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例2 某地区开展“科技下乡”活动三年,接受科技培训的人员累计达95万人次.其中第一年培训了20万人次.求每年接受科技培训的人次的平均增长率.
分析:本题中的等量关系为“第一年培训人次+第二年培训人次+第三年培训人次=95万”.
分析:本题中的等量关系为“第一年培训人次+第二年培训人次+第三年培训人次=95万”.
答案
例2解：设每年接受科技培训的人次的平均增长率为x，根据题意列方程：
$20 + 20(1+x) + 20(1+x)^2 = 95$
整理得：$4x^2 + 12x -7 = 0$
解得$x_1=0.5=50\%$，$x_2=-3.5$（增长率不能为负，舍去）
答：每年接受科技培训的人次的平均增长率为50%。
$20 + 20(1+x) + 20(1+x)^2 = 95$
整理得：$4x^2 + 12x -7 = 0$
解得$x_1=0.5=50\%$，$x_2=-3.5$（增长率不能为负，舍去）
答：每年接受科技培训的人次的平均增长率为50%。
解析
【分析】
这是平均增长率类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：首先明确平均增长率的数量规律：若初始量为a，平均增长率为x，则第2年的量为a(1+x)，第3年的量为a(1+x)²。本题已知第一年培训人次为20万，设平均增长率为x，即可依次表示出第二年、第三年的培训人次；再根据“三年累计培训人次共95万”的等量关系列方程，求解后结合增长率为正数的实际意义，舍去不符合要求的根即可得到结果。
【解析】
解：设每年接受科技培训的人次的平均增长率为x，根据题意列方程：
$20 + 20(1+x) + 20(1+x)^2 = 95$
整理得：$4x^2 + 12x -7 = 0$
因式分解或用求根公式解得$x_1=0.5=50\%$，$x_2=-3.5$
由于增长率不能为负，故舍去$x_2=-3.5$。
答：每年接受科技培训的人次的平均增长率为50%。
【答案】
50%
【知识点】
1.平均增长率模型
2.一元二次方程求解
3.一元二次方程实际应用
【点评】
本题是增长率类方程应用的典型基础题，解题关键是准确表示出各时间段的对应数量，找准总和类等量关系，同时要注意结合实际意义对根进行取舍，避免出现不符合现实逻辑的结果。
【难度系数】
0.7
这是平均增长率类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：首先明确平均增长率的数量规律：若初始量为a，平均增长率为x，则第2年的量为a(1+x)，第3年的量为a(1+x)²。本题已知第一年培训人次为20万，设平均增长率为x，即可依次表示出第二年、第三年的培训人次；再根据“三年累计培训人次共95万”的等量关系列方程，求解后结合增长率为正数的实际意义，舍去不符合要求的根即可得到结果。
【解析】
解：设每年接受科技培训的人次的平均增长率为x，根据题意列方程：
$20 + 20(1+x) + 20(1+x)^2 = 95$
整理得：$4x^2 + 12x -7 = 0$
因式分解或用求根公式解得$x_1=0.5=50\%$，$x_2=-3.5$
由于增长率不能为负，故舍去$x_2=-3.5$。
答：每年接受科技培训的人次的平均增长率为50%。
【答案】
50%
【知识点】
1.平均增长率模型
2.一元二次方程求解
3.一元二次方程实际应用
【点评】
本题是增长率类方程应用的典型基础题，解题关键是准确表示出各时间段的对应数量，找准总和类等量关系，同时要注意结合实际意义对根进行取舍，避免出现不符合现实逻辑的结果。
【难度系数】
0.7
1.某书店第一天销售500本图书，之后两天的销售按相同的增长率增长，第三天的销售量为720本，若设每天的增长率为x，则可列方程为(
A.$500(1+x)^2=720$
B.$500(1+2x)=720$
C.$500(1-x)^2=720$
D.$500(1+x)=720$
A
)A.$500(1+x)^2=720$
B.$500(1+2x)=720$
C.$500(1-x)^2=720$
D.$500(1+x)=720$
答案
1. A
解析
【分析】
这是平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先回忆增长率问题的基本公式：若初始量为a，平均增长率为x，增长n次后的最终量为$a(1+x)^n$。本题中初始量是第一天的销量500本，从第一天到第三天共增长2次，最终第三天销量为720本，将对应数值代入公式即可列出方程。
【解析】
已知第一天销售量为500本，每天增长率为x：
1. 第二天的销售量是在第一天基础上增长x，即：$500(1+x)$本；
2. 第三天的销售量是在第二天基础上再增长x，即：$500(1+x) × (1+x) = 500(1+x)^2$本；
结合题干给出的第三天销售量为720本，可列方程：$500(1+x)^2=720$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是典型的平均增长率问题，解题核心是明确增长次数，牢记增长率公式的结构，避免混淆增长次数、错用一次增长或线性增长的公式。
【难度系数】
0.8
这是平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先回忆增长率问题的基本公式：若初始量为a，平均增长率为x，增长n次后的最终量为$a(1+x)^n$。本题中初始量是第一天的销量500本，从第一天到第三天共增长2次，最终第三天销量为720本，将对应数值代入公式即可列出方程。
【解析】
已知第一天销售量为500本，每天增长率为x：
1. 第二天的销售量是在第一天基础上增长x，即：$500(1+x)$本；
2. 第三天的销售量是在第二天基础上再增长x，即：$500(1+x) × (1+x) = 500(1+x)^2$本；
结合题干给出的第三天销售量为720本，可列方程：$500(1+x)^2=720$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是典型的平均增长率问题，解题核心是明确增长次数，牢记增长率公式的结构，避免混淆增长次数、错用一次增长或线性增长的公式。
【难度系数】
0.8
2.某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元.设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是(
A.$150(1-x^2)=96$
B.$150(1-x)=96$
C.$150(1-x)^2=96$
D.$150(1-2x)=96$
C
)A.$150(1-x^2)=96$
B.$150(1-x)=96$
C.$150(1-x)^2=96$
D.$150(1-2x)=96$
答案
2. C
解析
【分析】
这是一道连续降价的百分率应用题，解题时首先要明确每次降价的计算基数：第一次降价是在原价150元的基础上降价，第二次降价是在第一次降价后的售价基础上再降价。我们可以先推导第一次降价后的售价，再推导第二次降价后的售价，最后结合两次降价后售价为96元的条件列出对应方程，匹配选项即可。
【解析】
已知商品原价为150元，平均每次降价的百分率为x：
1. 第一次降价后，商品的售价为：$150×(1-x)$
2. 第二次降价是在第一次降价后的售价基础上再降x，因此第二次降价后的售价为：$150×(1-x)×(1-x)=150(1-x)^2$
3. 题目给出两次降价后售价为96元，因此可列方程：$150(1-x)^2=96$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
百分率变化问题、一元二次方程实际应用
【点评】
本题是百分率变化类的基础典型题，解题核心是明确每次价格变化的基数是上一次调整后的价格，避免出现直接用原价乘(1-2x)的常见错误，掌握该类题型的表达式规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
这是一道连续降价的百分率应用题，解题时首先要明确每次降价的计算基数：第一次降价是在原价150元的基础上降价，第二次降价是在第一次降价后的售价基础上再降价。我们可以先推导第一次降价后的售价，再推导第二次降价后的售价，最后结合两次降价后售价为96元的条件列出对应方程，匹配选项即可。
【解析】
已知商品原价为150元，平均每次降价的百分率为x：
1. 第一次降价后，商品的售价为：$150×(1-x)$
2. 第二次降价是在第一次降价后的售价基础上再降x，因此第二次降价后的售价为：$150×(1-x)×(1-x)=150(1-x)^2$
3. 题目给出两次降价后售价为96元，因此可列方程：$150(1-x)^2=96$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
百分率变化问题、一元二次方程实际应用
【点评】
本题是百分率变化类的基础典型题，解题核心是明确每次价格变化的基数是上一次调整后的价格，避免出现直接用原价乘(1-2x)的常见错误，掌握该类题型的表达式规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3.一台电视机成本价为a元,销售价比成本价增加25％.因库存积压,所以就按销售价的70％出售,那么每台售价为(
A.$(1+25\%)(1+70\%)a$元
B.$70\%(1+25\%)a$元
C.$(1+25\%)(1-70\%)a$元
D.$(1+25\%+70\%)a$元
B
)A.$(1+25\%)(1+70\%)a$元
B.$70\%(1+25\%)a$元
C.$(1+25\%)(1-70\%)a$元
D.$(1+25\%+70\%)a$元
答案
3. B
解析
【分析】
这是一道销售类列代数式的题目，解题时要分两步找准每一步的单位“1”：第一步，销售价比成本价增加25%，此时的单位“1”是成本价a元，先据此算出原销售价；第二步，按销售价的70%出售，此时的单位“1”是第一步算出的原销售价，再用原销售价乘70%即可得到最终售价。
【解析】
第一步：计算原销售价
已知成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因此原销售价为：
$(1+25\%)a$ 元
第二步：计算实际售价
按销售价的70%出售，即实际售价为原销售价的70%，因此实际售价为：
$70\% × (1+25\%)a = 70\%(1+25\%)a$ 元
对比选项，B选项符合计算结果。
【答案】
B
【知识点】
列代数式；销售问题；百分数应用
【点评】
本题属于基础题型，核心是明确两次价格调整对应的单位“1”，提价的基数是成本价，打折的基数是原销售价，找准基数就能避免计算错误。
【难度系数】
0.8
这是一道销售类列代数式的题目，解题时要分两步找准每一步的单位“1”：第一步，销售价比成本价增加25%，此时的单位“1”是成本价a元，先据此算出原销售价；第二步，按销售价的70%出售，此时的单位“1”是第一步算出的原销售价，再用原销售价乘70%即可得到最终售价。
【解析】
第一步：计算原销售价
已知成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因此原销售价为：
$(1+25\%)a$ 元
第二步：计算实际售价
按销售价的70%出售，即实际售价为原销售价的70%，因此实际售价为：
$70\% × (1+25\%)a = 70\%(1+25\%)a$ 元
对比选项，B选项符合计算结果。
【答案】
B
【知识点】
列代数式；销售问题；百分数应用
【点评】
本题属于基础题型，核心是明确两次价格调整对应的单位“1”，提价的基数是成本价，打折的基数是原销售价，找准基数就能避免计算错误。
【难度系数】
0.8
4.有一个人患了流感,经过两轮传染后共有81个人患了流感,每轮传染中平均一个人传染几个人?设每轮传染中平均一个人传染x个人,可列方程为(
A.$1+2x=81$
B.$1+x^2=81$
C.$1+x+x^2=81$
D.$1+x+x(1+x)=81$
D
)A.$1+2x=81$
B.$1+x^2=81$
C.$1+x+x^2=81$
D.$1+x+x(1+x)=81$
答案
4. D
解析
【分析】
解决这道传染类列方程问题，可按轮次逐步梳理患病人数的变化：首先明确初始患病人数为1人，先推导第一轮传染后的总患病人数，再以第一轮结束的总患病人数作为第二轮的传染源，推导第二轮新增的患病人数，最后根据两轮后总患病人数为81的等量关系列方程，匹配选项即可。
【解析】
解：已知初始有1人患流感，每轮平均1人传染x个人。
1. 第一轮传染：初始的1个患者共传染x个健康人，第一轮结束后总患病人数为$1+x$人；
2. 第二轮传染：此时所有$1+x$个患者都是传染源，每人传染x个人，因此第二轮新增患病人数为$x(1+x)$人；
3. 两轮后患病人数总和为初始人数+第一轮新增人数+第二轮新增人数，因此可列方程：$1+x+x(1+x)=81$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 传播类问题数量关系
【点评】
本题是传播类方程应用的基础题型，解题核心是准确区分每一轮的传染源总数，避免错误认为传染源始终只有初始的1人，只要理清每轮传染前后的人数变化逻辑就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解决这道传染类列方程问题，可按轮次逐步梳理患病人数的变化：首先明确初始患病人数为1人，先推导第一轮传染后的总患病人数，再以第一轮结束的总患病人数作为第二轮的传染源，推导第二轮新增的患病人数，最后根据两轮后总患病人数为81的等量关系列方程，匹配选项即可。
【解析】
解：已知初始有1人患流感，每轮平均1人传染x个人。
1. 第一轮传染：初始的1个患者共传染x个健康人，第一轮结束后总患病人数为$1+x$人；
2. 第二轮传染：此时所有$1+x$个患者都是传染源，每人传染x个人，因此第二轮新增患病人数为$x(1+x)$人；
3. 两轮后患病人数总和为初始人数+第一轮新增人数+第二轮新增人数，因此可列方程：$1+x+x(1+x)=81$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 传播类问题数量关系
【点评】
本题是传播类方程应用的基础题型，解题核心是准确区分每一轮的传染源总数，避免错误认为传染源始终只有初始的1人，只要理清每轮传染前后的人数变化逻辑就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
1.某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒.设平均每次降价的百分率为x,根据题意,所列方程正确的是(
A.$36(1-x)^2=36-25$
B.$36(1-2x)=25$
C.$36(1-x)^2=25$
D.$36(1-x^2)=25$
C
)A.$36(1-x)^2=36-25$
B.$36(1-2x)=25$
C.$36(1-x)^2=25$
D.$36(1-x^2)=25$
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查平均降价率的实际应用，解题时先明确每次降价的计算基数：第一次降价是在原价36元的基础上降价，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上降价，结合“最终售价=原价×(1-降价百分率)ⁿ（n为降价次数）”的公式即可列出方程，再对比选项选出正确答案。
【解析】
第一步：计算第一次降价后的售价。原价为36元/盒，平均每次降价百分率为x，因此第一次降价后的售价为$36(1-x)$元/盒。
第二步：计算第二次降价后的售价。第二次降价是在第一次降价后的售价基础上再降x，因此第二次降价后的售价为$36(1-x) × (1-x) = 36(1-x)^2$元/盒。
第三步：根据两次降价后售价为25元/盒的条件，列方程得$36(1-x)^2=25$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平均变化率问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均变化率的典型基础题，解题核心是明确每次变化的基数，熟记变化量的计算公式，易错点是误将两次相同百分率的降价当成直接降价2x，忽略第二次降价的基数是第一次降价后的价格。
【难度系数】
0.8
本题考查平均降价率的实际应用，解题时先明确每次降价的计算基数：第一次降价是在原价36元的基础上降价，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上降价，结合“最终售价=原价×(1-降价百分率)ⁿ（n为降价次数）”的公式即可列出方程，再对比选项选出正确答案。
【解析】
第一步：计算第一次降价后的售价。原价为36元/盒，平均每次降价百分率为x，因此第一次降价后的售价为$36(1-x)$元/盒。
第二步：计算第二次降价后的售价。第二次降价是在第一次降价后的售价基础上再降x，因此第二次降价后的售价为$36(1-x) × (1-x) = 36(1-x)^2$元/盒。
第三步：根据两次降价后售价为25元/盒的条件，列方程得$36(1-x)^2=25$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平均变化率问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均变化率的典型基础题，解题核心是明确每次变化的基数，熟记变化量的计算公式，易错点是误将两次相同百分率的降价当成直接降价2x，忽略第二次降价的基数是第一次降价后的价格。
【难度系数】
0.8
2. 某农户的粮食产量,平均每年的增长率为x,第一年的产量为m kg,第二年的产量为
$m(1 + x)$
kg,第三年的产量为$m(1 + x)^2$
kg,三年总产量为$m + m(1 + x) + m(1 + x^2)$
kg.答案
2. $m(1 + x)$ $m(1 + x)^2$ $m + m(1 + x) + m(1 + x^2)$
解析
【分析】
本题属于平均增长率类应用题，解题核心是牢记增长率问题的基本数量关系：后一期产量=前一期产量×(1+年增长率)。解题按顺序推导即可：先根据第一年产量推导第二年产量，再以第二年产量为基础推导第三年产量，最后将三年产量相加得到三年总产量。
【解析】
1. 求第二年产量：
已知第一年产量为m kg，年平均增长率为x，根据增长率公式可得：
第二年产量 = 第一年产量×(1+x) = $m(1+x)$ kg。
2. 求第三年产量：
第三年在第二年产量的基础上继续增长x，因此：
第三年产量 = 第二年产量×(1+x) = $m(1+x) × (1+x) = m(1+x)^2$ kg。
3. 求三年总产量：
总产量为三年产量之和，即：
三年总产量 = 第一年产量+第二年产量+第三年产量 = $m + m(1+x) + m(1+x)^2$ kg。
【答案】
$m(1 + x)$；$m(1 + x)^2$；$m + m(1 + x) + m(1+x)^2$
【知识点】
增长率问题，列代数式
【点评】
本题是增长率问题的基础题型，主要考查对增长率数量关系的理解与运用，掌握基本公式即可快速解题，是解决更复杂的增长率实际应用问题的基础。
【难度系数】
0.8
本题属于平均增长率类应用题，解题核心是牢记增长率问题的基本数量关系：后一期产量=前一期产量×(1+年增长率)。解题按顺序推导即可：先根据第一年产量推导第二年产量，再以第二年产量为基础推导第三年产量，最后将三年产量相加得到三年总产量。
【解析】
1. 求第二年产量：
已知第一年产量为m kg，年平均增长率为x，根据增长率公式可得：
第二年产量 = 第一年产量×(1+x) = $m(1+x)$ kg。
2. 求第三年产量：
第三年在第二年产量的基础上继续增长x，因此：
第三年产量 = 第二年产量×(1+x) = $m(1+x) × (1+x) = m(1+x)^2$ kg。
3. 求三年总产量：
总产量为三年产量之和，即：
三年总产量 = 第一年产量+第二年产量+第三年产量 = $m + m(1+x) + m(1+x)^2$ kg。
【答案】
$m(1 + x)$；$m(1 + x)^2$；$m + m(1 + x) + m(1+x)^2$
【知识点】
增长率问题，列代数式
【点评】
本题是增长率问题的基础题型，主要考查对增长率数量关系的理解与运用，掌握基本公式即可快速解题，是解决更复杂的增长率实际应用问题的基础。
【难度系数】
0.8
3. 甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为 $ m $ 元的商品，甲超市连续两次降价20%；乙超市一次性降价40%；丙超市第一次降价30%，第二次降价10%。此时顾客要购买这种商品，最划算的是去
乙
超市。答案
3. 乙
解析
【分析】要判断去哪家超市购买最划算，核心是分别计算出三家超市降价后该商品的最终售价，再对三个售价进行大小比较，售价最低的超市就是最划算的选择。首先根据每家超市的降价方案，结合商品原定价为m元，分别列出对应售价的代数式，化简后比较大小即可得到结论。
【解析】已知商品原定价为m元：
1. 计算甲超市的最终售价：连续两次降价20%，每次售价为降价前的$(1-20\%)$
甲售价 $= m × (1-20\%) × (1-20\%) = m × 0.8 × 0.8 = 0.64m$
2. 计算乙超市的最终售价：一次性降价40%，售价为原价的$(1-40\%)$
乙售价 $= m × (1-40\%) = m × 0.6 = 0.6m$
3. 计算丙超市的最终售价：第一次降价30%，第二次降价10%
丙售价 $= m × (1-30\%) × (1-10\%) = m × 0.7 × 0.9 = 0.63m$
比较三个售价大小：$0.6m ＜ 0.63m ＜ 0.64m$，可知乙超市的售价最低。
【答案】乙
【知识点】列代数式；有理数大小比较；百分数应用
【点评】本题是贴近生活的消费优惠类题型，解题关键是准确根据降价规则计算出最终价格，再通过比价得出最优选择，主要考查学生将数学知识应用到实际生活的能力和计算的细心程度。
【难度系数】0.8
【解析】已知商品原定价为m元：
1. 计算甲超市的最终售价：连续两次降价20%，每次售价为降价前的$(1-20\%)$
甲售价 $= m × (1-20\%) × (1-20\%) = m × 0.8 × 0.8 = 0.64m$
2. 计算乙超市的最终售价：一次性降价40%，售价为原价的$(1-40\%)$
乙售价 $= m × (1-40\%) = m × 0.6 = 0.6m$
3. 计算丙超市的最终售价：第一次降价30%，第二次降价10%
丙售价 $= m × (1-30\%) × (1-10\%) = m × 0.7 × 0.9 = 0.63m$
比较三个售价大小：$0.6m ＜ 0.63m ＜ 0.64m$，可知乙超市的售价最低。
【答案】乙
【知识点】列代数式；有理数大小比较；百分数应用
【点评】本题是贴近生活的消费优惠类题型，解题关键是准确根据降价规则计算出最终价格，再通过比价得出最优选择，主要考查学生将数学知识应用到实际生活的能力和计算的细心程度。
【难度系数】0.8
