【智慧提升】
4. 提出问题
“数学源于生活、寓于生活、用于生活”，生活中的很多实际问题，都可以抽象成数学问题，通过建立数学模型的方式来解决.
例如:在世界杯的小组赛阶段,通过抽签的形式将32支参赛队分为八个小组,每组4个队循环比赛,每支球队都必须和其他三支球队进行且只进行一场比赛,则每个小组内要进行多少场比赛?
建立模型
对于这个实际问题,可以建立如下的数学模型:如图所示,在平面内画出4个点(任意3个点都不在同一条直线上),其中每个点各代表一支足球队,两个队之间比赛一场就用一条线段把它们连起来,其中连接线段的条数就是安排比赛的场数.
解决问题
(1)通过阅读材料,直接写出每个小组内要进行多少场比赛;
(2)D2007是从呼和浩特东开往成都东的高铁,高铁票价与站点间距离有关,若途中任两站的距离都不相等,在大同南——太原南路段中共设有21种不同的二等座票价,求该路段共有多少个站点(含首尾站点)?

4. (1) 每个小组进行6场比赛. (2) 设该路段共有 x 个站点,则$\frac{1}{2}x(x-1)=21$,整理得$x^2 - x - 42 = 0$. 解得$x_1 = 7,x_2 = -6$(不符合题意,舍去),故该路段共有7个站点.

【分析】
(1) 第一问结合题目给出的模型，4个点（任意3点不共线）每两点之间连1条线段，线段总条数就是比赛场数。计数时每个点可和其余3个点连线段，4个点共算得4×3=12条，因每条线段被重复计算2次，总条数除以2即可得到比赛场数。
(2) 第二问中任意两站距离不同，即任意两站对应唯一一种票价，票价总数等于站点间的线段总条数。设站点数为x，沿用第一问的计数逻辑可得总线段数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，结合已知票价总数为21列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可得到站点数。
【解析】
(1) 4支球队每2支比赛1场，总场次等于4个点（任意3点不共线）连接的线段总条数：
$\frac{1}{2} × 4 × (4-1) = 6$（场）
(2) 设该路段共有$x$个站点（含首尾站点），任意两站对应唯一一种票价，因此票价总数等于x个点连接的线段总条数，列方程得：
$\frac{1}{2}x(x-1) = 21$
整理得：$x^2 - x - 42 = 0$
因式分解得：$(x-7)(x+6)=0$
解得$x_1=7$，$x_2=-6$，站点数不能为负，故舍去$x_2=-6$。
【答案】
(1) 每个小组内要进行6场比赛；(2) 该路段共有7个站点。
【知识点】
线段计数、一元二次方程的应用、数学建模
【点评】
本题将生活中的比赛场次、票价问题转化为数学中的线段计数问题，考查学生将实际问题抽象为数学模型的能力，解题核心是掌握“n个点（任意3点不共线）的线段总条数为$\frac{1}{2}n(n-1)$”的计数规律，结合方程求解即可。
【难度系数】
0.7