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4.某生物实验室需培育一群有益菌,现有60个活体样本,经过两轮培育后,总和为24 000个,其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?
(2)按照这样的分裂速度,经过3轮培育后共有多少个有益菌?
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?
(2)按照这样的分裂速度,经过3轮培育后共有多少个有益菌?
答案
4. (1) 19;(2) 480 000
解析
【分析】
本题属于分裂增长类实际应用题，解题思路如下：1. 设每轮每个有益菌分裂出$x$个有益菌，由于分裂后原有菌体仍然存在，因此每轮结束后总菌数是上一轮的$(1+x)$倍；2. 初始菌数为60，两轮后总菌数为24000，据此可列一元二次方程求解第一问，注意解要符合实际意义，舍去负根；3. 第二问直接用两轮后的总菌数乘以$(1+x)$即可得到三轮后的总菌数。
【解析】
(1) 设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出$ x $个有益菌。
根据分裂增长规律，两轮培育后总菌数满足方程：
$ 60(1+x)^2 = 24000 $
等式两边同时除以60，得：
$ (1+x)^2 = 400 $
开平方得：$ 1+x = \pm20 $
由于分裂出的菌体个数为正数，因此$ 1+x＞0 $，即$ 1+x=20 $，解得$ x=19 $。
(2) 按照该分裂速度，第三轮培育后总菌数为第二轮总菌数乘以$ (1+19) $，即：
$ 24000×(1+19) = 24000×20 = 480000 $（个）
【答案】
(1) 19；(2) 480000
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 分裂增长问题计算
3. 平方根的运算
【点评】
本题重点考查实际问题中的方程建模能力，解题核心是准确把握分裂后总数量的变化规律，同时要注意结合实际场景对解进行取舍，避免出现不符合现实意义的结果。
【难度系数】
0.7
本题属于分裂增长类实际应用题，解题思路如下：1. 设每轮每个有益菌分裂出$x$个有益菌，由于分裂后原有菌体仍然存在，因此每轮结束后总菌数是上一轮的$(1+x)$倍；2. 初始菌数为60，两轮后总菌数为24000，据此可列一元二次方程求解第一问，注意解要符合实际意义，舍去负根；3. 第二问直接用两轮后的总菌数乘以$(1+x)$即可得到三轮后的总菌数。
【解析】
(1) 设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出$ x $个有益菌。
根据分裂增长规律，两轮培育后总菌数满足方程：
$ 60(1+x)^2 = 24000 $
等式两边同时除以60，得：
$ (1+x)^2 = 400 $
开平方得：$ 1+x = \pm20 $
由于分裂出的菌体个数为正数，因此$ 1+x＞0 $，即$ 1+x=20 $，解得$ x=19 $。
(2) 按照该分裂速度，第三轮培育后总菌数为第二轮总菌数乘以$ (1+19) $，即：
$ 24000×(1+19) = 24000×20 = 480000 $（个）
【答案】
(1) 19；(2) 480000
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 分裂增长问题计算
3. 平方根的运算
【点评】
本题重点考查实际问题中的方程建模能力，解题核心是准确把握分裂后总数量的变化规律，同时要注意结合实际场景对解进行取舍，避免出现不符合现实意义的结果。
【难度系数】
0.7
5. (2026·武威一模)已知一件商品原售价为120元/件，商场计划对其进行降价促销，每件先降价11.8元，销量不理想，又每件降价11元，销售异常火爆，若视作平均每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.
答案
10%
解析
【分析】
这是一道平均降低率类的一元二次方程应用题，解题可按以下思路展开：第一步先计算两次降价后的实际售价；第二步回忆平均降低率的通用公式：若原价为a，每次降价百分率为x，经过2次降价后的售价为$a(1-x)^2$；第三步根据“原价×(1-降价百分率)²=两次降价后的实际售价”列方程；第四步解方程后，结合降价百分率的实际意义（大于0小于1）舍去不符合要求的解，得到最终结果。
【解析】
解：设每次降价的百分率为$x$。
先计算两次降价后的实际售价：
$120 - 11.8 - 11 = 97.2$（元）
根据平均降低率的等量关系列方程：
$120(1-x)^2 = 97.2$
两边同时除以120，得：
$(1-x)^2 = 0.81$
开平方得：
$1-x = \pm0.9$
当$1-x=0.9$时，解得$x=0.1=10\%$；
当$1-x=-0.9$时，解得$x=1.9$，不符合降价百分率小于1的实际意义，舍去。
【答案】
10%
【知识点】
一元二次方程的应用，平均降低率问题
【点评】
本题是典型的变化率类应用题，解题关键是找准变化前后的对应量，正确列出方程，同时要注意结合实际情景对解进行取舍，避免出现不符合常理的结果。
【难度系数】
0.7
这是一道平均降低率类的一元二次方程应用题，解题可按以下思路展开：第一步先计算两次降价后的实际售价；第二步回忆平均降低率的通用公式：若原价为a，每次降价百分率为x，经过2次降价后的售价为$a(1-x)^2$；第三步根据“原价×(1-降价百分率)²=两次降价后的实际售价”列方程；第四步解方程后，结合降价百分率的实际意义（大于0小于1）舍去不符合要求的解，得到最终结果。
【解析】
解：设每次降价的百分率为$x$。
先计算两次降价后的实际售价：
$120 - 11.8 - 11 = 97.2$（元）
根据平均降低率的等量关系列方程：
$120(1-x)^2 = 97.2$
两边同时除以120，得：
$(1-x)^2 = 0.81$
开平方得：
$1-x = \pm0.9$
当$1-x=0.9$时，解得$x=0.1=10\%$；
当$1-x=-0.9$时，解得$x=1.9$，不符合降价百分率小于1的实际意义，舍去。
【答案】
10%
【知识点】
一元二次方程的应用，平均降低率问题
【点评】
本题是典型的变化率类应用题，解题关键是找准变化前后的对应量，正确列出方程，同时要注意结合实际情景对解进行取舍，避免出现不符合常理的结果。
【难度系数】
0.7
1. 双循环比赛问题
问题:若干支球队进行主客场双循环比赛,总场数为300,计算是否合理?
2. 单循环模型
问题:学校组织了一次联欢会,参会的每两个人都握了1次手,所有人共握了10次手.有多少人参加聚会?
注意 球赛单循环及握手问题中的次数重复进行了一次,所以要在总数的基础上除以2.
3. 多边形对角线问题
问题1:凸多边形有20条对角线,求边数.
问题2:是否存在18条对角线的多边形?
问题:若干支球队进行主客场双循环比赛,总场数为300,计算是否合理?
2. 单循环模型
问题:学校组织了一次联欢会,参会的每两个人都握了1次手,所有人共握了10次手.有多少人参加聚会?
注意 球赛单循环及握手问题中的次数重复进行了一次,所以要在总数的基础上除以2.
3. 多边形对角线问题
问题1:凸多边形有20条对角线,求边数.
问题2:是否存在18条对角线的多边形?
答案
1. 解：设共有x支球队，双循环总场数公式为$x(x-1)=300$，整理得$x^2-x-300=0$，判别式$\Delta=1+1200=1201$，1201不是完全平方数，方程没有正整数解，因此总场数为300是不合理的。
2. 解：设共有x人参加聚会，根据单循环握手公式得$\frac{1}{2}x(x-1)=10$，整理得$x^2-x-20=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-4$（人数不能为负，舍去），因此有5人参加聚会。
3. 问题1：解：设凸多边形边数为n，根据多边形对角线公式得$\frac{1}{2}n(n-3)=20$，整理得$n^2-3n-40=0$，解得$n_1=8$，$n_2=-5$（边数为正，舍去），因此该凸多边形边数为8。
问题2：解：假设存在这样的多边形，边数为n，得$\frac{1}{2}n(n-3)=18$，整理得$n^2-3n-36=0$，判别式$\Delta=9+144=153$，153不是完全平方数，方程没有正整数解，因此不存在有18条对角线的多边形。
2. 解：设共有x人参加聚会，根据单循环握手公式得$\frac{1}{2}x(x-1)=10$，整理得$x^2-x-20=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-4$（人数不能为负，舍去），因此有5人参加聚会。
3. 问题1：解：设凸多边形边数为n，根据多边形对角线公式得$\frac{1}{2}n(n-3)=20$，整理得$n^2-3n-40=0$，解得$n_1=8$，$n_2=-5$（边数为正，舍去），因此该凸多边形边数为8。
问题2：解：假设存在这样的多边形，边数为n，得$\frac{1}{2}n(n-3)=18$，整理得$n^2-3n-36=0$，判别式$\Delta=9+144=153$，153不是完全平方数，方程没有正整数解，因此不存在有18条对角线的多边形。
解析
【分析】
这三类问题均属于一元二次方程的实际应用类问题，解题思路可分为三步：①首先判断场景对应的数量模型：主客场双循环场景中，每两支球队之间要进行2场比赛，总场数公式为$x(x-1)$（x为球队数量）；单循环握手/比赛场景中，每两个主体仅互动1次，总次数公式为$\frac{1}{2}x(x-1)$（x为主体数量）；凸多边形对角线场景中，每个顶点可与除自身及相邻2个顶点外的其余顶点连对角线，且每条对角线被计算2次，总对角线条数公式为$\frac{1}{2}n(n-3)$（n为边数）。②设未知数，代入对应公式列出一元二次方程。③解方程，结合实际意义（球队数、人数、边数均为正整数）检验解的合理性，若方程无正整数解则对应假设不成立。
【解析】
1. 设共有$x$支球队，根据双循环总场数公式列方程：
$x(x-1)=300$
整理得$x^2 - x - 300 = 0$
计算判别式$\Delta = 1^2 + 4×300 = 1201$，由于1201不是完全平方数，该方程没有正整数解，因此总场数为300不合理。
2. 设共有$x$人参加聚会，根据单循环握手公式列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=10$
整理得$x^2 - x - 20 = 0$
因式分解得$(x-5)(x+4)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-4$
人数不能为负数，舍去$x_2=-4$，因此参加聚会的人数为5人。
3. 问题1：设凸多边形边数为$n$，根据多边形对角线公式列方程：
$\frac{1}{2}n(n-3)=20$
整理得$n^2 - 3n - 40 = 0$
因式分解得$(n-8)(n+5)=0$，解得$n_1=8$，$n_2=-5$
多边形边数为正整数，舍去$n_2=-5$，因此该凸多边形边数为8。
问题2：假设存在有18条对角线的多边形，边数为$n$，列方程：
$\frac{1}{2}n(n-3)=18$
整理得$n^2 - 3n - 36 = 0$
计算判别式$\Delta = (-3)^2 + 4×36 = 9 + 144 = 153$，由于153不是完全平方数，该方程没有正整数解，因此不存在有18条对角线的多边形。
【答案】
1. 总场数为300不合理；
2. 有5人参加聚会；
3. 问题1：凸多边形边数为8；问题2：不存在有18条对角线的多边形。
【知识点】
一元二次方程实际应用、一元二次方程求解、根的合理性检验
【点评】
这三类是一元二次方程实际应用的典型模型，解题核心是准确匹配场景对应的数量公式，列方程求解后一定要结合实际问题的取值要求对根进行取舍，当方程无正整数解时即可判断对应的假设不成立。
【难度系数】
0.7
这三类问题均属于一元二次方程的实际应用类问题，解题思路可分为三步：①首先判断场景对应的数量模型：主客场双循环场景中，每两支球队之间要进行2场比赛，总场数公式为$x(x-1)$（x为球队数量）；单循环握手/比赛场景中，每两个主体仅互动1次，总次数公式为$\frac{1}{2}x(x-1)$（x为主体数量）；凸多边形对角线场景中，每个顶点可与除自身及相邻2个顶点外的其余顶点连对角线，且每条对角线被计算2次，总对角线条数公式为$\frac{1}{2}n(n-3)$（n为边数）。②设未知数，代入对应公式列出一元二次方程。③解方程，结合实际意义（球队数、人数、边数均为正整数）检验解的合理性，若方程无正整数解则对应假设不成立。
【解析】
1. 设共有$x$支球队，根据双循环总场数公式列方程：
$x(x-1)=300$
整理得$x^2 - x - 300 = 0$
计算判别式$\Delta = 1^2 + 4×300 = 1201$，由于1201不是完全平方数，该方程没有正整数解，因此总场数为300不合理。
2. 设共有$x$人参加聚会，根据单循环握手公式列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=10$
整理得$x^2 - x - 20 = 0$
因式分解得$(x-5)(x+4)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-4$
人数不能为负数，舍去$x_2=-4$，因此参加聚会的人数为5人。
3. 问题1：设凸多边形边数为$n$，根据多边形对角线公式列方程：
$\frac{1}{2}n(n-3)=20$
整理得$n^2 - 3n - 40 = 0$
因式分解得$(n-8)(n+5)=0$，解得$n_1=8$，$n_2=-5$
多边形边数为正整数，舍去$n_2=-5$，因此该凸多边形边数为8。
问题2：假设存在有18条对角线的多边形，边数为$n$，列方程：
$\frac{1}{2}n(n-3)=18$
整理得$n^2 - 3n - 36 = 0$
计算判别式$\Delta = (-3)^2 + 4×36 = 9 + 144 = 153$，由于153不是完全平方数，该方程没有正整数解，因此不存在有18条对角线的多边形。
【答案】
1. 总场数为300不合理；
2. 有5人参加聚会；
3. 问题1：凸多边形边数为8；问题2：不存在有18条对角线的多边形。
【知识点】
一元二次方程实际应用、一元二次方程求解、根的合理性检验
【点评】
这三类是一元二次方程实际应用的典型模型，解题核心是准确匹配场景对应的数量公式，列方程求解后一定要结合实际问题的取值要求对根进行取舍，当方程无正整数解时即可判断对应的假设不成立。
【难度系数】
0.7
