登录
4. 某展览馆周日仅上午开放可供游客观展,已知八点钟开馆时进入游客$(a+2b)$人,中途陆陆续续有$\frac{1}{3}$的游客离开,又进来若干游客,十一点时馆内共有游客$(3a+3b)$人.
(1)此时间段内馆内不变的游客有多少人?
(2)求中途进来的游客有多少人.(用含有$a,b$的式子表示)
(3)当$a=3,b=9$时,中途进来的游客有多少人?
(1)此时间段内馆内不变的游客有多少人?
(2)求中途进来的游客有多少人.(用含有$a,b$的式子表示)
(3)当$a=3,b=9$时,中途进来的游客有多少人?
答案
解：
(1) 此时间段内馆内不变的游客人数为：
$(1-\dfrac{1}{3})(a+2b)=\dfrac{2}{3}(a+2b)=\dfrac{2}{3}a+\dfrac{4}{3}b$
答：此时间段内馆内不变的游客有$(\dfrac{2}{3}a+\dfrac{4}{3}b)$人。
(2) 中途进来的游客人数为：
$\begin{aligned}&(3a+3b)-(\dfrac{2}{3}a+\dfrac{4}{3}b)\\=&3a+3b-\dfrac{2}{3}a-\dfrac{4}{3}b\\=&\dfrac{7}{3}a+\dfrac{5}{3}b\end{aligned}$
答：中途进来的游客有$(\dfrac{7}{3}a+\dfrac{5}{3}b)$人。
(3) 把$a=3$，$b=9$代入$\dfrac{7}{3}a+\dfrac{5}{3}b$，得：
$\dfrac{7}{3}×3+\dfrac{5}{3}×9=7+15=22$
答：中途进来的游客有22人。
(1) 此时间段内馆内不变的游客人数为：
$(1-\dfrac{1}{3})(a+2b)=\dfrac{2}{3}(a+2b)=\dfrac{2}{3}a+\dfrac{4}{3}b$
答：此时间段内馆内不变的游客有$(\dfrac{2}{3}a+\dfrac{4}{3}b)$人。
(2) 中途进来的游客人数为：
$\begin{aligned}&(3a+3b)-(\dfrac{2}{3}a+\dfrac{4}{3}b)\\=&3a+3b-\dfrac{2}{3}a-\dfrac{4}{3}b\\=&\dfrac{7}{3}a+\dfrac{5}{3}b\end{aligned}$
答：中途进来的游客有$(\dfrac{7}{3}a+\dfrac{5}{3}b)$人。
(3) 把$a=3$，$b=9$代入$\dfrac{7}{3}a+\dfrac{5}{3}b$，得：
$\dfrac{7}{3}×3+\dfrac{5}{3}×9=7+15=22$
答：中途进来的游客有22人。
解析
【分析】
(1) 馆内不变的游客即开馆进入后未中途离开的游客，已知开馆进入总人数为$(a+2b)$人，中途有$\frac{1}{3}$离开，因此未离开的人数占开馆总人数的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，用开馆总人数乘未离开的占比即可求出不变的游客人数。
(2) 中途进来的游客人数等于十一点时馆内总游客数减去未离开的游客数，通过整式加减运算，去括号后合并同类项即可得到结果。
(3) 将$a=3$、$b=9$直接代入第(2)问得到的代数式，按照运算顺序计算即可求出中途进来游客的具体数值。
【解析】
(1) 此时间段内馆内不变的游客人数为：
$(1-\dfrac{1}{3})(a+2b)=\dfrac{2}{3}(a+2b)=\dfrac{2}{3}a+\dfrac{4}{3}b$
答：此时间段内馆内不变的游客有$(\dfrac{2}{3}a+\dfrac{4}{3}b)$人。
(2) 中途进来的游客人数为：
$\begin{aligned}&(3a+3b)-(\dfrac{2}{3}a+\dfrac{4}{3}b)\\=&3a+3b-\dfrac{2}{3}a-\dfrac{4}{3}b\\=&\dfrac{7}{3}a+\dfrac{5}{3}b\end{aligned}$
答：中途进来的游客有$(\dfrac{7}{3}a+\dfrac{5}{3}b)$人。
(3) 把$a=3$，$b=9$代入$\dfrac{7}{3}a+\dfrac{5}{3}b$，得：
$\dfrac{7}{3}×3+\dfrac{5}{3}×9=7+15=22$
答：中途进来的游客有22人。
【答案】
(1) $(\dfrac{2}{3}a+\dfrac{4}{3}b)$人
(2) $(\dfrac{7}{3}a+\dfrac{5}{3}b)$人
(3) 22人
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题结合实际场景考察整式的相关应用，解题的核心是准确梳理题目中的数量关系，列出对应代数式，计算时要注意去括号的符号规则以及合并同类项的正确性，代入求值时要保证运算准确。
【难度系数】
0.7
(1) 馆内不变的游客即开馆进入后未中途离开的游客，已知开馆进入总人数为$(a+2b)$人，中途有$\frac{1}{3}$离开，因此未离开的人数占开馆总人数的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，用开馆总人数乘未离开的占比即可求出不变的游客人数。
(2) 中途进来的游客人数等于十一点时馆内总游客数减去未离开的游客数，通过整式加减运算，去括号后合并同类项即可得到结果。
(3) 将$a=3$、$b=9$直接代入第(2)问得到的代数式，按照运算顺序计算即可求出中途进来游客的具体数值。
【解析】
(1) 此时间段内馆内不变的游客人数为：
$(1-\dfrac{1}{3})(a+2b)=\dfrac{2}{3}(a+2b)=\dfrac{2}{3}a+\dfrac{4}{3}b$
答：此时间段内馆内不变的游客有$(\dfrac{2}{3}a+\dfrac{4}{3}b)$人。
(2) 中途进来的游客人数为：
$\begin{aligned}&(3a+3b)-(\dfrac{2}{3}a+\dfrac{4}{3}b)\\=&3a+3b-\dfrac{2}{3}a-\dfrac{4}{3}b\\=&\dfrac{7}{3}a+\dfrac{5}{3}b\end{aligned}$
答：中途进来的游客有$(\dfrac{7}{3}a+\dfrac{5}{3}b)$人。
(3) 把$a=3$，$b=9$代入$\dfrac{7}{3}a+\dfrac{5}{3}b$，得：
$\dfrac{7}{3}×3+\dfrac{5}{3}×9=7+15=22$
答：中途进来的游客有22人。
【答案】
(1) $(\dfrac{2}{3}a+\dfrac{4}{3}b)$人
(2) $(\dfrac{7}{3}a+\dfrac{5}{3}b)$人
(3) 22人
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题结合实际场景考察整式的相关应用，解题的核心是准确梳理题目中的数量关系，列出对应代数式，计算时要注意去括号的符号规则以及合并同类项的正确性，代入求值时要保证运算准确。
【难度系数】
0.7
5. 已知整式$M=x^2 - 2x$.
(1)当$x=-1$时,求整式$M$的值;
(2)若整式$M$比整式$N$大$-(x^2 +1)$,求整式$N$.
(1)当$x=-1$时,求整式$M$的值;
(2)若整式$M$比整式$N$大$-(x^2 +1)$,求整式$N$.
答案
解：
(1) 当$x=-1$时，
$M=(-1)^2 - 2×(-1)$
$=1 + 2$
$=3$
(2) 由题意可得：$M - N = -(x^2 + 1)$，
则$N = M + (x^2 + 1)$，
把$M=x^2 - 2x$代入得：
$N = x^2 - 2x + x^2 + 1$
$=2x^2 - 2x + 1$
(1) 当$x=-1$时，
$M=(-1)^2 - 2×(-1)$
$=1 + 2$
$=3$
(2) 由题意可得：$M - N = -(x^2 + 1)$，
则$N = M + (x^2 + 1)$，
把$M=x^2 - 2x$代入得：
$N = x^2 - 2x + x^2 + 1$
$=2x^2 - 2x + 1$
解析
【分析】
（1）第一问属于代数式求值问题，解题思路是直接将给定的$x$的取值代入整式$M$中，按照有理数的运算规则计算即可，计算时要注意负数乘方、负数乘法的符号规则，避免符号出错。
（2）第二问是整式的加减应用，首先要根据“$M$比$N$大$-(x^2+1)$”的数量关系列出等式$M-N=-(x^2+1)$，再通过移项得到$N$的表达式，最后把$M$的式子代入，合并同类项就能求出整式$N$，移项时要注意符号变化，合并同类项要遵循“同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”的规则。
【解析】
(1) 当$x=-1$时，
将$x=-1$代入$M=x^2 - 2x$得：
$M=(-1)^2 - 2×(-1)$
$=1 + 2$
$=3$
(2) 由题意可得：$M - N = -(x^2 + 1)$，
移项得：$N = M + (x^2 + 1)$，
把$M=x^2 - 2x$代入上式得：
$N = x^2 - 2x + x^2 + 1$
合并同类项得：
$N=2x^2 - 2x + 1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{2x^2 - 2x + 1}$
【知识点】
代数式求值、整式的加减、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，第一问侧重考查代入求值的基本运算能力，只要注意运算符号的处理即可得分；第二问考查根据文字描述列数量关系的能力以及整式加减的运算规则，是巩固整式加减基础的典型习题。
【难度系数】
0.9
（1）第一问属于代数式求值问题，解题思路是直接将给定的$x$的取值代入整式$M$中，按照有理数的运算规则计算即可，计算时要注意负数乘方、负数乘法的符号规则，避免符号出错。
（2）第二问是整式的加减应用，首先要根据“$M$比$N$大$-(x^2+1)$”的数量关系列出等式$M-N=-(x^2+1)$，再通过移项得到$N$的表达式，最后把$M$的式子代入，合并同类项就能求出整式$N$，移项时要注意符号变化，合并同类项要遵循“同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”的规则。
【解析】
(1) 当$x=-1$时，
将$x=-1$代入$M=x^2 - 2x$得：
$M=(-1)^2 - 2×(-1)$
$=1 + 2$
$=3$
(2) 由题意可得：$M - N = -(x^2 + 1)$，
移项得：$N = M + (x^2 + 1)$，
把$M=x^2 - 2x$代入上式得：
$N = x^2 - 2x + x^2 + 1$
合并同类项得：
$N=2x^2 - 2x + 1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{2x^2 - 2x + 1}$
【知识点】
代数式求值、整式的加减、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，第一问侧重考查代入求值的基本运算能力，只要注意运算符号的处理即可得分；第二问考查根据文字描述列数量关系的能力以及整式加减的运算规则，是巩固整式加减基础的典型习题。
【难度系数】
0.9
