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1. 怎样用一根长为 40 m 的细绳围成一个面为 $75\ \mathrm{m}^2$ 的矩形区域？能围成一个面积为 $101\ \mathrm{m}^2$ 的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由。
答案
解：设矩形的一边长为x m，则邻边长为$(20-x)$m，若面积为75m²，列方程$x(20-x)=75$，整理得$x^2-20x+75=0$，解得$x_1=5$，$x_2=15$，因此围法为：围成一个长15m、宽5m的矩形即可。若面积为101m²，列方程$x(20-x)=101$，整理得$x^2-20x+101=0$，判别式$\Delta=(-20)^2-4×1×101= -4 ＜ 0$，该一元二次方程无实数解，因此不能围成面积为101m²的矩形区域。
解析
【分析】
首先明确细绳总长就是矩形的周长，根据矩形周长公式可推出长与宽的和为20m。解题时先设矩形的一边长为x m，即可用含x的式子表示出邻边长。第一问求面积为75m²的围法，可根据矩形面积公式列一元二次方程，求解方程得到边长即可；第二问判断能否围成101m²的矩形，同样先按面积关系列方程，再通过一元二次方程根的判别式判断方程是否有正实数解，若无实根则说明无法围成。
【解析】
解：设围成的矩形的一边长为$x\ \mathrm{m}$，则该边的邻边长为$\frac{40}{2}-x=(20-x)\ \mathrm{m}$。
1. 若矩形面积为$75\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式列方程：
$x(20-x)=75$
整理得：$x^2-20x+75=0$
因式分解得：$(x-5)(x-15)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=15$
当$x=5$时，邻边长为$20-5=15\ \mathrm{m}$；当$x=15$时，邻边长为$20-15=5\ \mathrm{m}$，即矩形长为15m，宽为5m。
2. 若矩形面积为$101\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(20-x)=101$
整理得：$x^2-20x+101=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-20)^2-4×1×101=400-404=-4＜0$
因此该一元二次方程无实数根，不存在满足条件的边长，无法围成面积为$101\ \mathrm{m}^2$的矩形。
【答案】
能围成面积为$75\ \mathrm{m}^2$的矩形，围法为围成长15m、宽5m的矩形即可；不能围成面积为$101\ \mathrm{m}^2$的矩形，因为对应方程无实数解，不存在符合要求的矩形边长。
【知识点】
一元二次方程的实际应用；一元二次方程的解法；根的判别式的应用
【点评】
本题结合生活场景考察一元二次方程的应用，核心是将实际问题转化为数学方程问题求解，解题关键是抓住周长、面积的等量关系列方程，同时能利用根的判别式判断方案的存在性，可锻炼数学建模的能力。
【难度系数】
0.75
首先明确细绳总长就是矩形的周长，根据矩形周长公式可推出长与宽的和为20m。解题时先设矩形的一边长为x m，即可用含x的式子表示出邻边长。第一问求面积为75m²的围法，可根据矩形面积公式列一元二次方程，求解方程得到边长即可；第二问判断能否围成101m²的矩形，同样先按面积关系列方程，再通过一元二次方程根的判别式判断方程是否有正实数解，若无实根则说明无法围成。
【解析】
解：设围成的矩形的一边长为$x\ \mathrm{m}$，则该边的邻边长为$\frac{40}{2}-x=(20-x)\ \mathrm{m}$。
1. 若矩形面积为$75\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式列方程：
$x(20-x)=75$
整理得：$x^2-20x+75=0$
因式分解得：$(x-5)(x-15)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=15$
当$x=5$时，邻边长为$20-5=15\ \mathrm{m}$；当$x=15$时，邻边长为$20-15=5\ \mathrm{m}$，即矩形长为15m，宽为5m。
2. 若矩形面积为$101\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(20-x)=101$
整理得：$x^2-20x+101=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-20)^2-4×1×101=400-404=-4＜0$
因此该一元二次方程无实数根，不存在满足条件的边长，无法围成面积为$101\ \mathrm{m}^2$的矩形。
【答案】
能围成面积为$75\ \mathrm{m}^2$的矩形，围法为围成长15m、宽5m的矩形即可；不能围成面积为$101\ \mathrm{m}^2$的矩形，因为对应方程无实数解，不存在符合要求的矩形边长。
【知识点】
一元二次方程的实际应用；一元二次方程的解法；根的判别式的应用
【点评】
本题结合生活场景考察一元二次方程的应用，核心是将实际问题转化为数学方程问题求解，解题关键是抓住周长、面积的等量关系列方程，同时能利用根的判别式判断方案的存在性，可锻炼数学建模的能力。
【难度系数】
0.75
2. 如图,矩形ABCD的两条邻边AD=1,CD=4,AB上是否存在点E,使得∠DEC为直角？
答案
解：设AE=x，由矩形边长CD=4得EB=4-x，AD=BC=1，∠A=∠B=90°。若∠DEC为直角，则∠AED+∠BEC=90°，又∠AED+∠ADE=90°，因此∠ADE=∠BEC，可得△ADE∽△BEC，因此$\frac{AD}{EB} = \frac{AE}{BC}$，代入数值$\frac{1}{4-x} = \frac{x}{1}$，整理得$x^2-4x+1=0$，解得$x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$，两个解都满足0＜x＜4，符合点E在AB边上的要求，因此AB上存在两个符合要求的点E，使得∠DEC为直角。
解析
【分析】
这是一道几何存在性问题，我们可先假设存在满足条件的点E，设AE的长度为x，将几何条件转化为代数方程求解：首先由∠DEC为直角可得∠AED与∠BEC互余，结合矩形内角为直角的性质可推出∠ADE=∠BEC，进而得到△ADE和△BEC相似，再利用相似三角形对应边成比例列出一元二次方程，最后判断方程是否有满足0＜x＜4的解，有符合范围的解即说明存在符合条件的点E。
【解析】
解：设AE=x，
∵四边形ABCD是矩形，AD=1，CD=4，
∴AB=CD=4，EB=AB-AE=4-x，AD=BC=1，∠A=∠B=90°，
若∠DEC为直角，则∠AED + ∠BEC = 180°-∠DEC = 90°，
又
∵在Rt△ADE中，∠AED + ∠ADE = 90°，
∴∠ADE = ∠BEC，
∴△ADE∽△BEC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AD}{EB} = \frac{AE}{BC}$，
代入数值可得：$\frac{1}{4-x} = \frac{x}{1}$，
整理得：$x^2 - 4x + 1 = 0$，
解得$x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$，
经检验，$0＜2-\sqrt{3}＜2+\sqrt{3}＜4$，两个解都满足点E在AB边上的取值要求，因此存在符合条件的点E。
【答案】
AB上存在两个符合要求的点E，使得∠DEC为直角。
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，解题时先假设存在符合条件的点，结合几何图形性质建立方程，通过判断方程的解是否符合实际取值范围确定结论，综合考查了几何性质的应用和方程的求解能力，解题关键是利用角的互余关系证明三角形相似。
【难度系数】
0.7
这是一道几何存在性问题，我们可先假设存在满足条件的点E，设AE的长度为x，将几何条件转化为代数方程求解：首先由∠DEC为直角可得∠AED与∠BEC互余，结合矩形内角为直角的性质可推出∠ADE=∠BEC，进而得到△ADE和△BEC相似，再利用相似三角形对应边成比例列出一元二次方程，最后判断方程是否有满足0＜x＜4的解，有符合范围的解即说明存在符合条件的点E。
【解析】
解：设AE=x，
∵四边形ABCD是矩形，AD=1，CD=4，
∴AB=CD=4，EB=AB-AE=4-x，AD=BC=1，∠A=∠B=90°，
若∠DEC为直角，则∠AED + ∠BEC = 180°-∠DEC = 90°，
又
∵在Rt△ADE中，∠AED + ∠ADE = 90°，
∴∠ADE = ∠BEC，
∴△ADE∽△BEC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AD}{EB} = \frac{AE}{BC}$，
代入数值可得：$\frac{1}{4-x} = \frac{x}{1}$，
整理得：$x^2 - 4x + 1 = 0$，
解得$x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$，
经检验，$0＜2-\sqrt{3}＜2+\sqrt{3}＜4$，两个解都满足点E在AB边上的取值要求，因此存在符合条件的点E。
【答案】
AB上存在两个符合要求的点E，使得∠DEC为直角。
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，解题时先假设存在符合条件的点，结合几何图形性质建立方程，通过判断方程的解是否符合实际取值范围确定结论，综合考查了几何性质的应用和方程的求解能力，解题关键是利用角的互余关系证明三角形相似。
【难度系数】
0.7
1. 用一根长为 60 m 的细绳围成一个面积为 $216\ \mathrm{m}^2$ 的矩形,分别用两种不同的设元方法列方程求解,并对比两种方法的特点:
(1)设一边长为 $x\ \mathrm{m}$,邻边长为$\frac{216}{x}\ \mathrm{m}$;
(2)设一边长为 $(15+x)\ \mathrm{m}$,邻边长为 $(15-x)\ \mathrm{m}$.
(1)设一边长为 $x\ \mathrm{m}$,邻边长为$\frac{216}{x}\ \mathrm{m}$;
(2)设一边长为 $(15+x)\ \mathrm{m}$,邻边长为 $(15-x)\ \mathrm{m}$.
答案
1. 长方形的两边长为 12 m 和 18 m.
解析
【分析】
本题考查矩形周长、面积公式结合一元二次方程求解边长，两种设元方法的思考逻辑如下：
1. 第一种设元是常规思路：已知矩形面积和其中一边长，直接用“邻边长=面积÷边长”表示邻边，再结合周长为60m的条件列方程求解即可，注意边长为正数的隐含条件。
2. 第二种设元是优化对称设元：先根据矩形周长公式算出长与宽的和为30m，将两个边长设为15+x和15-x的和差形式，再结合面积条件列方程，这种设元方式展开后可消去一次项，简化计算。
【解析】
(1) 按第一种设元方法求解：
已知一边长为$x\ \mathrm{m}$，邻边长为$\frac{216}{x}\ \mathrm{m}$，根据矩形周长公式$C=2×(长+宽)$，可列方程：
$2(x + \frac{216}{x})=60$
两边同时除以2得：$x + \frac{216}{x}=30$
两边同乘$x$（$x＞0$，符合边长要求）得一元二次方程：
$x^2 - 30x + 216 = 0$
因式分解得$(x-12)(x-18)=0$，解得$x_1=12$，$x_2=18$。
当$x=12$时，邻边长为$\frac{216}{12}=18\ \mathrm{m}$；当$x=18$时，邻边长为$\frac{216}{18}=12\ \mathrm{m}$。
(2) 按第二种设元方法求解：
已知一边长为$(15+x)\ \mathrm{m}$，邻边长为$(15-x)\ \mathrm{m}$，首先由边长为正可得$15-x＞0$即$x＜15$，根据矩形面积公式$S=长×宽$，可列方程：
$(15+x)(15-x)=216$
利用平方差公式展开得：$225 - x^2=216$
整理得：$x^2=9$，解得$x_1=3$，$x_2=-3$（边长为正，舍去负根）。
代入得一边长为$15+3=18\ \mathrm{m}$，邻边长为$15-3=12\ \mathrm{m}$。
两种方法对比：第一种设元思路直接，符合常规解题逻辑，但解方程需要先去分母转化为标准一元二次方程，步骤稍多；第二种设元利用长与宽的和为定值的特点，采用和差对称设元，展开后无一次项，解方程更简便，计算量更小。
【答案】
长方形的两边长为 12 m 和 18 m。
【知识点】
矩形周长与面积计算，一元二次方程的应用，方程设元技巧
【点评】
本题通过两种不同设元方法的对比，引导学生体会合理设元对简化计算的作用，既巩固了一元二次方程解应用题的基本步骤，也能拓展解题思路，提升解题灵活性。
【难度系数】
0.75
本题考查矩形周长、面积公式结合一元二次方程求解边长，两种设元方法的思考逻辑如下：
1. 第一种设元是常规思路：已知矩形面积和其中一边长，直接用“邻边长=面积÷边长”表示邻边，再结合周长为60m的条件列方程求解即可，注意边长为正数的隐含条件。
2. 第二种设元是优化对称设元：先根据矩形周长公式算出长与宽的和为30m，将两个边长设为15+x和15-x的和差形式，再结合面积条件列方程，这种设元方式展开后可消去一次项，简化计算。
【解析】
(1) 按第一种设元方法求解：
已知一边长为$x\ \mathrm{m}$，邻边长为$\frac{216}{x}\ \mathrm{m}$，根据矩形周长公式$C=2×(长+宽)$，可列方程：
$2(x + \frac{216}{x})=60$
两边同时除以2得：$x + \frac{216}{x}=30$
两边同乘$x$（$x＞0$，符合边长要求）得一元二次方程：
$x^2 - 30x + 216 = 0$
因式分解得$(x-12)(x-18)=0$，解得$x_1=12$，$x_2=18$。
当$x=12$时，邻边长为$\frac{216}{12}=18\ \mathrm{m}$；当$x=18$时，邻边长为$\frac{216}{18}=12\ \mathrm{m}$。
(2) 按第二种设元方法求解：
已知一边长为$(15+x)\ \mathrm{m}$，邻边长为$(15-x)\ \mathrm{m}$，首先由边长为正可得$15-x＞0$即$x＜15$，根据矩形面积公式$S=长×宽$，可列方程：
$(15+x)(15-x)=216$
利用平方差公式展开得：$225 - x^2=216$
整理得：$x^2=9$，解得$x_1=3$，$x_2=-3$（边长为正，舍去负根）。
代入得一边长为$15+3=18\ \mathrm{m}$，邻边长为$15-3=12\ \mathrm{m}$。
两种方法对比：第一种设元思路直接，符合常规解题逻辑，但解方程需要先去分母转化为标准一元二次方程，步骤稍多；第二种设元利用长与宽的和为定值的特点，采用和差对称设元，展开后无一次项，解方程更简便，计算量更小。
【答案】
长方形的两边长为 12 m 和 18 m。
【知识点】
矩形周长与面积计算，一元二次方程的应用，方程设元技巧
【点评】
本题通过两种不同设元方法的对比，引导学生体会合理设元对简化计算的作用，既巩固了一元二次方程解应用题的基本步骤，也能拓展解题思路，提升解题灵活性。
【难度系数】
0.75
2. 在长为 10 cm, 宽为 8 cm 的矩形ABCD中,在AD边上取一点 E,连接 BE,CE,是否存在点 E,使得$△ BEC$为直角三角形($∠ BEC=90°$)?若存在,求出 AE 的长,若不存在,说明理由.
答案
2. 不存在,理由略.
解析
【分析】
要判断是否存在满足条件的点E，可采用假设法：先假设存在点E使∠BEC=90°，设AE的长度为x cm，结合矩形的性质，用勾股定理分别表示出BE²、CE²，再根据直角三角形BEC的勾股定理列出关于x的一元二次方程，最后通过判断方程是否有符合实际意义的实根，即可确定点E是否存在。
【解析】
假设存在满足条件的点E，设AE=x cm，则ED=(10-x)cm。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD=8cm，BC=10cm。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$BE^2=AB^2+AE^2=8^2+x^2=x^2+64$；
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CE^2=CD^2+ED^2=8^2+(10-x)^2=(10-x)^2+64$；
若∠BEC=90°，则在Rt△BEC中满足$BE^2+CE^2=BC^2$，代入得：
$x^2+64+(10-x)^2+64=10^2$
展开整理得：$x^2-10x+64=0$
计算该方程的判别式：$\Delta=(-10)^2-4×1×64=100-256=-156＜0$
∴此一元二次方程无实数根，即不存在符合条件的点E。
【答案】
不存在
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，通过假设法建立方程，利用方程根的情况判断点的存在性，解题的关键是准确找到等量关系列方程，同时要注意解的实际意义。
【难度系数】
0.6
要判断是否存在满足条件的点E，可采用假设法：先假设存在点E使∠BEC=90°，设AE的长度为x cm，结合矩形的性质，用勾股定理分别表示出BE²、CE²，再根据直角三角形BEC的勾股定理列出关于x的一元二次方程，最后通过判断方程是否有符合实际意义的实根，即可确定点E是否存在。
【解析】
假设存在满足条件的点E，设AE=x cm，则ED=(10-x)cm。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD=8cm，BC=10cm。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$BE^2=AB^2+AE^2=8^2+x^2=x^2+64$；
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CE^2=CD^2+ED^2=8^2+(10-x)^2=(10-x)^2+64$；
若∠BEC=90°，则在Rt△BEC中满足$BE^2+CE^2=BC^2$，代入得：
$x^2+64+(10-x)^2+64=10^2$
展开整理得：$x^2-10x+64=0$
计算该方程的判别式：$\Delta=(-10)^2-4×1×64=100-256=-156＜0$
∴此一元二次方程无实数根，即不存在符合条件的点E。
【答案】
不存在
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，通过假设法建立方程，利用方程根的情况判断点的存在性，解题的关键是准确找到等量关系列方程，同时要注意解的实际意义。
【难度系数】
0.6
