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1. 在数轴上,点A表示的数是4,点O表示的数是0,点P表示的数是$ p(p≠0) $,定义:点B在线段OP上,如果线段AB的长度有最大值m,则称m为点A与线段OP的“闭距离”.例如:$ p=2 $,当点B与点O重合时,$ m=4 $.若$ p=-2 $,则m的值是 ()
A.2
B.4
C.5
D.6
A.2
B.4
C.5
D.6
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要读懂新定义“闭距离”的含义：点A与线段OP的闭距离是点A到线段OP上所有点的距离的最大值。第一步先确定p=-2时线段OP的两个端点坐标，分别是表示0的点O和表示-2的点P；第二步回忆数轴上两点间距离公式：两点所表示数的差的绝对值就是两点的距离；第三步因为线段上的点到线段外一点的最大距离一定出现在线段的端点处，所以只需计算点A到O、点A到P的距离，取较大值即可得到m。
【解析】
当p=-2时，点P表示的数为-2，线段OP的两个端点分别是表示0的点O和表示-2的点P。
根据数轴上两点距离公式计算：
点A到点O的距离为$\vert 4 - 0\vert=4$；
点A到点P的距离为$\vert 4 - (-2)\vert=\vert 4+2\vert=6$。
因为点B在线段OP上，AB的最大值为两个端点距离的较大值，即6，所以$m=6$。
【答案】
D
【知识点】
数轴两点距离计算、新定义理解、绝对值化简
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是将陌生的“闭距离”概念转化为已学的数轴两点距离知识，解题关键是明确线段上的点到线段外定点的最大距离出现在线段端点处，整体考察对新概念的转化能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要读懂新定义“闭距离”的含义：点A与线段OP的闭距离是点A到线段OP上所有点的距离的最大值。第一步先确定p=-2时线段OP的两个端点坐标，分别是表示0的点O和表示-2的点P；第二步回忆数轴上两点间距离公式：两点所表示数的差的绝对值就是两点的距离；第三步因为线段上的点到线段外一点的最大距离一定出现在线段的端点处，所以只需计算点A到O、点A到P的距离，取较大值即可得到m。
【解析】
当p=-2时，点P表示的数为-2，线段OP的两个端点分别是表示0的点O和表示-2的点P。
根据数轴上两点距离公式计算：
点A到点O的距离为$\vert 4 - 0\vert=4$；
点A到点P的距离为$\vert 4 - (-2)\vert=\vert 4+2\vert=6$。
因为点B在线段OP上，AB的最大值为两个端点距离的较大值，即6，所以$m=6$。
【答案】
D
【知识点】
数轴两点距离计算、新定义理解、绝对值化简
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是将陌生的“闭距离”概念转化为已学的数轴两点距离知识，解题关键是明确线段上的点到线段外定点的最大距离出现在线段端点处，整体考察对新概念的转化能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
2. 对于任意一个四位正整数 $ m=\overline{abcd}(0＜a≤9,0≤b,c,d≤9) $，若千位数字与百位数字差的绝对值等于十位数字与个位数字差的绝对值，那么称这个数为“等差数”. 最小的“等差数”为.
答案
$\boldsymbol{1001}$
解析
【分析】
要找最小的四位“等差数”，遵循“高位数字越小，整个数越小”的原则逐步推导即可：首先确定最高位千位的最小取值，再确定百位的最小取值，算出千位和百位差的绝对值，接着根据“等差数”的定义得到十位和个位差的绝对值的要求，优先让十位取最小可能值，最后确定个位的取值，再验证是否存在更小的符合要求的数即可。
【解析】
1. 四位正整数的千位$a$满足$0＜a≤9$，要让数最小，千位优先取最小的正整数，即$a=1$；
2. 千位确定后，要让数更小，百位$b$尽可能取最小值，最小为0，此时千位与百位差的绝对值为$|1-0|=1$；
3. 根据“等差数”的定义，十位$c$与个位$d$的差的绝对值也要等于1，即$|c-d|=1$；
4. 要让数更小，十位$c$优先取最小值，最小为0，代入$|0-d|=1$，可得$d=1$（数字非负，舍去$d=-1$）；
5. 验证比1001更小的四位正整数最大值1000：$|1-0|=1$，$|0-0|=0$，不相等，不是“等差数”，因此1001是最小的“等差数”。
【答案】
$\boldsymbol{1001}$
【知识点】
新定义理解，绝对值的性质，有理数大小比较
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解新定义的规则，结合整数大小比较的规律，从高到低依次确定每一位的最小可能取值，最后注意验证结果是否符合定义要求即可。
【难度系数】
0.8
要找最小的四位“等差数”，遵循“高位数字越小，整个数越小”的原则逐步推导即可：首先确定最高位千位的最小取值，再确定百位的最小取值，算出千位和百位差的绝对值，接着根据“等差数”的定义得到十位和个位差的绝对值的要求，优先让十位取最小可能值，最后确定个位的取值，再验证是否存在更小的符合要求的数即可。
【解析】
1. 四位正整数的千位$a$满足$0＜a≤9$，要让数最小，千位优先取最小的正整数，即$a=1$；
2. 千位确定后，要让数更小，百位$b$尽可能取最小值，最小为0，此时千位与百位差的绝对值为$|1-0|=1$；
3. 根据“等差数”的定义，十位$c$与个位$d$的差的绝对值也要等于1，即$|c-d|=1$；
4. 要让数更小，十位$c$优先取最小值，最小为0，代入$|0-d|=1$，可得$d=1$（数字非负，舍去$d=-1$）；
5. 验证比1001更小的四位正整数最大值1000：$|1-0|=1$，$|0-0|=0$，不相等，不是“等差数”，因此1001是最小的“等差数”。
【答案】
$\boldsymbol{1001}$
【知识点】
新定义理解，绝对值的性质，有理数大小比较
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解新定义的规则，结合整数大小比较的规律，从高到低依次确定每一位的最小可能取值，最后注意验证结果是否符合定义要求即可。
【难度系数】
0.8
3.《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征. 在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等. 现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”.
定义:对于自然数$n$,在计算$n+(n+1)+(n+2)$时,各数位都不产生进位,则称这个自然数$n$为“纯数”.
例如:32是“纯数”,因为计算$32+33+34$时,各数位都不产生进位;23不是“纯数”,因为计算$23+24+25$时,个位产生了进位.
(1)判断2025是否是“纯数”,请说明理由;
(2)求出不大于100的“纯数”的个数.
定义:对于自然数$n$,在计算$n+(n+1)+(n+2)$时,各数位都不产生进位,则称这个自然数$n$为“纯数”.
例如:32是“纯数”,因为计算$32+33+34$时,各数位都不产生进位;23不是“纯数”,因为计算$23+24+25$时,个位产生了进位.
(1)判断2025是否是“纯数”,请说明理由;
(2)求出不大于100的“纯数”的个数.
答案
解：
(1) 2025不是“纯数”，理由如下：
当n=2025时，n+1=2026，n+2=2027，
计算三个数的个位相加：5+6+7=18，个位相加时产生了进位，
因此2025不是“纯数”。
(2) 分三类讨论：
① 当n是一位自然数时，n+(n+1)+(n+2)=3n+3，
要使各数位不产生进位，需满足3n+3＜10，解得$n＜\frac{7}{3}$，
符合条件的自然数n为0、1、2，共3个“纯数”；
② 当n是两位自然数时，设n的十位数字为a，个位数字为b：
三个数的十位相加为a+a+a=3a，要十位不进位，需3a＜10，正整数a可取1、2、3，共3种选择；
三个数的个位相加为b+(b+1)+(b+2)=3b+3，要个位不进位，需3b+3＜10，解得$b＜\frac{7}{3}$，数字b可取0、1、2，共3种选择；
因此两位的“纯数”共有$3×3=9$个；
③ 当n=100时，计算100+101+102，百位1+1+1=3，十位0+0+0=0，个位0+1+2=3，各数位都不产生进位，100是“纯数”。
综上，不大于100的“纯数”的总个数为$3+9+1=13$。
(1) 2025不是“纯数”，理由如下：
当n=2025时，n+1=2026，n+2=2027，
计算三个数的个位相加：5+6+7=18，个位相加时产生了进位，
因此2025不是“纯数”。
(2) 分三类讨论：
① 当n是一位自然数时，n+(n+1)+(n+2)=3n+3，
要使各数位不产生进位，需满足3n+3＜10，解得$n＜\frac{7}{3}$，
符合条件的自然数n为0、1、2，共3个“纯数”；
② 当n是两位自然数时，设n的十位数字为a，个位数字为b：
三个数的十位相加为a+a+a=3a，要十位不进位，需3a＜10，正整数a可取1、2、3，共3种选择；
三个数的个位相加为b+(b+1)+(b+2)=3b+3，要个位不进位，需3b+3＜10，解得$b＜\frac{7}{3}$，数字b可取0、1、2，共3种选择；
因此两位的“纯数”共有$3×3=9$个；
③ 当n=100时，计算100+101+102，百位1+1+1=3，十位0+0+0=0，个位0+1+2=3，各数位都不产生进位，100是“纯数”。
综上，不大于100的“纯数”的总个数为$3+9+1=13$。
解析
【分析】
首先明确“纯数”的核心定义：计算自然数$n+(n+1)+(n+2)$时，所有数位都不产生进位，才属于纯数。对于第(1)问，直接将$n=2025$代入，验证三个数相加时各数位是否存在进位即可判断；对于第(2)问，因为所求纯数不大于100，可按位数分为一位自然数、两位自然数、$n=100$三类分别讨论，每类都严格按照各数位相加不进位的要求筛选符合条件的数，最后汇总个数即可。
【解析】
(1) 2025不是“纯数”，理由如下：
当$n=2025$时，$n+1=2026$，$n+2=2027$，
计算三个数的个位相加：$5+6+7=18$，个位相加时产生了进位，
因此2025不是“纯数”。
(2) 分三类讨论：
① 当$n$是一位自然数时，$n+(n+1)+(n+2)=3n+3$，
要使各数位不产生进位，需满足$3n+3＜10$，解得$n＜\frac{7}{3}$，
符合条件的自然数$n$为0、1、2，共3个“纯数”；
② 当$n$是两位自然数时，设$n$的十位数字为$a$，个位数字为$b$：
三个数的十位相加为$a+a+a=3a$，要十位不进位，需$3a＜10$，正整数$a$可取1、2、3，共3种选择；
三个数的个位相加为$b+(b+1)+(b+2)=3b+3$，要个位不进位，需$3b+3＜10$，解得$b＜\frac{7}{3}$，数字$b$可取0、1、2，共3种选择；
因此两位的“纯数”共有$3×3=9$个；
③ 当$n=100$时，计算$100+101+102$，百位$1+1+1=3$，十位$0+0+0=0$，个位$0+1+2=3$，各数位都不产生进位，100是“纯数”。
综上，不大于100的“纯数”的总个数为$3+9+1=13$。
【答案】
(1)2025不是“纯数”；(2)13个
【知识点】
新定义问题，有理数加法，分类讨论
【点评】
本题是典型的新定义类题型，解题关键是准确理解“纯数”的定义规则，分类讨论时要注意覆盖所有情况，不要遗漏自然数0和100这两类特殊情况，主要考察对新概念的理解能力和分类逻辑的严谨性。
【难度系数】
0.7
首先明确“纯数”的核心定义：计算自然数$n+(n+1)+(n+2)$时，所有数位都不产生进位，才属于纯数。对于第(1)问，直接将$n=2025$代入，验证三个数相加时各数位是否存在进位即可判断；对于第(2)问，因为所求纯数不大于100，可按位数分为一位自然数、两位自然数、$n=100$三类分别讨论，每类都严格按照各数位相加不进位的要求筛选符合条件的数，最后汇总个数即可。
【解析】
(1) 2025不是“纯数”，理由如下：
当$n=2025$时，$n+1=2026$，$n+2=2027$，
计算三个数的个位相加：$5+6+7=18$，个位相加时产生了进位，
因此2025不是“纯数”。
(2) 分三类讨论：
① 当$n$是一位自然数时，$n+(n+1)+(n+2)=3n+3$，
要使各数位不产生进位，需满足$3n+3＜10$，解得$n＜\frac{7}{3}$，
符合条件的自然数$n$为0、1、2，共3个“纯数”；
② 当$n$是两位自然数时，设$n$的十位数字为$a$，个位数字为$b$：
三个数的十位相加为$a+a+a=3a$，要十位不进位，需$3a＜10$，正整数$a$可取1、2、3，共3种选择；
三个数的个位相加为$b+(b+1)+(b+2)=3b+3$，要个位不进位，需$3b+3＜10$，解得$b＜\frac{7}{3}$，数字$b$可取0、1、2，共3种选择；
因此两位的“纯数”共有$3×3=9$个；
③ 当$n=100$时，计算$100+101+102$，百位$1+1+1=3$，十位$0+0+0=0$，个位$0+1+2=3$，各数位都不产生进位，100是“纯数”。
综上，不大于100的“纯数”的总个数为$3+9+1=13$。
【答案】
(1)2025不是“纯数”；(2)13个
【知识点】
新定义问题，有理数加法，分类讨论
【点评】
本题是典型的新定义类题型，解题关键是准确理解“纯数”的定义规则，分类讨论时要注意覆盖所有情况，不要遗漏自然数0和100这两类特殊情况，主要考察对新概念的理解能力和分类逻辑的严谨性。
【难度系数】
0.7
