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5. (2024·河南)如图19,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-2,0),点E在边CD上。将△BCE沿BE折叠,点C落在点F处。若点F的坐标为(0,6),则点E的坐标为。
答案
解：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AB=BC=CD=DA$，$∠ A=∠ C=90°$。
由折叠性质得：$BF=BC$，$EF=EC$。
已知$A(-2,0)$，$F(0,6)$，设点$B$的坐标为$(x,0)$，
则$AB = x - (-2) = x + 2$，$BF = \sqrt{x^2 + 6^2}$。
∵ $BF=BC=AB$，
∴ $\sqrt{x^2 + 36} = x + 2$，
两边平方得：$x^2 + 36 = x^2 + 4x + 4$，
解得$x=8$，即$B(8,0)$。
∴ 正方形边长$AB=8 - (-2)=10$，
∴ 点$C$坐标为$(8,10)$，边$CD$在直线$y=10$上。
设点$E$的坐标为$(e,10)$，
则$EC = 8 - e$，$EF = \sqrt{e^2 + (10 - 6)^2} = \sqrt{e^2 + 16}$。
∵ $EF=EC$，
∴ $\sqrt{e^2 + 16} = 8 - e$，
两边平方得：$e^2 + 16 = 64 - 16e + e^2$，
解得$e=3$。
∴ 点$E$的坐标为$\boldsymbol{(3,10)}$。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AB=BC=CD=DA$，$∠ A=∠ C=90°$。
由折叠性质得：$BF=BC$，$EF=EC$。
已知$A(-2,0)$，$F(0,6)$，设点$B$的坐标为$(x,0)$，
则$AB = x - (-2) = x + 2$，$BF = \sqrt{x^2 + 6^2}$。
∵ $BF=BC=AB$，
∴ $\sqrt{x^2 + 36} = x + 2$，
两边平方得：$x^2 + 36 = x^2 + 4x + 4$，
解得$x=8$，即$B(8,0)$。
∴ 正方形边长$AB=8 - (-2)=10$，
∴ 点$C$坐标为$(8,10)$，边$CD$在直线$y=10$上。
设点$E$的坐标为$(e,10)$，
则$EC = 8 - e$，$EF = \sqrt{e^2 + (10 - 6)^2} = \sqrt{e^2 + 16}$。
∵ $EF=EC$，
∴ $\sqrt{e^2 + 16} = 8 - e$，
两边平方得：$e^2 + 16 = 64 - 16e + e^2$，
解得$e=3$。
∴ 点$E$的坐标为$\boldsymbol{(3,10)}$。
解析
【分析】
这是一道结合正方形性质与折叠变换的坐标求解问题，解题思路分两步：第一步先求点B坐标，进而得到正方形边长，确定CD边所在直线的纵坐标：折叠后BF=BC，而正方形中BC=AB，所以可设B点横坐标为x，利用勾股定理表示出BF的长度，再结合BF=AB列方程求解得到B点坐标，算出正方形边长；第二步求E点坐标：E在CD上，所以E的纵坐标等于正方形边长，设E的横坐标为e，利用折叠性质EF=EC，再次用勾股定理分别表示EF和EC的长度，列方程求解即可得到E的横坐标，最终得到E点坐标。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AB=BC=CD=DA$，$∠ A=∠ C=90°$。
由折叠性质得：$BF=BC$，$EF=EC$。
已知$A(-2,0)$，$F(0,6)$，设点$B$的坐标为$(x,0)$，
则$AB = x - (-2) = x + 2$，$BF = \sqrt{x^2 + 6^2}$。
∵ $BF=BC=AB$，
∴ $\sqrt{x^2 + 36} = x + 2$，
两边平方得：$x^2 + 36 = x^2 + 4x + 4$，
解得$x=8$，即$B(8,0)$。
∴ 正方形边长$AB=8 - (-2)=10$，
∴ 点$C$坐标为$(8,10)$，边$CD$在直线$y=10$上。
设点$E$的坐标为$(e,10)$，
则$EC = 8 - e$，$EF = \sqrt{e^2 + (10 - 6)^2} = \sqrt{e^2 + 16}$。
∵ $EF=EC$，
∴ $\sqrt{e^2 + 16} = 8 - e$，
两边平方得：$e^2 + 16 = 64 - 16e + e^2$，
解得$e=3$。
∴ 点$E$的坐标为$\boldsymbol{(3,10)}$。
【答案】
$(3,10)$
【知识点】
正方形的性质；折叠的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题将图形折叠变换与平面直角坐标系结合，核心是利用折叠前后对应边相等的性质，结合勾股定理构造方程求解，考查了数形结合思想与方程思想的应用，是几何与坐标结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
这是一道结合正方形性质与折叠变换的坐标求解问题，解题思路分两步：第一步先求点B坐标，进而得到正方形边长，确定CD边所在直线的纵坐标：折叠后BF=BC，而正方形中BC=AB，所以可设B点横坐标为x，利用勾股定理表示出BF的长度，再结合BF=AB列方程求解得到B点坐标，算出正方形边长；第二步求E点坐标：E在CD上，所以E的纵坐标等于正方形边长，设E的横坐标为e，利用折叠性质EF=EC，再次用勾股定理分别表示EF和EC的长度，列方程求解即可得到E的横坐标，最终得到E点坐标。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AB=BC=CD=DA$，$∠ A=∠ C=90°$。
由折叠性质得：$BF=BC$，$EF=EC$。
已知$A(-2,0)$，$F(0,6)$，设点$B$的坐标为$(x,0)$，
则$AB = x - (-2) = x + 2$，$BF = \sqrt{x^2 + 6^2}$。
∵ $BF=BC=AB$，
∴ $\sqrt{x^2 + 36} = x + 2$，
两边平方得：$x^2 + 36 = x^2 + 4x + 4$，
解得$x=8$，即$B(8,0)$。
∴ 正方形边长$AB=8 - (-2)=10$，
∴ 点$C$坐标为$(8,10)$，边$CD$在直线$y=10$上。
设点$E$的坐标为$(e,10)$，
则$EC = 8 - e$，$EF = \sqrt{e^2 + (10 - 6)^2} = \sqrt{e^2 + 16}$。
∵ $EF=EC$，
∴ $\sqrt{e^2 + 16} = 8 - e$，
两边平方得：$e^2 + 16 = 64 - 16e + e^2$，
解得$e=3$。
∴ 点$E$的坐标为$\boldsymbol{(3,10)}$。
【答案】
$(3,10)$
【知识点】
正方形的性质；折叠的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题将图形折叠变换与平面直角坐标系结合，核心是利用折叠前后对应边相等的性质，结合勾股定理构造方程求解，考查了数形结合思想与方程思想的应用，是几何与坐标结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图20,在菱形ABCD中,对角线AC, BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且$BE=DF$,$OE=OA$。求证:四边形AECF是正方形。
答案
证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD。
∵ BE=DF，
∴ OB - BE = OD - DF，即 OE = OF。
又∵ OA=OC，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
∵ AC⊥BD，即AC⊥EF，
∴ 平行四边形AECF是菱形。
∵ OE=OA，
∴ EF = 2OE，AC = 2OA，
∴ EF = AC。
∴ 菱形AECF是正方形。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD。
∵ BE=DF，
∴ OB - BE = OD - DF，即 OE = OF。
又∵ OA=OC，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
∵ AC⊥BD，即AC⊥EF，
∴ 平行四边形AECF是菱形。
∵ OE=OA，
∴ EF = 2OE，AC = 2OA，
∴ EF = AC。
∴ 菱形AECF是正方形。
解析
【分析】
要证明四边形AECF是正方形，可按照“先证平行四边形，再证菱形，最后证正方形”的逻辑逐步推导：首先利用菱形ABCD的对角线性质，结合已知BE=DF推出四边形AECF的对角线互相平分，判定其为平行四边形；再利用菱形对角线互相垂直的性质，判定该平行四边形为菱形；最后结合OE=OA的条件，推出菱形的对角线相等，即可判定其为正方形。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD。
∵ BE=DF，
∴ OB - BE = OD - DF，即 OE = OF。
又
∵ OA=OC，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
∵ AC⊥BD，即AC⊥EF，
∴ 平行四边形AECF是菱形。
∵ OE=OA，
∴ EF = 2OE，AC = 2OA，
∴ EF = AC。
∴ 菱形AECF是正方形。
【答案】
证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD。
∵ BE=DF，
∴ OB - BE = OD - DF，即 OE = OF。
又
∵ OA=OC，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
∵ AC⊥BD，即AC⊥EF，
∴ 平行四边形AECF是菱形。
∵ OE=OA，
∴ EF = 2OE，AC = 2OA，
∴ EF = AC。
∴ 菱形AECF是正方形。
【知识点】
菱形的性质；平行四边形的判定；正方形的判定
【点评】
本题是特殊四边形判定的典型题型，解题的核心是熟练掌握各类特殊四边形的性质和判定定理，结合图形分析对角线的数量、位置关系，按逻辑顺序逐步推导即可。
【难度系数】
0.7
要证明四边形AECF是正方形，可按照“先证平行四边形，再证菱形，最后证正方形”的逻辑逐步推导：首先利用菱形ABCD的对角线性质，结合已知BE=DF推出四边形AECF的对角线互相平分，判定其为平行四边形；再利用菱形对角线互相垂直的性质，判定该平行四边形为菱形；最后结合OE=OA的条件，推出菱形的对角线相等，即可判定其为正方形。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD。
∵ BE=DF，
∴ OB - BE = OD - DF，即 OE = OF。
又
∵ OA=OC，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
∵ AC⊥BD，即AC⊥EF，
∴ 平行四边形AECF是菱形。
∵ OE=OA，
∴ EF = 2OE，AC = 2OA，
∴ EF = AC。
∴ 菱形AECF是正方形。
【答案】
证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD。
∵ BE=DF，
∴ OB - BE = OD - DF，即 OE = OF。
又
∵ OA=OC，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
∵ AC⊥BD，即AC⊥EF，
∴ 平行四边形AECF是菱形。
∵ OE=OA，
∴ EF = 2OE，AC = 2OA，
∴ EF = AC。
∴ 菱形AECF是正方形。
【知识点】
菱形的性质；平行四边形的判定；正方形的判定
【点评】
本题是特殊四边形判定的典型题型，解题的核心是熟练掌握各类特殊四边形的性质和判定定理，结合图形分析对角线的数量、位置关系，按逻辑顺序逐步推导即可。
【难度系数】
0.7
7. 如图21,在四边形ABCD中,$AC ⊥ BD$,$AC=BD$,$E,F,G,H$分别是四边形ABCD各边的中点。求证：
(1)$EF=FG=GH=EH$；
(2)四边形EFGH是正方形。
(1)$EF=FG=GH=EH$；
(2)四边形EFGH是正方形。
答案
证明：
(1)
∵ E,F分别是AB,AD的中点，
∴ EF是△ABD的中位线，
∴ $EF = \frac{1}{2}BD$。
同理：
G,H分别是CD,BC的中点，可得$GH = \frac{1}{2}BD$；
F,G分别是AD,CD的中点，可得$FG = \frac{1}{2}AC$；
E,H分别是AB,BC的中点，可得$EH = \frac{1}{2}AC$。
∵ $AC = BD$，
∴ $\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD$，
∴ $EF = FG = GH = EH$。
(2)
由三角形中位线的性质可得：$EF // BD$，$EH // AC$，
∵ $AC ⊥ BD$，
∴ $EF ⊥ EH$，即$∠ FEH = 90°$。
又∵ 由(1)得$EF = FG = GH = EH$，
∴ 四边形EFGH是菱形。
∵ 有一个内角为直角的菱形是正方形，
∴ 四边形EFGH是正方形。
(1)
∵ E,F分别是AB,AD的中点，
∴ EF是△ABD的中位线，
∴ $EF = \frac{1}{2}BD$。
同理：
G,H分别是CD,BC的中点，可得$GH = \frac{1}{2}BD$；
F,G分别是AD,CD的中点，可得$FG = \frac{1}{2}AC$；
E,H分别是AB,BC的中点，可得$EH = \frac{1}{2}AC$。
∵ $AC = BD$，
∴ $\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD$，
∴ $EF = FG = GH = EH$。
(2)
由三角形中位线的性质可得：$EF // BD$，$EH // AC$，
∵ $AC ⊥ BD$，
∴ $EF ⊥ EH$，即$∠ FEH = 90°$。
又∵ 由(1)得$EF = FG = GH = EH$，
∴ 四边形EFGH是菱形。
∵ 有一个内角为直角的菱形是正方形，
∴ 四边形EFGH是正方形。
解析
【分析】
解题时首先观察到E、F、G、H为四边形各边中点，可优先考虑三角形中位线定理求解：
(1) 要证四条边相等，可借助中位线的数量性质，将EF、FG、GH、EH分别与AC、BD建立联系，再结合已知AC=BD，即可推导四条边相等；
(2) 要证四边形是正方形，先由(1)中四边相等得四边形为菱形，再借助中位线的平行性质，结合已知AC⊥BD推导菱形有一个内角为直角，即可根据正方形判定定理得证。
【解析】
证明：
(1)
∵ E,F分别是AB,AD的中点，
∴ EF是△ABD的中位线，
∴ $EF = \frac{1}{2}BD$。
同理：
G,H分别是CD,BC的中点，可得$GH = \frac{1}{2}BD$；
F,G分别是AD,CD的中点，可得$FG = \frac{1}{2}AC$；
E,H分别是AB,BC的中点，可得$EH = \frac{1}{2}AC$。
∵ $AC = BD$，
∴ $\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD$，
∴ $EF = FG = GH = EH$。
(2)
由三角形中位线的性质可得：$EF // BD$，$EH // AC$，
∵ $AC ⊥ BD$，
∴ $EF ⊥ EH$，即$∠ FEH = 90°$。
又
∵ 由(1)得$EF = FG = GH = EH$，
∴ 四边形EFGH是菱形。
∵ 有一个内角为直角的菱形是正方形，
∴ 四边形EFGH是正方形。
【答案】
(1) $EF=FG=GH=EH$，得证；
(2) 四边形EFGH是正方形，得证。
（证明过程与解析一致）
【知识点】
三角形中位线定理、菱形的判定、正方形的判定
【点评】
这道题是中点四边形的典型考题，侧重考察三角形中位线性质与特殊四边形判定的综合运用，解题的关键是通过中位线将原四边形的对角线特征转化为中点四边形的边、角特征，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到E、F、G、H为四边形各边中点，可优先考虑三角形中位线定理求解：
(1) 要证四条边相等，可借助中位线的数量性质，将EF、FG、GH、EH分别与AC、BD建立联系，再结合已知AC=BD，即可推导四条边相等；
(2) 要证四边形是正方形，先由(1)中四边相等得四边形为菱形，再借助中位线的平行性质，结合已知AC⊥BD推导菱形有一个内角为直角，即可根据正方形判定定理得证。
【解析】
证明：
(1)
∵ E,F分别是AB,AD的中点，
∴ EF是△ABD的中位线，
∴ $EF = \frac{1}{2}BD$。
同理：
G,H分别是CD,BC的中点，可得$GH = \frac{1}{2}BD$；
F,G分别是AD,CD的中点，可得$FG = \frac{1}{2}AC$；
E,H分别是AB,BC的中点，可得$EH = \frac{1}{2}AC$。
∵ $AC = BD$，
∴ $\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD$，
∴ $EF = FG = GH = EH$。
(2)
由三角形中位线的性质可得：$EF // BD$，$EH // AC$，
∵ $AC ⊥ BD$，
∴ $EF ⊥ EH$，即$∠ FEH = 90°$。
又
∵ 由(1)得$EF = FG = GH = EH$，
∴ 四边形EFGH是菱形。
∵ 有一个内角为直角的菱形是正方形，
∴ 四边形EFGH是正方形。
【答案】
(1) $EF=FG=GH=EH$，得证；
(2) 四边形EFGH是正方形，得证。
（证明过程与解析一致）
【知识点】
三角形中位线定理、菱形的判定、正方形的判定
【点评】
这道题是中点四边形的典型考题，侧重考察三角形中位线性质与特殊四边形判定的综合运用，解题的关键是通过中位线将原四边形的对角线特征转化为中点四边形的边、角特征，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
