4. 已知点P,A,B是数轴上的三个点.若点P到原点的距离等于点A,点B到原点距离的和的一半,则称点P为点A和点B的“关联点”.
(1)已知点A表示2,点B表示-4,下列各数-3,-2,0,3在数轴上所对应的点分别是$P_1$,$P_2$,$P_3$,$P_4$,其中是点A和点B的“关联点”的是;
(2)已知点A表示2,点B表示m,点P为点A和点B的“关联点”,且点P到原点的距离为4,求m的值;
(3)已知点A表示a,将点A沿数轴正方向移动4个单位长度,得到点B.当点P为点A和点B的“关联点”时,直接写出$PB-PA$的最大值和最小值.

解：
(1) 点A到原点的距离为$|2|=2$，点B到原点的距离为$|-4|=4$，
根据“关联点”定义，关联点到原点的距离为$\frac{1}{2}×(2+4)=3$。
$P_1$到原点距离为$|-3|=3$，$P_2$到原点距离为$|-2|=2$，$P_3$到原点距离为$|0|=0$，$P_4$到原点距离为$|3|=3$，
因此是点A和点B的“关联点”的是$P_1,P_4$。
(2) 根据“关联点”定义，可得：
$4=\frac{1}{2}(|2|+|m|)$
两边同乘2得：$8=2+|m|$
整理得$|m|=6$
解得$m=6$或$m=-6$。
(3) $PB-PA$的最大值为4，最小值为-4。

【分析】
解题思路：
(1) 先根据“关联点”的定义，先计算点A、B到原点的距离之和，再取一半得到关联点到原点的距离，随后分别计算四个P点到原点的距离，和所得数值相等的即为关联点。
(2) 已知P到原点距离为4，根据“关联点”定义列关于m的绝对值方程，解绝对值方程即可得到m的取值。
(3) 先根据点的平移规律得到点B表示的数为$a+4$，再结合“关联点”定义得到P到原点的距离表达式，结合数轴上两点距离的计算规则，分情况讨论P的位置，即可求出$PB-PA$的最值。
【解析】
(1) 点A到原点的距离为$|2|=2$，点B到原点的距离为$|-4|=4$，
根据“关联点”的定义，关联点到原点的距离为$\frac{1}{2}×(2+4)=3$。
分别计算各点到原点的距离：
$P_1$到原点距离为$|-3|=3$，符合要求；
$P_2$到原点距离为$|-2|=2$，不符合要求；
$P_3$到原点距离为$|0|=0$，不符合要求；
$P_4$到原点距离为$|3|=3$，符合要求；
因此是点A和点B的“关联点”的是$P_1,P_4$。
(2) 根据“关联点”定义可得：
点P到原点的距离 = $\frac{1}{2}$(点A到原点的距离 + 点B到原点的距离)
代入已知条件$|P|=4$，$|A|=|2|=2$，$|B|=|m|$，得：
$4=\frac{1}{2}(|2|+|m|)$
两边同乘2得：$8=2+|m|$
整理得$|m|=6$
根据绝对值的性质，解得$m=6$或$m=-6$。
(3) 已知点A表示a，沿数轴正方向移动4个单位得到点B，故点B表示的数为$a+4$。
根据关联点定义，点P到原点的距离$|p|=\frac{1}{2}(|a| + |a+4|)$（p为点P表示的数）。
结合数轴上两点距离的几何意义，分情况计算$PB-PA$：
当$p≤a$时，$PB-PA=(a+4-p)-(a-p)=4$；
当$a＜p＜a+4$时，$PB-PA$的取值范围在-4到4之间；
当$p≥a+4$时，$PB-PA=(p-a-4)-(p-a)=-4$；
因此$PB-PA$的最大值为4，最小值为-4。
【答案】
(1) $P_1,P_4$；(2) $m=6$或$m=-6$；(3) 最大值为4，最小值为-4
【知识点】
1. 绝对值的性质 2. 新定义问题 3. 数轴距离计算
【点评】
本题以新定义“关联点”为载体，考查数轴和绝对值的相关应用，解题的核心是准确理解新定义的内涵，将新定义规则转化为熟悉的绝对值运算或数轴距离问题，第三问可通过分类讨论或绝对值的几何意义简化计算，能有效考查信息提取能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6