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1. 生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向本组其他成员各赠送1件，全组共互赠了182件.如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是(
A.$x(x+1)=182$
B.$x(x-1)=182$
C.$2x(x+1)=182$
D.$x(1-x)=182×2$
B
)A.$x(x+1)=182$
B.$x(x-1)=182$
C.$2x(x+1)=182$
D.$x(1-x)=182×2$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先明确互赠标本的规则：每名同学不需要给自己赠送标本，且甲赠送给乙和乙赠送给甲是两件不同的标本，不存在重复计数。第一步先计算每名同学需要赠送的标本数量：总共有x名同学，减去自己，每人赠送(x-1)件；第二步计算总赠送件数：总共有x名同学，每人都赠送(x-1)件，总件数就是人数乘以每人赠送的数量，结合总互赠数为182件即可列出方程。
【解析】
已知全组有x名同学：
1. 每名同学需向除自己外的其他成员赠送标本，因此每人赠送的标本数为$(x-1)$件；
2. 互赠时不存在重复计数，因此全组总赠送标本数为人数×每人赠送数，即$x(x-1)$件；
3. 题目已知全组共互赠182件，因此可列方程：$x(x-1)=182$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的实际应用、根据实际问题列代数式
【点评】
本题是列方程解实际问题的基础题型，解题核心是明确互赠类问题的计数规则，注意和握手、单循环比赛等“两人互动仅计数1次”的题型区分，避免错误除以2。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确互赠标本的规则：每名同学不需要给自己赠送标本，且甲赠送给乙和乙赠送给甲是两件不同的标本，不存在重复计数。第一步先计算每名同学需要赠送的标本数量：总共有x名同学，减去自己，每人赠送(x-1)件；第二步计算总赠送件数：总共有x名同学，每人都赠送(x-1)件，总件数就是人数乘以每人赠送的数量，结合总互赠数为182件即可列出方程。
【解析】
已知全组有x名同学：
1. 每名同学需向除自己外的其他成员赠送标本，因此每人赠送的标本数为$(x-1)$件；
2. 互赠时不存在重复计数，因此全组总赠送标本数为人数×每人赠送数，即$x(x-1)$件；
3. 题目已知全组共互赠182件，因此可列方程：$x(x-1)=182$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的实际应用、根据实际问题列代数式
【点评】
本题是列方程解实际问题的基础题型，解题核心是明确互赠类问题的计数规则，注意和握手、单循环比赛等“两人互动仅计数1次”的题型区分，避免错误除以2。
【难度系数】
0.8
2. 一个小组的若干人互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有(
A.12人
B.18人
C.9人
D.10人
C
)A.12人
B.18人
C.9人
D.10人
答案
2. C
解析
【分析】
首先明确互送贺卡的数量关系：若小组有x人，每个人需要给除自己之外的其余(x-1)人各送1张贺卡，由于互送时甲送乙、乙送甲是2张不同的贺卡，不需要除以2去重，因此总贺卡数=人数×每人送出的贺卡数，即总贺卡数为x(x-1)。结合已知总贺卡数为72张，即可列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际的负根，就能得到小组人数。
【解析】
解：设这个小组共有x人。
根据题意，每人需送出(x-1)张贺卡，总贺卡数为72张，可列方程：
$x(x-1)=72$
整理得：$x^2 - x - 72 = 0$
因式分解得：$(x-9)(x+8)=0$
解得：$x_1=9$，$x_2=-8$
由于人数不能为负数，因此舍去$x_2=-8$，即这个小组共有9人。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用，互赠问题模型，一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常见基础题型，解题核心是理清互送类问题的数量关系，注意区分互送（双向计数，无需除以2）和握手（单向计数，需除以2）类问题的差异，避免列错方程。
【难度系数】
0.7
首先明确互送贺卡的数量关系：若小组有x人，每个人需要给除自己之外的其余(x-1)人各送1张贺卡，由于互送时甲送乙、乙送甲是2张不同的贺卡，不需要除以2去重，因此总贺卡数=人数×每人送出的贺卡数，即总贺卡数为x(x-1)。结合已知总贺卡数为72张，即可列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际的负根，就能得到小组人数。
【解析】
解：设这个小组共有x人。
根据题意，每人需送出(x-1)张贺卡，总贺卡数为72张，可列方程：
$x(x-1)=72$
整理得：$x^2 - x - 72 = 0$
因式分解得：$(x-9)(x+8)=0$
解得：$x_1=9$，$x_2=-8$
由于人数不能为负数，因此舍去$x_2=-8$，即这个小组共有9人。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用，互赠问题模型，一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常见基础题型，解题核心是理清互送类问题的数量关系，注意区分互送（双向计数，无需除以2）和握手（单向计数，需除以2）类问题的差异，避免列错方程。
【难度系数】
0.7
3. 学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行1场比赛），共进行了15场比赛，那么有
6
个球队参加了这次比赛。答案
3. 6
解析
【分析】
首先明确单循环比赛的规则：每两个队伍之间仅进行1场比赛。我们设参赛球队数量为x个，每个球队需要和其余(x-1)个球队各赛1场，若直接计算x(x-1)，每场比赛会被重复统计2次，因此总比赛场数应为$\frac{x(x-1)}{2}$。结合已知总场数为15场，即可列出一元二次方程求解，最后注意球队数为正整数，需舍去不符合实际意义的根。
【解析】
设共有$x$个球队参加了这次比赛。
根据单循环比赛总场数的计算规律，列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
整理得：$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$
由于球队数量不能为负数，舍去$x_2=-5$，因此参赛球队数量为6个。
【答案】
6
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 单循环计数
【点评】
本题是一元二次方程结合实际场景的典型基础题，核心是掌握单循环赛制的总场数计算方法，列方程后要注意对解进行实际意义的检验，排除不合逻辑的根。
【难度系数】
0.7
首先明确单循环比赛的规则：每两个队伍之间仅进行1场比赛。我们设参赛球队数量为x个，每个球队需要和其余(x-1)个球队各赛1场，若直接计算x(x-1)，每场比赛会被重复统计2次，因此总比赛场数应为$\frac{x(x-1)}{2}$。结合已知总场数为15场，即可列出一元二次方程求解，最后注意球队数为正整数，需舍去不符合实际意义的根。
【解析】
设共有$x$个球队参加了这次比赛。
根据单循环比赛总场数的计算规律，列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
整理得：$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$
由于球队数量不能为负数，舍去$x_2=-5$，因此参赛球队数量为6个。
【答案】
6
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 单循环计数
【点评】
本题是一元二次方程结合实际场景的典型基础题，核心是掌握单循环赛制的总场数计算方法，列方程后要注意对解进行实际意义的检验，排除不合逻辑的根。
【难度系数】
0.7
4.某中学组织初三学生足球比赛,以班级为单位,采用主客场赛制(即每两个班之间都进行两场比赛),计划安排72场比赛,共有多少个班级参赛？
答案
解：设共有x个班级参赛，根据主客场双循环赛制的计数规则，列方程得$x(x-1)=72$，整理得$x^2-x-72=0$，解得$x_1=9$，$x_2=-8$（班级数不能为负数，舍去），因此共有9个班级参赛。
解析
【分析】
解题时首先要明确主客场赛制的规则：每两个班级之间需要进行2场比赛，区别于单循环赛制（每两队仅1场）。我们可以设参赛班级总数为x，每个班级需要和其余(x-1)个班级各进行主、客场共2场比赛，因此总比赛场数可表示为x(x-1)，结合题目给出的总场次72，即可列出一元二次方程，求解后结合“班级数为正整数”的实际意义舍去不符合的根，就能得到结果。
【解析】
解：设共有x个班级参赛。
根据主客场双循环赛制的计数规则，总比赛场数为$x(x-1)$，结合题意列方程得：
$x(x-1)=72$
整理得：$x^2 - x - 72 = 0$
解方程得：$x_1=9$，$x_2=-8$
∵ 班级数量不能为负数，因此舍去$x_2=-8$
∴ 参赛班级数为9。
【答案】
共有9个班级参赛。
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 双循环赛制计数
3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题属于方程实际应用类题型，解题的核心是准确理解赛制规则，正确列出对应方程，同时要注意对求解出的一元二次方程的根进行实际意义的核验，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确主客场赛制的规则：每两个班级之间需要进行2场比赛，区别于单循环赛制（每两队仅1场）。我们可以设参赛班级总数为x，每个班级需要和其余(x-1)个班级各进行主、客场共2场比赛，因此总比赛场数可表示为x(x-1)，结合题目给出的总场次72，即可列出一元二次方程，求解后结合“班级数为正整数”的实际意义舍去不符合的根，就能得到结果。
【解析】
解：设共有x个班级参赛。
根据主客场双循环赛制的计数规则，总比赛场数为$x(x-1)$，结合题意列方程得：
$x(x-1)=72$
整理得：$x^2 - x - 72 = 0$
解方程得：$x_1=9$，$x_2=-8$
∵ 班级数量不能为负数，因此舍去$x_2=-8$
∴ 参赛班级数为9。
【答案】
共有9个班级参赛。
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 双循环赛制计数
3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题属于方程实际应用类题型，解题的核心是准确理解赛制规则，正确列出对应方程，同时要注意对求解出的一元二次方程的根进行实际意义的核验，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
1. 元旦将至,九(1)班全体学生互赠贺卡,共赠贺卡1980张.问:九(1)班共有多少名学生?设九(1)班共有$x$名学生,那么所列方程为(
A. $x^2 = 1980$
B. $x(x+1)=1980$
C. $\frac{1}{2}x(x-1)=1980$
D. $x(x-1)=1980$
2. 为了宣传环保,小明写了一篇倡议书,决定用微博转发的方式传播.他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的微博上,再邀请$n$个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书之后,又邀请$n$个互不相同的好友转发倡议书,以此类推.已知经过两轮转发后,共有111个人参与了转发活动,则$n=$
3. 参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两次比赛(双循环比赛),共要比赛90场.共有多少个队参加本次比赛?
D
)A. $x^2 = 1980$
B. $x(x+1)=1980$
C. $\frac{1}{2}x(x-1)=1980$
D. $x(x-1)=1980$
2. 为了宣传环保,小明写了一篇倡议书,决定用微博转发的方式传播.他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的微博上,再邀请$n$个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书之后,又邀请$n$个互不相同的好友转发倡议书,以此类推.已知经过两轮转发后,共有111个人参与了转发活动,则$n=$
10
.3. 参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两次比赛(双循环比赛),共要比赛90场.共有多少个队参加本次比赛?
答案
1. D
2. 10
3. 10
2. 10
3. 10
解析
【分析】
1. 第1题：互赠贺卡时，每名学生需给除自己外的其他所有学生各送1张贺卡，无需去重，先算单名学生送出的贺卡数，再乘总人数就能得到总贺卡数，据此列方程即可。
2. 第2题：两轮转发的参与人数包含初始发布的小明、第一轮转发的好友、第二轮转发的好友三部分，将三部分相加等于总参与人数，列方程求解即可，注意舍去不符合实际的负根。
3. 第3题：双循环赛制下每两个队之间要进行2场比赛，无需除以2消去重复计数，结合总比赛场数列方程求解，同样舍去负根即可。
【解析】
1. 第1题：设九（1）班共有$x$名学生，每名学生需向$(x-1)$名其他学生送贺卡，总贺卡数为$x(x-1)$张，已知总贺卡数为1980，因此所列方程为$x(x-1)=1980$，故选D。
2. 第2题：根据传播规则，初始参与人数为1（小明），第一轮新增$n$个转发好友，第二轮新增$n× n=n^2$个转发好友，总参与人数为$1+n+n^2$。已知总参与人数为111，列方程得：
$1 + n + n^2 = 111$
整理得$n^2 + n - 110 = 0$，因式分解为$(n+11)(n-10)=0$，解得$n=10$（$n=-11$不符合人数为正的实际要求，舍去）。
3. 第3题：设共有$x$个队参加比赛，双循环赛制下每两队赛2场，总比赛场次为$x(x-1)$场，已知总场次为90，列方程得：
$x(x-1)=90$
整理得$x^2 - x - 90 = 0$，因式分解为$(x-10)(x+9)=0$，解得$x=10$（$x=-9$不符合队数为正的实际要求，舍去）。
【答案】
1. D；2. 10；3. 10
【知识点】
一元二次方程的应用，传播问题，比赛计数问题
【点评】
这三道题是一元二次方程实际应用的常考题型，解题核心是结合场景规则判断计数是否需要去重，列出方程后要注意验证解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
1. 第1题：互赠贺卡时，每名学生需给除自己外的其他所有学生各送1张贺卡，无需去重，先算单名学生送出的贺卡数，再乘总人数就能得到总贺卡数，据此列方程即可。
2. 第2题：两轮转发的参与人数包含初始发布的小明、第一轮转发的好友、第二轮转发的好友三部分，将三部分相加等于总参与人数，列方程求解即可，注意舍去不符合实际的负根。
3. 第3题：双循环赛制下每两个队之间要进行2场比赛，无需除以2消去重复计数，结合总比赛场数列方程求解，同样舍去负根即可。
【解析】
1. 第1题：设九（1）班共有$x$名学生，每名学生需向$(x-1)$名其他学生送贺卡，总贺卡数为$x(x-1)$张，已知总贺卡数为1980，因此所列方程为$x(x-1)=1980$，故选D。
2. 第2题：根据传播规则，初始参与人数为1（小明），第一轮新增$n$个转发好友，第二轮新增$n× n=n^2$个转发好友，总参与人数为$1+n+n^2$。已知总参与人数为111，列方程得：
$1 + n + n^2 = 111$
整理得$n^2 + n - 110 = 0$，因式分解为$(n+11)(n-10)=0$，解得$n=10$（$n=-11$不符合人数为正的实际要求，舍去）。
3. 第3题：设共有$x$个队参加比赛，双循环赛制下每两队赛2场，总比赛场次为$x(x-1)$场，已知总场次为90，列方程得：
$x(x-1)=90$
整理得$x^2 - x - 90 = 0$，因式分解为$(x-10)(x+9)=0$，解得$x=10$（$x=-9$不符合队数为正的实际要求，舍去）。
【答案】
1. D；2. 10；3. 10
【知识点】
一元二次方程的应用，传播问题，比赛计数问题
【点评】
这三道题是一元二次方程实际应用的常考题型，解题核心是结合场景规则判断计数是否需要去重，列出方程后要注意验证解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
