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3. 如图,在宽为20 m,长为32 m的矩形地面上,修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,横向与纵向相互垂直),余下的六个相同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为500 m²,道路的宽为多少?(试着用不同的方法解决)
答案
3. 道路的宽为 2 m.
解析
【分析】
解题可采用两种常见思路：
方法1：平移转化法。由于道路宽度一致，可将分散的6块耕地平移拼接为一个完整的矩形，拼接后矩形的长等于原矩形的长减去2条纵向道路的宽度，宽等于原矩形的宽减去1条横向道路的宽度，结合耕地面积为500m²列一元二次方程求解即可。
方法2：面积差法。用原矩形总面积减去3条道路的面积，注意两条纵向道路与横向道路交叉的2个小正方形被重复减去，需加回这2个重叠区域的面积，所得结果等于耕地面积，据此列方程求解。
最后要检验方程的根是否符合实际意义，舍去不符合要求的根。
【解析】
方法一：平移法
设道路的宽为$x\ \mathrm{m}$。
将6块耕地平移拼接后，得到的矩形耕地长为$(32-2x)\mathrm{m}$，宽为$(20-x)\mathrm{m}$。
根据耕地面积为$500\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$(32-2x)(20-x)=500$
展开整理得：
$x^2-36x+70=0$
解得$x_1=18+\sqrt{254}$（大于矩形宽度，不符合实际，舍去），$x_2=18-\sqrt{254}\approx2$。
方法二：面积差法
设道路的宽为$x\ \mathrm{m}$。
原矩形总面积为$32×20=640\ \mathrm{m}^2$，两条纵向道路总面积为$2×20x=40x\ \mathrm{m}^2$，一条横向道路面积为$32x\ \mathrm{m}^2$，道路重叠的2个小正方形总面积为$2x^2\ \mathrm{m}^2$。
根据耕地面积等量关系列方程：
$640-40x-32x+2x^2=500$
整理得$x^2-36x+70=0$，同理解得符合实际的根约为2m。
【答案】
道路的宽为2 m。
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，平移法
【点评】
本题是几何与代数结合的典型应用题，平移法能简化计算，避免重复计算重叠区域的问题，解题时注意要结合实际场景对方程的根进行检验。
【难度系数】
0.65
解题可采用两种常见思路：
方法1：平移转化法。由于道路宽度一致，可将分散的6块耕地平移拼接为一个完整的矩形，拼接后矩形的长等于原矩形的长减去2条纵向道路的宽度，宽等于原矩形的宽减去1条横向道路的宽度，结合耕地面积为500m²列一元二次方程求解即可。
方法2：面积差法。用原矩形总面积减去3条道路的面积，注意两条纵向道路与横向道路交叉的2个小正方形被重复减去，需加回这2个重叠区域的面积，所得结果等于耕地面积，据此列方程求解。
最后要检验方程的根是否符合实际意义，舍去不符合要求的根。
【解析】
方法一：平移法
设道路的宽为$x\ \mathrm{m}$。
将6块耕地平移拼接后，得到的矩形耕地长为$(32-2x)\mathrm{m}$，宽为$(20-x)\mathrm{m}$。
根据耕地面积为$500\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$(32-2x)(20-x)=500$
展开整理得：
$x^2-36x+70=0$
解得$x_1=18+\sqrt{254}$（大于矩形宽度，不符合实际，舍去），$x_2=18-\sqrt{254}\approx2$。
方法二：面积差法
设道路的宽为$x\ \mathrm{m}$。
原矩形总面积为$32×20=640\ \mathrm{m}^2$，两条纵向道路总面积为$2×20x=40x\ \mathrm{m}^2$，一条横向道路面积为$32x\ \mathrm{m}^2$，道路重叠的2个小正方形总面积为$2x^2\ \mathrm{m}^2$。
根据耕地面积等量关系列方程：
$640-40x-32x+2x^2=500$
整理得$x^2-36x+70=0$，同理解得符合实际的根约为2m。
【答案】
道路的宽为2 m。
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，平移法
【点评】
本题是几何与代数结合的典型应用题，平移法能简化计算，避免重复计算重叠区域的问题，解题时注意要结合实际场景对方程的根进行检验。
【难度系数】
0.65
1. 解下列方程:
(1) $1+x+x(1+x)=121$;
(2) $5000(1-x)^2=3000$.
(1) $1+x+x(1+x)=121$;
(2) $5000(1-x)^2=3000$.
答案
1. (1) 原方程因式分解变形得$(1+x)^2=121$，直接开平方得$1+x=\pm11$，解得$x_1=10$，$x_2=-12$；
(2) 方程两边同除以5000得$(1-x)^2=\frac{3}{5}$，直接开平方得$1-x=\pm\frac{\sqrt{15}}{5}$，解得$x_1=1-\frac{\sqrt{15}}{5}\approx0.225$，$x_2=1+\frac{\sqrt{15}}{5}\approx1.775$
(2) 方程两边同除以5000得$(1-x)^2=\frac{3}{5}$，直接开平方得$1-x=\pm\frac{\sqrt{15}}{5}$，解得$x_1=1-\frac{\sqrt{15}}{5}\approx0.225$，$x_2=1+\frac{\sqrt{15}}{5}\approx1.775$
解析
【分析】
(1)观察方程左边，发现存在公因式$(1+x)$，可优先用提公因式法因式分解，将方程转化为平方等于常数的形式，再用直接开平方法求解，比先展开整理成一般形式更简便；
(2)方程符合$a(x-m)^2=b$（$a≠0$，$ab≥0$）的结构，先将平方项的系数化为1，再用直接开平方法求解即可。
【解析】
(1) 对原方程左边提公因式$(1+x)$，得：
$(1+x)(1+x)=121$，即$(1+x)^2=121$
直接开平方得：$1+x=\pm11$
当$1+x=11$时，解得$x_1=10$；当$1+x=-11$时，解得$x_2=-12$。
(2) 方程两边同时除以5000，得：
$(1-x)^2=\frac{3}{5}$
化简得$(1-x)^2=\frac{15}{25}$，直接开平方得：
$1-x=\pm\frac{\sqrt{15}}{5}$
移项解得：$x_1=1-\frac{\sqrt{15}}{5}\approx0.225$，$x_2=1+\frac{\sqrt{15}}{5}\approx1.775$。
【答案】
(1) $x_1=10$，$x_2=-12$；
(2) $x_1=1-\frac{\sqrt{15}}{5}\approx0.225$，$x_2=1+\frac{\sqrt{15}}{5}\approx1.775$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
这两道题是一元二次方程求解的典型基础题，解题时可根据方程的结构特征选择简便的求解方法，运用直接开平方法时要注意不要遗漏负根，避免漏解。
【难度系数】
0.8
(1)观察方程左边，发现存在公因式$(1+x)$，可优先用提公因式法因式分解，将方程转化为平方等于常数的形式，再用直接开平方法求解，比先展开整理成一般形式更简便；
(2)方程符合$a(x-m)^2=b$（$a≠0$，$ab≥0$）的结构，先将平方项的系数化为1，再用直接开平方法求解即可。
【解析】
(1) 对原方程左边提公因式$(1+x)$，得：
$(1+x)(1+x)=121$，即$(1+x)^2=121$
直接开平方得：$1+x=\pm11$
当$1+x=11$时，解得$x_1=10$；当$1+x=-11$时，解得$x_2=-12$。
(2) 方程两边同时除以5000，得：
$(1-x)^2=\frac{3}{5}$
化简得$(1-x)^2=\frac{15}{25}$，直接开平方得：
$1-x=\pm\frac{\sqrt{15}}{5}$
移项解得：$x_1=1-\frac{\sqrt{15}}{5}\approx0.225$，$x_2=1+\frac{\sqrt{15}}{5}\approx1.775$。
【答案】
(1) $x_1=10$，$x_2=-12$；
(2) $x_1=1-\frac{\sqrt{15}}{5}\approx0.225$，$x_2=1+\frac{\sqrt{15}}{5}\approx1.775$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
这两道题是一元二次方程求解的典型基础题，解题时可根据方程的结构特征选择简便的求解方法，运用直接开平方法时要注意不要遗漏负根，避免漏解。
【难度系数】
0.8
2. 教科书第21页探究1中解方程的一般方法是什么？
3. 对类似传播问题中的数量关系，你是怎样认识的？
4. 如何理解下降额与下降率？它们之间的联系与区别是什么？
5. 总结列一元二次方程解应用题的一般步骤。
合作学习
3. 对类似传播问题中的数量关系，你是怎样认识的？
4. 如何理解下降额与下降率？它们之间的联系与区别是什么？
5. 总结列一元二次方程解应用题的一般步骤。
合作学习
答案
2. 先将方程整理变形为完全平方的形式，使用直接开平方法求解，得到根后检验根是否符合实际意义，舍去不符合的根。
3. 传播问题的核心规律：初始传染源为1，每轮每人平均传染x人，第一轮后总患病人数为$1+x$，第二轮后总患病人数为$(1+x)^2$，第n轮后总患病人数为$(1+x)^n$，每一轮的传染源都是上一轮结束后的所有患病总人数。
4. 下降额是指下降前后的量的绝对差值，是有实际单位的绝对变化量；下降率是下降额与下降前的原有总量的比值，是无量纲的相对百分数。联系：下降额 = 下降前的量 × 下降率；区别：下降额是绝对变化值，下降率是相对变化比例，下降额更大的对象，下降率不一定更高。
5. 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
① 审：审题，明确题目中的已知量、未知量，梳理出等量关系；
② 设：合理设出未知数，标注清楚单位名称；
③ 列：根据找到的等量关系，列出符合题意的一元二次方程；
④ 解：求解所列的一元二次方程，得到两个根；
⑤ 验：检验所得的根是否符合实际问题的现实意义，舍去不符合实际的根；
⑥ 答：写出完整的作答内容，标注对应单位。
3. 传播问题的核心规律：初始传染源为1，每轮每人平均传染x人，第一轮后总患病人数为$1+x$，第二轮后总患病人数为$(1+x)^2$，第n轮后总患病人数为$(1+x)^n$，每一轮的传染源都是上一轮结束后的所有患病总人数。
4. 下降额是指下降前后的量的绝对差值，是有实际单位的绝对变化量；下降率是下降额与下降前的原有总量的比值，是无量纲的相对百分数。联系：下降额 = 下降前的量 × 下降率；区别：下降额是绝对变化值，下降率是相对变化比例，下降额更大的对象，下降率不一定更高。
5. 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
① 审：审题，明确题目中的已知量、未知量，梳理出等量关系；
② 设：合理设出未知数，标注清楚单位名称；
③ 列：根据找到的等量关系，列出符合题意的一元二次方程；
④ 解：求解所列的一元二次方程，得到两个根；
⑤ 验：检验所得的根是否符合实际问题的现实意义，舍去不符合实际的根；
⑥ 答：写出完整的作答内容，标注对应单位。
解析
【分析】
这几道题均围绕一元二次方程实际应用的核心基础内容设置，思考时可分别对应以下方向：
1. 第2题：回忆教材探究1的方程形式，这类方程符合直接开平方法的适用特征，同时结合实际问题的特殊性，求解后必须验证根的合理性；
2. 第3题：梳理传播问题的变化逻辑，从初始量出发，逐轮推导患病人数的变化规律，明确每轮的传染源是上一轮的总患病人数，即可总结出通用数量关系；
3. 第4题：区分绝对变化量和相对变化量的差异，先分别明确两个概念的定义，再推导二者的关联公式，最后对比二者的属性差异即可；
4. 第5题：结合之前列方程解应用题的通用步骤，加上一元二次方程有两个根需要验证实际意义的特殊要求，按逻辑顺序梳理出完整步骤即可。
【解析】
2. 教材探究1对应传播类问题的方程，整理后可转化为完全平方形式，符合直接开平方法的求解条件，因此先对变形后的方程用直接开平方法求解，再结合实际问题的限制要求，比如人数不能为负、不能小于初始值等，舍去不符合实际意义的根即可。
3. 传播问题的核心是每轮传染源为上一轮结束后的所有患病总人数：初始1个传染源，每轮每人平均传染x人，第一轮总患病人数为初始传染源加新增患者，即$1+x$；第二轮以$1+x$个患者为传染源，总患病人数可因式分解为$(1+x)^2$，以此类推可得n轮后的总患病人数规律。
4. 先明确两个概念的定义：下降额是下降前后的量的绝对差值，带单位；下降率是下降额和下降前总量的比值，为百分数无单位。再推导二者的运算关联，最后对比二者的属性差异，就能理清联系与区别。
5. 列一元二次方程解应用题可按逻辑划分为六个步骤，从审题梳理已知未知和等量关系出发，依次完成设未知数、列方程、解方程，再结合实际要求检验根的合理性，最后规范作答即可。
【答案】
2. 先将方程整理变形为完全平方的形式，使用直接开平方法求解，得到根后检验根是否符合实际意义，舍去不符合的根。
3. 传播问题的核心规律：初始传染源为1，每轮每人平均传染x人，第一轮后总患病人数为$1+x$，第二轮后总患病人数为$(1+x)^2$，第n轮后总患病人数为$(1+x)^n$，每一轮的传染源都是上一轮结束后的所有患病总人数。
4. 下降额是指下降前后的量的绝对差值，是有实际单位的绝对变化量；下降率是下降额与下降前的原有总量的比值，是无量纲的相对百分数。联系：下降额 = 下降前的量 × 下降率；区别：下降额是绝对变化值，下降率是相对变化比例，下降额更大的对象，下降率不一定更高。
5. 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
① 审：审题，明确题目中的已知量、未知量，梳理出等量关系；
② 设：合理设出未知数，标注清楚单位名称；
③ 列：根据找到的等量关系，列出符合题意的一元二次方程；
④ 解：求解所列的一元二次方程，得到两个根；
⑤ 验：检验所得的根是否符合实际问题的现实意义，舍去不符合实际的根；
⑥ 答：写出完整的作答内容，标注对应单位。
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 传播问题模型
3. 下降额与下降率
【点评】
这几道题是一元二次方程实际应用模块的基础核心内容，是后续解决增长率、传播、利润等各类常见应用题的前提，学习时要注意结合实际场景理解数量关系，重视实际问题中根的合理性检验。
【难度系数】
0.8
这几道题均围绕一元二次方程实际应用的核心基础内容设置，思考时可分别对应以下方向：
1. 第2题：回忆教材探究1的方程形式，这类方程符合直接开平方法的适用特征，同时结合实际问题的特殊性，求解后必须验证根的合理性；
2. 第3题：梳理传播问题的变化逻辑，从初始量出发，逐轮推导患病人数的变化规律，明确每轮的传染源是上一轮的总患病人数，即可总结出通用数量关系；
3. 第4题：区分绝对变化量和相对变化量的差异，先分别明确两个概念的定义，再推导二者的关联公式，最后对比二者的属性差异即可；
4. 第5题：结合之前列方程解应用题的通用步骤，加上一元二次方程有两个根需要验证实际意义的特殊要求，按逻辑顺序梳理出完整步骤即可。
【解析】
2. 教材探究1对应传播类问题的方程，整理后可转化为完全平方形式，符合直接开平方法的求解条件，因此先对变形后的方程用直接开平方法求解，再结合实际问题的限制要求，比如人数不能为负、不能小于初始值等，舍去不符合实际意义的根即可。
3. 传播问题的核心是每轮传染源为上一轮结束后的所有患病总人数：初始1个传染源，每轮每人平均传染x人，第一轮总患病人数为初始传染源加新增患者，即$1+x$；第二轮以$1+x$个患者为传染源，总患病人数可因式分解为$(1+x)^2$，以此类推可得n轮后的总患病人数规律。
4. 先明确两个概念的定义：下降额是下降前后的量的绝对差值，带单位；下降率是下降额和下降前总量的比值，为百分数无单位。再推导二者的运算关联，最后对比二者的属性差异，就能理清联系与区别。
5. 列一元二次方程解应用题可按逻辑划分为六个步骤，从审题梳理已知未知和等量关系出发，依次完成设未知数、列方程、解方程，再结合实际要求检验根的合理性，最后规范作答即可。
【答案】
2. 先将方程整理变形为完全平方的形式，使用直接开平方法求解，得到根后检验根是否符合实际意义，舍去不符合的根。
3. 传播问题的核心规律：初始传染源为1，每轮每人平均传染x人，第一轮后总患病人数为$1+x$，第二轮后总患病人数为$(1+x)^2$，第n轮后总患病人数为$(1+x)^n$，每一轮的传染源都是上一轮结束后的所有患病总人数。
4. 下降额是指下降前后的量的绝对差值，是有实际单位的绝对变化量；下降率是下降额与下降前的原有总量的比值，是无量纲的相对百分数。联系：下降额 = 下降前的量 × 下降率；区别：下降额是绝对变化值，下降率是相对变化比例，下降额更大的对象，下降率不一定更高。
5. 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
① 审：审题，明确题目中的已知量、未知量，梳理出等量关系；
② 设：合理设出未知数，标注清楚单位名称；
③ 列：根据找到的等量关系，列出符合题意的一元二次方程；
④ 解：求解所列的一元二次方程，得到两个根；
⑤ 验：检验所得的根是否符合实际问题的现实意义，舍去不符合实际的根；
⑥ 答：写出完整的作答内容，标注对应单位。
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 传播问题模型
3. 下降额与下降率
【点评】
这几道题是一元二次方程实际应用模块的基础核心内容，是后续解决增长率、传播、利润等各类常见应用题的前提，学习时要注意结合实际场景理解数量关系，重视实际问题中根的合理性检验。
【难度系数】
0.8
探究1:有一个人患了流感,经过两轮传染后共有121个人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析:设每轮传染中平均一个人传染x个人.
(1)开始有一个人患病,第一轮的传染源就是这个人,他传染了x个人,第一轮后共有
(2)在第二轮中,有
(3)根据题目中的等量关系,可以列方程:
(4)解此方程,得$x_1=$
(5)思考并讨论:解完此方程后是否还要验根?
若按这样的速度,三轮传染后有多少人患流感?
探究2:两年前生产1 t甲种药品的成本是10 000元,生产1吨乙种药品的成本是12 000元.随着生产技术的进步,现在生产1 t甲种药品的成本是6 000元,生产1 t乙种药品的成本是7 200元.哪种药品成本的年平均下降率较大?
分析:甲种药品成本的年平均下降额为
设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为
依题意得$10000(1-x)^2=6000$.
解方程,得$x_1≈0.225,x_2≈1.775$(不合题意,舍去).
故甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
根据下表,求出乙种药品的年平均下降率,并比较哪种药品的年平均下降率大.
请解出上述方程.
思考:经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?应怎样全面地比较几个对象的变化状况?(经计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较下降前及下降后的价格)
小结:类似地,这种增长率的问题在实际生活普遍存在,并有一定的规律.
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为$a(1±x)^n = b$(其中增长取“+”,降低取“-”).
分析:设每轮传染中平均一个人传染x个人.
(1)开始有一个人患病,第一轮的传染源就是这个人,他传染了x个人,第一轮后共有
1+x
个人患病.(2)在第二轮中,有
1+x
个人是传染源,因为一人传染x个人,所以第二轮后共有1+x+x(1+x)
个人患病.(3)根据题目中的等量关系,可以列方程:
1+x+x(1+x)=121
.(4)解此方程,得$x_1=$
10
, $x_2=$-12
.(5)思考并讨论:解完此方程后是否还要验根?
若按这样的速度,三轮传染后有多少人患流感?
探究2:两年前生产1 t甲种药品的成本是10 000元,生产1吨乙种药品的成本是12 000元.随着生产技术的进步,现在生产1 t甲种药品的成本是6 000元,生产1 t乙种药品的成本是7 200元.哪种药品成本的年平均下降率较大?
分析:甲种药品成本的年平均下降额为
2000
元;乙种药品成本的年平均下降额为2400
元.虽然乙种药品成本的年平均下降额较大,但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数).设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为
10000(1-x)
元,两年后甲种药品成本为$10000(1-x)^2$
元.依题意得$10000(1-x)^2=6000$.
解方程,得$x_1≈0.225,x_2≈1.775$(不合题意,舍去).
故甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
根据下表,求出乙种药品的年平均下降率,并比较哪种药品的年平均下降率大.
请解出上述方程.
思考:经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?应怎样全面地比较几个对象的变化状况?(经计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较下降前及下降后的价格)
小结:类似地,这种增长率的问题在实际生活普遍存在,并有一定的规律.
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为$a(1±x)^n = b$(其中增长取“+”,降低取“-”).
答案
探究1(5): 需要验根，传染的人数不可能为负数，所以舍去x=-12，得到每轮传染10人；三轮传染后患流感的人数为$121 + 121×10 = 1331$人。
探究2乙种药品方程求解：设乙种药品年平均下降率为x，列方程$12000(1-x)^2=7200$，两边除以12000得$(1-x)^2=0.6$，解得$x_1≈0.225$，$x_2≈1.775$（不符合实际舍去），所以乙种药品年平均下降率约为22.5%，两种药品的年平均下降率相等。
探究2乙种药品方程求解：设乙种药品年平均下降率为x，列方程$12000(1-x)^2=7200$，两边除以12000得$(1-x)^2=0.6$，解得$x_1≈0.225$，$x_2≈1.775$（不符合实际舍去），所以乙种药品年平均下降率约为22.5%，两种药品的年平均下降率相等。
解析
【分析】
解决本题需要结合实际场景建立一元二次方程模型求解：
1. 流感传染问题：每轮传染中，传染源为上一轮所有患病的人，两轮后患病人数符合平方增长关系，求解方程后需结合传染人数不能为负的实际要求验根，计算三轮患病人数时，以两轮后总患病人数为新一轮传染源计算即可。
2. 成本下降率问题：首先区分年平均下降额（绝对差值）和年平均下降率（相对比例）两个概念，下降率问题符合$a(1-x)^2=b$的模型，列方程求解后，下降率不能大于1，因此要舍去不符合实际的根，再对比两种药品的下降率得出结论。
【解析】
探究1：
(1) 初始1个患者，第一轮传染x人，第一轮后总患病人数为$1+x$人；
(2) 第二轮的传染源为第一轮所有患病的$1+x$人，第二轮新增$x(1+x)$个患者，因此第二轮后总患病人数为$(1+x)+x(1+x)=(1+x)^2$人；
(3) 由两轮后共121人患病，列方程：$(1+x)^2=121$；
(4) 解方程：开方得$1+x=\pm11$，解得$x_1=10$，$x_2=-12$；
(5) 验根：传染人数不能为负数，因此舍去$x=-12$，得每轮平均1人传染10人；
三轮传染后患病人数：$121 + 121×10=1331$人。
探究2：
甲种药品年平均下降额：$(10000-6000)÷2=2000$元，乙种药品年平均下降额：$(12000-7200)÷2=2400$元；
设乙种药品年平均下降率为$x$，依题意列方程：
$12000(1-x)^2=7200$
两边同除以12000得：$(1-x)^2=0.6$
开方求解得$x_1\approx0.225$，$x_2\approx1.775$，由于下降率不能大于1，因此舍去$x_2$，得乙种药品年平均下降率约为22.5%，和甲种药品下降率相等。
【答案】
探究1：
(1)$1+x$；(2)$1+x$，$(1+x)^2$；(3)$(1+x)^2=121$；(4)$10$，$-12$；
(5)需要验根，舍去不符合实际的负根$x=-12$，得每轮平均1人传染10人；三轮传染后共有1331人患流感。
探究2：
甲年平均下降额为2000元，乙年平均下降额为2400元；乙种药品年平均下降率约为22.5%，两种药品的年平均下降率相等；成本下降额较大的药品下降率不一定较大，需结合初始成本和变化情况综合比较。
【知识点】
一元二次方程实际应用，增长率问题，实际问题根的检验
【点评】
本题是一元二次方程在生活中应用的典型题型，覆盖传染、成本变化两类高频考点，解题时要注意结合实际意义舍去不符合要求的方程根，同时要区分绝对变化量（下降额）和相对变化率（下降率）的概念，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
解决本题需要结合实际场景建立一元二次方程模型求解：
1. 流感传染问题：每轮传染中，传染源为上一轮所有患病的人，两轮后患病人数符合平方增长关系，求解方程后需结合传染人数不能为负的实际要求验根，计算三轮患病人数时，以两轮后总患病人数为新一轮传染源计算即可。
2. 成本下降率问题：首先区分年平均下降额（绝对差值）和年平均下降率（相对比例）两个概念，下降率问题符合$a(1-x)^2=b$的模型，列方程求解后，下降率不能大于1，因此要舍去不符合实际的根，再对比两种药品的下降率得出结论。
【解析】
探究1：
(1) 初始1个患者，第一轮传染x人，第一轮后总患病人数为$1+x$人；
(2) 第二轮的传染源为第一轮所有患病的$1+x$人，第二轮新增$x(1+x)$个患者，因此第二轮后总患病人数为$(1+x)+x(1+x)=(1+x)^2$人；
(3) 由两轮后共121人患病，列方程：$(1+x)^2=121$；
(4) 解方程：开方得$1+x=\pm11$，解得$x_1=10$，$x_2=-12$；
(5) 验根：传染人数不能为负数，因此舍去$x=-12$，得每轮平均1人传染10人；
三轮传染后患病人数：$121 + 121×10=1331$人。
探究2：
甲种药品年平均下降额：$(10000-6000)÷2=2000$元，乙种药品年平均下降额：$(12000-7200)÷2=2400$元；
设乙种药品年平均下降率为$x$，依题意列方程：
$12000(1-x)^2=7200$
两边同除以12000得：$(1-x)^2=0.6$
开方求解得$x_1\approx0.225$，$x_2\approx1.775$，由于下降率不能大于1，因此舍去$x_2$，得乙种药品年平均下降率约为22.5%，和甲种药品下降率相等。
【答案】
探究1：
(1)$1+x$；(2)$1+x$，$(1+x)^2$；(3)$(1+x)^2=121$；(4)$10$，$-12$；
(5)需要验根，舍去不符合实际的负根$x=-12$，得每轮平均1人传染10人；三轮传染后共有1331人患流感。
探究2：
甲年平均下降额为2000元，乙年平均下降额为2400元；乙种药品年平均下降率约为22.5%，两种药品的年平均下降率相等；成本下降额较大的药品下降率不一定较大，需结合初始成本和变化情况综合比较。
【知识点】
一元二次方程实际应用，增长率问题，实际问题根的检验
【点评】
本题是一元二次方程在生活中应用的典型题型，覆盖传染、成本变化两类高频考点，解题时要注意结合实际意义舍去不符合要求的方程根，同时要区分绝对变化量（下降额）和相对变化率（下降率）的概念，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
