2$，
配方，两边同时加4得 $x^2-4x+4=2+4$，即 $(x-2)^2=6$，
开平方得 $x-2=\pm\sqrt{6}$，
解得 $x_1=2+\sqrt{6}, x_2=2-\sqrt{6}$。
(3) 解：该方程为一元二次方程一般形式，其中$a=4, b=3, c=-2$，
判别式 $\Delta=b^2-4ac=3^2-4×4×(-2)=9+32=41＞0$，
代入求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ 得 $x=\frac{-3\pm\sqrt{41}}{8}$，
即 $x_1=\frac{-3+\sqrt{41}}{8}, x_2=\frac{-3-\sqrt{41}}{8}$。
(4) 解：原方程符合平方差结构，变形得 $(3x+2)^2-(2x)^2=0$，
由平方差公式因式分解得 $(3x+2+2x)(3x+2-2x)=0$，即 $(5x+2)(x+2)=0$，
$\therefore 5x+2=0$ 或 $x+2=0$，
解得 $x_1=-2, x_2=-\frac{2}{5}$。
(5) 解：将$2x+1$看作整体，原方程符合完全平方结构，变形得 $[(2x+1)+2]^2=0$，即 $(2x+3)^2=0$，
$\therefore 2x+3=0$，
解得 $x_1=x_2=-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $x_1 = 7,x_2 = - 8$；(2) $x_1 = 2 + \sqrt{6},x_2 = 2 - \sqrt{6}$；(3) $x_1 = \frac{- 3 + \sqrt{41}}{8},x_2 = \frac{- 3 - \sqrt{41}}{8}$；(4) $x_1 = - 2,x_2 = -\frac{2}{5}$；(5) $x_1 = x_2 = -\frac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，公式法
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活运用，解题时优先选择简便方法可提升解题速度和准确率，需注意因式分解法不要漏根，运用公式法前要先验证判别式是否非负。
【难度系数】
0.7
2. 我们把关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 与 $ cx^2 + bx + a = 0 $（$ ac ≠ 0, a ≠ c $）称为一对“倒序方程”。例如方程 $ x^2 - x - 2 = 0 $ 的“倒序方程”是 $ -2x^2 - x + 1 = 0 $。
（1）写出一元二次方程 $ x^2 + 2x - 8 = 0 $ 的“倒序方程”；
（2）请用适当的方法解一元二次方程 $ x^2 + 2x - 8 = 0 $ 和它的“倒序方程”。
（1）写出一元二次方程 $ x^2 + 2x - 8 = 0 $ 的“倒序方程”；
（2）请用适当的方法解一元二次方程 $ x^2 + 2x - 8 = 0 $ 和它的“倒序方程”。
答案
(1) $- 8x^2 + 2x + 1 = 0$;(2) $- 8x^2 + 2x + 1 = 0$ 的根为 $x_1 = \frac{1}{2},x_2 = -\frac{1}{4}$;$x^2 + 2x - 8 = 0$ 的根为 $x_1 = 2,x_2 = - 4$。
解析
【分析】
（1）首先明确“倒序方程”的定义：将原一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的二次项系数$a$和常数项$c$互换位置，一次项系数$b$保持不变，即可得到对应的倒序方程$cx^2+bx+a=0$，只需找到原方程的$a、b、c$代入定义即可写出倒序方程。
（2）解两个一元二次方程可选用因式分解法（十字相乘法），计算更简便：先将方程左侧因式分解为两个一次式的乘积，再令每个一次式等于0，分别求解即可得到方程的根。
【解析】
（1）原方程$x^2 + 2x - 8 = 0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-8$，根据“倒序方程”的定义，互换$a、c$的位置，一次项系数不变，可得倒序方程为：$-8x^2 + 2x + 1 = 0$。
（2）① 解原方程$x^2 + 2x - 8 = 0$：
对左侧因式分解得：$(x+4)(x-2)=0$
令$x+4=0$，解得$x_2=-4$；令$x-2=0$，解得$x_1=2$。
② 解倒序方程$-8x^2 + 2x + 1 = 0$：
方程两边同时乘$-1$整理得：$8x^2 - 2x - 1 = 0$
对左侧因式分解得：$(2x-1)(4x+1)=0$
令$2x-1=0$，解得$x_1=\frac{1}{2}$；令$4x+1=0$，解得$x_2=-\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $- 8x^2 + 2x + 1 = 0$；
(2) $x^2 + 2x - 8 = 0$的根为$x_1 = 2,x_2 = - 4$；它的倒序方程的根为$x_1 = \frac{1}{2},x_2 = -\frac{1}{4}$。
【知识点】
新定义问题，一元二次方程的解法
【点评】
本题以新定义为背景考查一元二次方程的相关知识，解题核心是准确理解新定义的运算规则，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，属于基础题型，计算量小。
【难度系数】
0.8
（1）首先明确“倒序方程”的定义：将原一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的二次项系数$a$和常数项$c$互换位置，一次项系数$b$保持不变，即可得到对应的倒序方程$cx^2+bx+a=0$，只需找到原方程的$a、b、c$代入定义即可写出倒序方程。
（2）解两个一元二次方程可选用因式分解法（十字相乘法），计算更简便：先将方程左侧因式分解为两个一次式的乘积，再令每个一次式等于0，分别求解即可得到方程的根。
【解析】
（1）原方程$x^2 + 2x - 8 = 0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-8$，根据“倒序方程”的定义，互换$a、c$的位置，一次项系数不变，可得倒序方程为：$-8x^2 + 2x + 1 = 0$。
（2）① 解原方程$x^2 + 2x - 8 = 0$：
对左侧因式分解得：$(x+4)(x-2)=0$
令$x+4=0$，解得$x_2=-4$；令$x-2=0$，解得$x_1=2$。
② 解倒序方程$-8x^2 + 2x + 1 = 0$：
方程两边同时乘$-1$整理得：$8x^2 - 2x - 1 = 0$
对左侧因式分解得：$(2x-1)(4x+1)=0$
令$2x-1=0$，解得$x_1=\frac{1}{2}$；令$4x+1=0$，解得$x_2=-\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $- 8x^2 + 2x + 1 = 0$；
(2) $x^2 + 2x - 8 = 0$的根为$x_1 = 2,x_2 = - 4$；它的倒序方程的根为$x_1 = \frac{1}{2},x_2 = -\frac{1}{4}$。
【知识点】
新定义问题，一元二次方程的解法
【点评】
本题以新定义为背景考查一元二次方程的相关知识，解题核心是准确理解新定义的运算规则，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，属于基础题型，计算量小。
【难度系数】
0.8
