2. 若四位数 $ abcd $ 满足 $ a+d=b+c $,则称这样的四位数为“和谐四位数”.例如:四位数2 154,因为 $ 2+4=1+5 $,所以四位数2 154是和谐四位数.
(1)填空:3 122 和谐四位数(填“是”或“不是”);
(2)若 $ M=abcd(d≠0) $ 是和谐四位数,将 $ M $ 的千位数字与个位数字对调,百位数字与十位数字对调后,得到一个新的四位数 $ N $,求证:$ M $ 与 $ N $ 的和一定能被101整除.

解：
(1) 对于四位数3122，a=3，b=1，c=2，d=2，
可得$a+d=3+2=5$，$b+c=1+2=3$，$5≠3$，因此3122 $\underline{不是}$ 和谐四位数。
(2) 证明：
根据四位数的数位表示规则，可得：
$M = 1000a + 100b + 10c + d$
由题意，对调后新四位数$N = 1000d + 100c + 10b + a$
则$M+N$
$=(1000a + 100b + 10c + d) + (1000d + 100c + 10b + a)$
$=1001a + 110b + 110c + 1001d$
$=1001(a+d) + 110(b+c)$
因为$M$是和谐四位数，所以$a+d=b+c$，代入上式得：
$M+N=1001(a+d) + 110(a+d)$
$=1111(a+d)$
$=101×11×(a+d)$
又因为$a$是1~9的正整数，$d≠0$且是1~9的正整数，所以$a+d$是正整数，因此$M+N$是101的正整数倍，即$M$与$N$的和一定能被101整除。

【分析】
（1）第一问直接根据“和谐四位数”的定义，提取四位数对应数位上的数字，分别计算a+d和b+c的值，判断两个值是否相等即可得到结论。
（2）第二问首先依据四位数的数位表示规则，分别写出原四位数M和对调后新四位数N的代数式，再计算两数之和并合并同类项，之后利用和谐四位数“a+d=b+c”的条件代入化简，最后将化简结果变形为含因数101的形式，即可证明整除关系。
【解析】
(1) 对于四位数3122，千位a=3，百位b=1，十位c=2，个位d=2，
计算得$a+d=3+2=5$，$b+c=1+2=3$，因为$5≠3$，不符合和谐四位数的定义，因此3122不是和谐四位数。
(2) 证明：
根据四位数的数位表示规则，可得$M = 1000a + 100b + 10c + d$，
对调后得到的新四位数$N = 1000d + 100c + 10b + a$，
计算两数之和：
$\begin{aligned}M+N&=(1000a + 100b + 10c + d) + (1000d + 100c + 10b + a)\\&=1001a + 110b + 110c + 1001d\\&=1001(a+d) + 110(b+c)\end{aligned}$
因为M是和谐四位数，所以$a+d=b+c$，代入上式得：
$\begin{aligned}M+N&=1001(a+d) + 110(a+d)\\&=1111(a+d)\\&=101×11×(a+d)\end{aligned}$
由于a是1~9的正整数，d≠0且是1~9的正整数，所以$a+d$是正整数，因此$M+N$是101的正整数倍，即M与N的和一定能被101整除。
【答案】
(1) 不是；(2) 证明成立，M与N的和一定能被101整除。
【知识点】
新定义问题、整式的加减、整除判定
【点评】
本题是典型的新定义类题型，核心考查对新概念的理解应用能力，以及整式运算和代数推理能力。解题的关键是准确掌握多位数的数位表示方法，正确代入新定义的条件化简代数式，整体考查方向基础，贴合课标要求。
【难度系数】
0.7

1. 已知$m+n=-2$，$mn=-4$，则整式$2(mn-3m)-3(2n-mn)$的值为（）

A.8
B.-8
C.16
D.-16

B

【分析】
本题是整式化简求值类题目，解题时不需要单独求出m、n的数值，首先应对目标整式进行去括号、合并同类项的化简，将化简后的式子整理为仅含有m+n和mn的形式，再整体代入已知的m+n、mn的数值计算即可。去括号时注意若括号前为负号，括号内各项要变号，合并同类项时要准确识别同类项。
【解析】
首先对整式进行化简：
$\begin{aligned}2(mn-3m)-3(2n-mn)&=2mn - 6m - 6n + 3mn\\&=(2mn+3mn)+(-6m-6n)\\&=5mn - 6(m+n)\end{aligned}$
已知$m+n=-2$，$mn=-4$，将其代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=5×(-4) - 6×(-2)\\&=-20 + 12\\&=-8\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
整式化简，去括号法则，整体代入求值
【点评】
本题考查整式化简求值的基本方法，解题核心是先化简再代入计算，运用整体代入的思想可避免单独求解m、n的繁琐，同时要注意去括号时的符号问题，减少计算失误。
【难度系数】
0.7

2.(2023·沈阳)当$a+b=3$时,代数式$2(a+2b)-(3a+5b)+5$的值为.

$\boldsymbol{2}$

【分析】
遇到这类代数式求值问题，若已知的是两个字母和的整体值，优先先化简代数式：第一步根据去括号法则去掉代数式中的括号，第二步合并同类项将代数式整理为最简形式，观察最简式可转化为含$a+b$的整体结构，最后代入已知条件计算即可得到结果。
【解析】
解：先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}&2(a+2b)-(3a+5b)+5 \\=&2a + 4b - 3a - 5b + 5 \\=&(2a-3a)+(4b-5b)+5 \\=&-a - b +5 \\=&-(a+b)+5\end{aligned}$
已知$a+b=3$，将其整体代入上式得：
原式$=-3 +5=2$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整体代入求值
【点评】
本题是整式化简求值的基础题型，解题核心是正确完成整式的加减运算，灵活运用整体代入思想，无需单独求解$a$、$b$的数值即可得到结果，能够有效考查学生对整式加减运算的掌握程度。
【难度系数】
0.8

3. 先化简,再求值:若$(3-x)^2$与$|y+2|$互为相反数,求$3(2x^2 - 3xy) - 2(3xy - 2y^2) - 3(2x^2 + 3y^2)$的值.

解：
因为$(3-x)^2$与$|y+2|$互为相反数，
所以$(3-x)^2 + |y+2| = 0$，
又因为$(3-x)^2 ≥ 0$，$|y+2| ≥ 0$，
所以$3-x=0$，$y+2=0$，
解得$x=3$，$y=-2$。
化简原式：
$\begin{aligned}&3(2x^2 - 3xy) - 2(3xy - 2y^2) - 3(2x^2 + 3y^2)\\=&6x^2 -9xy -6xy +4y^2 -6x^2 -9y^2\\=&-15xy -5y^2\end{aligned}$
将$x=3$，$y=-2$代入：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-15×3×(-2) -5×(-2)^2\\&=90 - 20\\&=70\end{aligned}$
最终值为$\boldsymbol{70}$。

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据互为相反数的两个数和为0，得到$(3-x)^2 + |y+2|=0$；再结合平方、绝对值的非负性，两个非负数相加得0时每个非负数都为0，即可求出x、y的值。接下来处理待求代数式，按照去括号、合并同类项的规则先化简，再代入x、y的值计算，先化简再求值可以有效减少计算量、降低出错概率。
【解析】
因为$(3-x)^2$与$|y+2|$互为相反数，
所以$(3-x)^2 + |y+2| = 0$，
又因为$(3-x)^2 ≥ 0$，$|y+2| ≥ 0$，
所以$3-x=0$，$y+2=0$，
解得$x=3$，$y=-2$。
化简原式：
$\begin{aligned}&3(2x^2 - 3xy) - 2(3xy - 2y^2) - 3(2x^2 + 3y^2)\\=&6x^2 -9xy -6xy +4y^2 -6x^2 -9y^2\\=&-15xy -5y^2\end{aligned}$
将$x=3$，$y=-2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-15×3×(-2) -5×(-2)^2\\&=90 - 20\\&=70\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{70}$
【知识点】
非负数的性质，整式化简求值，相反数的定义
【点评】
本题综合考查了相反数、非负数的性质以及整式加减运算，解题核心是先利用非负性求出未知数的值，化简整式时要重点注意去括号的符号变化，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7