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6. 已知一个多项式$(3x^2+ax-y+6)-(-6bx^2-4x+5y-1)$. 若该多项式的值与字母$x$的取值无关,求$a,b$的值.
答案
解：
先对多项式去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}&(3x^2+ax-y+6)-(-6bx^2-4x+5y-1)\\=&3x^2+ax-y+6+6bx^2+4x-5y+1\\=&(3+6b)x^2+(a+4)x-6y+7\end{aligned}$
因为该多项式的值与字母$x$的取值无关，所以所有含$x$的项的系数都为0，可得：
$3+6b=0$，$a+4=0$
解得：$a=-4$，$b=-\dfrac{1}{2}$。
先对多项式去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}&(3x^2+ax-y+6)-(-6bx^2-4x+5y-1)\\=&3x^2+ax-y+6+6bx^2+4x-5y+1\\=&(3+6b)x^2+(a+4)x-6y+7\end{aligned}$
因为该多项式的值与字母$x$的取值无关，所以所有含$x$的项的系数都为0，可得：
$3+6b=0$，$a+4=0$
解得：$a=-4$，$b=-\dfrac{1}{2}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确“多项式的值与x的取值无关”的含义：即无论x取何值，多项式的计算结果都不变，因此所有含有x的项的系数必须为0。解题时第一步先对给定的多项式进行去括号、合并同类项的化简操作，将含x²的项、含x的项分别合并，再令这两类项的系数分别等于0，得到关于a、b的一元一次方程，解方程即可求出a、b的值。
【解析】
先对多项式去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}&(3x^2+ax-y+6)-(-6bx^2-4x+5y-1)\\=&3x^2+ax-y+6+6bx^2+4x-5y+1\\=&(3+6b)x^2+(a+4)x-6y+7\end{aligned}$
因为该多项式的值与字母$x$的取值无关，所以所有含$x$的项的系数都为0，可得：
$3+6b=0$，$a+4=0$
分别解这两个方程：
解$3+6b=0$，移项得$6b=-3$，解得$b=-\dfrac{1}{2}$；
解$a+4=0$，移项得$a=-4$。
【答案】
$a=-4$，$b=-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
整式的加减运算；代数式与字母无关的条件；解一元一次方程
【点评】
本题是整式加减章节的典型题型，核心是理解“多项式的值与某字母无关”等价于该字母的所有次项的系数均为0，解题过程中需要注意去括号时的符号变化，合并同类项时要准确识别同类项。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先要明确“多项式的值与x的取值无关”的含义：即无论x取何值，多项式的计算结果都不变，因此所有含有x的项的系数必须为0。解题时第一步先对给定的多项式进行去括号、合并同类项的化简操作，将含x²的项、含x的项分别合并，再令这两类项的系数分别等于0，得到关于a、b的一元一次方程，解方程即可求出a、b的值。
【解析】
先对多项式去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}&(3x^2+ax-y+6)-(-6bx^2-4x+5y-1)\\=&3x^2+ax-y+6+6bx^2+4x-5y+1\\=&(3+6b)x^2+(a+4)x-6y+7\end{aligned}$
因为该多项式的值与字母$x$的取值无关，所以所有含$x$的项的系数都为0，可得：
$3+6b=0$，$a+4=0$
分别解这两个方程：
解$3+6b=0$，移项得$6b=-3$，解得$b=-\dfrac{1}{2}$；
解$a+4=0$，移项得$a=-4$。
【答案】
$a=-4$，$b=-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
整式的加减运算；代数式与字母无关的条件；解一元一次方程
【点评】
本题是整式加减章节的典型题型，核心是理解“多项式的值与某字母无关”等价于该字母的所有次项的系数均为0，解题过程中需要注意去括号时的符号变化，合并同类项时要准确识别同类项。
【难度系数】
0.8
1. (2025·宁夏)定义:若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字,则这个三位数叫做“极差数”.例如三位数231,因为$3-1=2$,所以它是“极差数”.
【理解定义】
(1)三位数265是不是“极差数”? .
【建模推理】
(2)设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为$a,b,c$,则$a$与$b,c$的关系式为 ;
(3)任意一个“极差数”都能被11整除吗?为什么?
【理解定义】
(1)三位数265是不是“极差数”? .
【建模推理】
(2)设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为$a,b,c$,则$a$与$b,c$的关系式为 ;
(3)任意一个“极差数”都能被11整除吗?为什么?
答案
解：
(1) 三位数265的十位数字是6，个位数字是5，$6-5=1\ne2$，不等于它的百位数字，因此265不是“极差数”。
答案：不是
(2) 根据“极差数”的定义，十位数字减去个位数字的差等于百位数字，可得关系式为$a = b - c$。
答案：$a = b - c$
(3) 任意一个“极差数”都能被11整除，理由如下：
该三位数的数值可表示为$100a + 10b + c$，
将$a = b - c$代入得：
$\begin{aligned}100a + 10b + c&=100(b - c) + 10b + c\\&=100b - 100c + 10b + c\\&=110b - 99c\\&=11(10b - 9c)\end{aligned}$
因为$b$、$c$均为整数，所以$10b - 9c$是整数，因此这个“极差数”是11的倍数，即任意一个“极差数”都能被11整除。
(1) 三位数265的十位数字是6，个位数字是5，$6-5=1\ne2$，不等于它的百位数字，因此265不是“极差数”。
答案：不是
(2) 根据“极差数”的定义，十位数字减去个位数字的差等于百位数字，可得关系式为$a = b - c$。
答案：$a = b - c$
(3) 任意一个“极差数”都能被11整除，理由如下：
该三位数的数值可表示为$100a + 10b + c$，
将$a = b - c$代入得：
$\begin{aligned}100a + 10b + c&=100(b - c) + 10b + c\\&=100b - 100c + 10b + c\\&=110b - 99c\\&=11(10b - 9c)\end{aligned}$
因为$b$、$c$均为整数，所以$10b - 9c$是整数，因此这个“极差数”是11的倍数，即任意一个“极差数”都能被11整除。
解析
【分析】
(1) 判断三位数是否为“极差数”，只需对照定义：先提取该数的十位、个位数字，计算二者的差，再与百位数字比较，若相等则是“极差数”，否则不是。
(2) 直接将“极差数”的文字定义转化为字母表示的等量关系即可。
(3) 要判断“极差数”能否被11整除，首先用含数位数字的代数式表示出这个三位数，再将第(2)问得到的$a=b-c$代入代数式进行化简，若化简结果是11与整数的乘积形式，就说明该数能被11整除。
【解析】
(1) 三位数265的十位数字是6，个位数字是5，计算得$6-5=1$，和百位数字2不相等，因此265不是“极差数”。
(2) 根据“极差数”的定义：十位数字减去个位数字的差等于百位数字，已知百位、十位、个位数字分别为$a,b,c$，可得关系式为$a = b - c$。
(3) 任意一个“极差数”都能被11整除，理由如下：
三位数的数值可表示为$100a + 10b + c$，将$a = b - c$代入该式：
$\begin{aligned}100a + 10b + c&=100(b - c) + 10b + c\\&=100b - 100c + 10b + c\\&=110b - 99c\\&=11(10b - 9c)\end{aligned}$
因为$b$、$c$均为整数，所以$10b - 9c$是整数，因此“极差数”是11的倍数，即任意一个“极差数”都能被11整除。
【答案】
(1) 不是；(2) $a=b-c$；(3) 任意一个“极差数”都能被11整除，理由见解析
【知识点】
新定义理解、代数式表示数、整式化简
【点评】
本题是典型的新定义类考题，核心是准确理解给定的新规则，结合数位的代数表示和整式化简变形解决问题，侧重考察学生的信息提取能力和代数运算应用能力。
【难度系数】
0.75
(1) 判断三位数是否为“极差数”，只需对照定义：先提取该数的十位、个位数字，计算二者的差，再与百位数字比较，若相等则是“极差数”，否则不是。
(2) 直接将“极差数”的文字定义转化为字母表示的等量关系即可。
(3) 要判断“极差数”能否被11整除，首先用含数位数字的代数式表示出这个三位数，再将第(2)问得到的$a=b-c$代入代数式进行化简，若化简结果是11与整数的乘积形式，就说明该数能被11整除。
【解析】
(1) 三位数265的十位数字是6，个位数字是5，计算得$6-5=1$，和百位数字2不相等，因此265不是“极差数”。
(2) 根据“极差数”的定义：十位数字减去个位数字的差等于百位数字，已知百位、十位、个位数字分别为$a,b,c$，可得关系式为$a = b - c$。
(3) 任意一个“极差数”都能被11整除，理由如下：
三位数的数值可表示为$100a + 10b + c$，将$a = b - c$代入该式：
$\begin{aligned}100a + 10b + c&=100(b - c) + 10b + c\\&=100b - 100c + 10b + c\\&=110b - 99c\\&=11(10b - 9c)\end{aligned}$
因为$b$、$c$均为整数，所以$10b - 9c$是整数，因此“极差数”是11的倍数，即任意一个“极差数”都能被11整除。
【答案】
(1) 不是；(2) $a=b-c$；(3) 任意一个“极差数”都能被11整除，理由见解析
【知识点】
新定义理解、代数式表示数、整式化简
【点评】
本题是典型的新定义类考题，核心是准确理解给定的新规则，结合数位的代数表示和整式化简变形解决问题，侧重考察学生的信息提取能力和代数运算应用能力。
【难度系数】
0.75
