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例1 小明编辑了一条短信，呼吁大家支援灾区，把它发给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的其他人发了这条短信.此时，收到这条短信的人共156人，你能求出小明给多少人发了这条短信吗？
分析:设小明给x个人发了这条短信，小明发给x人后，此时收到短信的有x人，这x人发送短信后，又有
解得 $ x_1 = $
分析:设小明给x个人发了这条短信，小明发给x人后，此时收到短信的有x人，这x人发送短信后，又有
x²
人收到短信.根据题意，列方程为x + x² = 156
，解得 $ x_1 = $
12
，$ x_2 = $ -13
.（注意检验）答案
例1解：x=-13不符合实际意义舍去，所以小明给12个人发了这条短信。
解析
【分析】
这是典型的两轮传播类一元二次方程实际问题，解题思路如下：1. 明确传播轮次：第一轮是小明直接发送短信，共x人收到；2. 分析第二轮新增人数：第一轮收到短信的x人，每人再发送给x个不同的人，因此第二轮新增收到短信的人数为x乘x即$x^2$；3. 找等量关系列方程：两轮收到短信的总人数为156，据此列一元二次方程；4. 验根：人数为正整数，求解后舍去不符合实际意义的负根即可。
【解析】
设小明给x个人发了这条短信：
1. 第一轮传播后，共有x人收到短信；
2. 第二轮传播时，每个收到短信的人再发给x人，因此新增收到短信的人数为$x × x = x^2$人；
3. 根据总收到短信的人数为156，可列方程：$x + x^2 = 156$；
4. 整理为标准一元二次方程：$x^2 + x - 156 = 0$，因式分解得$(x + 13)(x - 12) = 0$，解得$x_1 = 12$，$x_2 = -13$；
5. 验根：人数不能为负数，因此$x_2 = -13$不符合实际意义，舍去。
【答案】
依次填入横线为：$\boldsymbol{x^2}$；$\boldsymbol{x + x^2 = 156}$；$\boldsymbol{12}$；$\boldsymbol{-13}$；小明给12个人发了这条短信。
【知识点】
一元二次方程的应用；传播问题；一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是理清每一轮传播的新增人数关系，求解后要注意结合实际场景对根进行检验，排除不符合常理的解。
【难度系数】
0.7
这是典型的两轮传播类一元二次方程实际问题，解题思路如下：1. 明确传播轮次：第一轮是小明直接发送短信，共x人收到；2. 分析第二轮新增人数：第一轮收到短信的x人，每人再发送给x个不同的人，因此第二轮新增收到短信的人数为x乘x即$x^2$；3. 找等量关系列方程：两轮收到短信的总人数为156，据此列一元二次方程；4. 验根：人数为正整数，求解后舍去不符合实际意义的负根即可。
【解析】
设小明给x个人发了这条短信：
1. 第一轮传播后，共有x人收到短信；
2. 第二轮传播时，每个收到短信的人再发给x人，因此新增收到短信的人数为$x × x = x^2$人；
3. 根据总收到短信的人数为156，可列方程：$x + x^2 = 156$；
4. 整理为标准一元二次方程：$x^2 + x - 156 = 0$，因式分解得$(x + 13)(x - 12) = 0$，解得$x_1 = 12$，$x_2 = -13$；
5. 验根：人数不能为负数，因此$x_2 = -13$不符合实际意义，舍去。
【答案】
依次填入横线为：$\boldsymbol{x^2}$；$\boldsymbol{x + x^2 = 156}$；$\boldsymbol{12}$；$\boldsymbol{-13}$；小明给12个人发了这条短信。
【知识点】
一元二次方程的应用；传播问题；一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是理清每一轮传播的新增人数关系，求解后要注意结合实际场景对根进行检验，排除不符合常理的解。
【难度系数】
0.7
