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1. (2024·甘肃)如图1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD=60°，AB=2，则AC的长为 ()
A.6
B.5
C.4
D.3
A.6
B.5
C.4
D.3
答案
C
解析
【分析】
解题时先从矩形的性质入手，矩形的对角线相等且互相平分，因此可以得到OA=OB；再结合已知∠ABD=60°，可判定△AOB是等边三角形，进而得到OA的长度，最后根据AC=2OA即可求出AC的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD
∴OA=OB
又
∵∠ABD=60°
∴△AOB是等边三角形
∴OA=AB=2
∴AC=2OA=2×2=4
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础题，将矩形的性质和等边三角形的判定结合考查，解题的关键是熟练掌握矩形对角线相等且互相平分的性质，准确判断出等边三角形即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从矩形的性质入手，矩形的对角线相等且互相平分，因此可以得到OA=OB；再结合已知∠ABD=60°，可判定△AOB是等边三角形，进而得到OA的长度，最后根据AC=2OA即可求出AC的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD
∴OA=OB
又
∵∠ABD=60°
∴△AOB是等边三角形
∴OA=AB=2
∴AC=2OA=2×2=4
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础题，将矩形的性质和等边三角形的判定结合考查，解题的关键是熟练掌握矩形对角线相等且互相平分的性质，准确判断出等边三角形即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 下列命题为假命题的是 ()
A.对角线相等的平行四边形是矩形
B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C.有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D.有一组邻边相等的矩形是正方形
A.对角线相等的平行四边形是矩形
B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C.有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D.有一组邻边相等的矩形是正方形
答案
C
解析
【分析】
这道题考查特殊平行四边形相关命题的真假判断，解题时需先回忆矩形、菱形、正方形的判定定理，再逐一核对每个选项的描述是否符合判定规则，即可找出错误的假命题。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，该命题是真命题，不符合题意；
B. 根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，该命题是真命题，不符合题意；
C. 有一个内角是直角的平行四边形是矩形，若要判定为正方形，还需满足邻边相等等额外条件，因此该命题是假命题，符合题意；
D. 矩形的四个内角均为直角，再有一组邻边相等的话，满足正方形“四边相等、四角为直角”的特征，因此有一组邻边相等的矩形是正方形，该命题是真命题，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的判定；菱形的判定；正方形的判定
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是区分不同特殊平行四边形的判定条件，只要牢记各类特殊平行四边形的判定规则，避免混淆判定要求，就能快速得分。
【难度系数】
0.8
这道题考查特殊平行四边形相关命题的真假判断，解题时需先回忆矩形、菱形、正方形的判定定理，再逐一核对每个选项的描述是否符合判定规则，即可找出错误的假命题。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，该命题是真命题，不符合题意；
B. 根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，该命题是真命题，不符合题意；
C. 有一个内角是直角的平行四边形是矩形，若要判定为正方形，还需满足邻边相等等额外条件，因此该命题是假命题，符合题意；
D. 矩形的四个内角均为直角，再有一组邻边相等的话，满足正方形“四边相等、四角为直角”的特征，因此有一组邻边相等的矩形是正方形，该命题是真命题，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的判定；菱形的判定；正方形的判定
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是区分不同特殊平行四边形的判定条件，只要牢记各类特殊平行四边形的判定规则，避免混淆判定要求，就能快速得分。
【难度系数】
0.8
3. 如图2,一把长5 m的梯子AB斜靠在与地面OC垂直的墙上,P为AB的中点,当梯子的一端A沿墙面AO向下移动,另一端B沿OC向右移动时,OP的长 ()
A.逐渐增大
B.逐渐减小
C.不变
D.先增大,后减小
A.逐渐增大
B.逐渐减小
C.不变
D.先增大,后减小
答案
C
解析
【分析】
解题时先抓住题中的不变条件：墙与地面始终垂直，因此△AOB始终是直角三角形；梯子长度固定，即斜边AB的长度始终为5m；P始终是AB的中点。由此可联想到直角三角形斜边中线的相关性质，通过该性质判断OP的长度变化情况即可。
【解析】
∵ AO与地面OC垂直，
∴ ∠AOB=90°，即△AOB始终为直角三角形。
∵ P为斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴ $ OP=\frac{1}{2}AB $。
已知梯子AB的长度恒为5m，因此OP的长度恒为$ \frac{1}{2}×5=2.5m $，不随梯子的移动发生变化。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是几何性质的实际应用问题，解题的核心是找到移动过程中的不变量，结合对应的几何性质即可快速求解，避免了复杂的动点计算。
【难度系数】
0.8
解题时先抓住题中的不变条件：墙与地面始终垂直，因此△AOB始终是直角三角形；梯子长度固定，即斜边AB的长度始终为5m；P始终是AB的中点。由此可联想到直角三角形斜边中线的相关性质，通过该性质判断OP的长度变化情况即可。
【解析】
∵ AO与地面OC垂直，
∴ ∠AOB=90°，即△AOB始终为直角三角形。
∵ P为斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴ $ OP=\frac{1}{2}AB $。
已知梯子AB的长度恒为5m，因此OP的长度恒为$ \frac{1}{2}×5=2.5m $，不随梯子的移动发生变化。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是几何性质的实际应用问题，解题的核心是找到移动过程中的不变量，结合对应的几何性质即可快速求解，避免了复杂的动点计算。
【难度系数】
0.8
4. 如图3,在正方形ABCD中,E是对角线AC上一点,且AE=AD,连接DE,则∠CDE的度数为 ()
A.$20°$
B.$22.5°$
C.$25°$
D.$30°$
A.$20°$
B.$22.5°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
B
解析
【分析】
解题时先利用正方形的性质确定∠ADC和∠DAC的度数，再结合AE=AD得到等腰△ADE，计算出∠ADE的度数，最后通过∠ADC与∠ADE的差求出∠CDE的度数。具体思考逻辑：1. 正方形对角线平分内角，可得∠DAC=45°，且正方形内角∠ADC=90°；2. 等腰三角形两底角相等，已知△ADE顶角为45°，可求出底角∠ADE的度数；3. 用∠ADC减去∠ADE即可得到所求角的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，对角线AC平分∠BAD，
∴∠DAE=∠DAC=45°，
又
∵AE=AD，
∴△ADE是等腰三角形，
∴∠ADE=∠AED=$\frac{180°-∠DAE}{2}$=$\frac{180°-45°}{2}$=67.5°，
∴∠CDE=∠ADC - ∠ADE=90°-67.5°=22.5°。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，将正方形的角的性质和等腰三角形的角度计算结合考查，熟练掌握特殊几何图形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先利用正方形的性质确定∠ADC和∠DAC的度数，再结合AE=AD得到等腰△ADE，计算出∠ADE的度数，最后通过∠ADC与∠ADE的差求出∠CDE的度数。具体思考逻辑：1. 正方形对角线平分内角，可得∠DAC=45°，且正方形内角∠ADC=90°；2. 等腰三角形两底角相等，已知△ADE顶角为45°，可求出底角∠ADE的度数；3. 用∠ADC减去∠ADE即可得到所求角的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，对角线AC平分∠BAD，
∴∠DAE=∠DAC=45°，
又
∵AE=AD，
∴△ADE是等腰三角形，
∴∠ADE=∠AED=$\frac{180°-∠DAE}{2}$=$\frac{180°-45°}{2}$=67.5°，
∴∠CDE=∠ADC - ∠ADE=90°-67.5°=22.5°。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，将正方形的角的性质和等腰三角形的角度计算结合考查，熟练掌握特殊几何图形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
5. 如图4,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,添加下列四个条件,其中能使菱形ABCD为正方形的是 ()
A.$BD=AB$
B.$AC=AD$
C.$∠ ABC=90°$
D.$OD=AC$
A.$BD=AB$
B.$AC=AD$
C.$∠ ABC=90°$
D.$OD=AC$
答案
C
解析
【分析】
要判定菱形为正方形，需回忆菱形转化为正方形的判定定理：①有一个内角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形。解题时逐个分析选项，判断每个条件是否符合上述两个判定定理即可。
【解析】
解：已知四边形ABCD是菱形，结合正方形的判定逐一分析选项：
选项A：菱形四边相等，即AB=AD，若BD=AB，则AB=AD=BD，△ABD为等边三角形，可得∠BAD=60°，不满足正方形的判定条件，不能判定为正方形，A错误；
选项B：菱形四边相等，即AD=CD，若AC=AD，则AD=CD=AC，△ACD为等边三角形，可得∠ADC=60°，不符合正方形判定条件，B错误；
选项C：菱形属于平行四边形，若∠ABC=90°，则该平行四边形是矩形，同时它又是菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定菱形ABCD为正方形，C正确；
选项D：菱形对角线互相平分，故OD=½BD，若OD=AC，则BD=2AC，不满足对角线相等的判定条件，不能判定为正方形，D错误。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；正方形的判定
【点评】
本题属于特殊平行四边形的概念辨析题，核心考查菱形与正方形的转化条件，解题的关键是熟记菱形判定为正方形的两个核心定理，避免混淆特殊平行四边形的性质和判定。
【难度系数】
0.8
要判定菱形为正方形，需回忆菱形转化为正方形的判定定理：①有一个内角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形。解题时逐个分析选项，判断每个条件是否符合上述两个判定定理即可。
【解析】
解：已知四边形ABCD是菱形，结合正方形的判定逐一分析选项：
选项A：菱形四边相等，即AB=AD，若BD=AB，则AB=AD=BD，△ABD为等边三角形，可得∠BAD=60°，不满足正方形的判定条件，不能判定为正方形，A错误；
选项B：菱形四边相等，即AD=CD，若AC=AD，则AD=CD=AC，△ACD为等边三角形，可得∠ADC=60°，不符合正方形判定条件，B错误；
选项C：菱形属于平行四边形，若∠ABC=90°，则该平行四边形是矩形，同时它又是菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定菱形ABCD为正方形，C正确；
选项D：菱形对角线互相平分，故OD=½BD，若OD=AC，则BD=2AC，不满足对角线相等的判定条件，不能判定为正方形，D错误。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；正方形的判定
【点评】
本题属于特殊平行四边形的概念辨析题，核心考查菱形与正方形的转化条件，解题的关键是熟记菱形判定为正方形的两个核心定理，避免混淆特殊平行四边形的性质和判定。
【难度系数】
0.8
