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6. 如图5,在正方形ABCD中,AC与BD交于点O,OA=1,下列判断错误的是 ()
A.$OA=OB=OC=OD=1$
B.正方形ABCD的周长为$4\sqrt{2}$
C.正方形ABCD的面积为2
D.图中有8个$45°$角,有4个直角
A.$OA=OB=OC=OD=1$
B.正方形ABCD的周长为$4\sqrt{2}$
C.正方形ABCD的面积为2
D.图中有8个$45°$角,有4个直角
答案
D
解析
【分析】
解题时先回忆正方形的核心性质：①对角线互相垂直、平分且相等，对角线平分一组内角，每个内角为90°；②正方形对角线长是边长的√2倍，面积可通过边长或对角线两种方法计算。解题步骤如下：第一步根据OA=1，结合对角线平分的性质判断A选项；第二步由对角线总长计算边长，进而计算周长、面积判断B、C选项；第三步逐一计数45°角和直角的数量，判断D选项，最终找出错误选项。
【解析】
逐个分析选项：
A. 正方形的对角线互相平分且相等，AC与BD交于点O，因此OA=OB=OC=OD，已知OA=1，故OA=OB=OC=OD=1，该选项正确；
B. 由OA=1可得对角线AC=2OA=2，设正方形边长为a，根据正方形对角线与边长的关系$AC=\sqrt{2}a$，代入AC=2解得$a=\sqrt{2}$，因此正方形周长为$4a=4\sqrt{2}$，该选项正确；
C. 正方形面积为$a^2=(\sqrt{2})^2=2$，也可通过对角线公式计算：$S=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×2×2=2$，该选项正确；
D. 计数角度：45°角：正方形每个内角被对角线分为2个45°角，4个内角共8个45°角；直角：除了4个内角是直角，对角线互相垂直，交点O处形成∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOA共4个直角，总计8个直角。因此该选项中“有4个直角”的表述错误。
综上，判断错误的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质；正方形周长与面积计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查对正方形性质的掌握程度，解题时要注意计数角度时不要遗漏对角线相交形成的直角，避免因粗心漏数导致判断错误。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆正方形的核心性质：①对角线互相垂直、平分且相等，对角线平分一组内角，每个内角为90°；②正方形对角线长是边长的√2倍，面积可通过边长或对角线两种方法计算。解题步骤如下：第一步根据OA=1，结合对角线平分的性质判断A选项；第二步由对角线总长计算边长，进而计算周长、面积判断B、C选项；第三步逐一计数45°角和直角的数量，判断D选项，最终找出错误选项。
【解析】
逐个分析选项：
A. 正方形的对角线互相平分且相等，AC与BD交于点O，因此OA=OB=OC=OD，已知OA=1，故OA=OB=OC=OD=1，该选项正确；
B. 由OA=1可得对角线AC=2OA=2，设正方形边长为a，根据正方形对角线与边长的关系$AC=\sqrt{2}a$，代入AC=2解得$a=\sqrt{2}$，因此正方形周长为$4a=4\sqrt{2}$，该选项正确；
C. 正方形面积为$a^2=(\sqrt{2})^2=2$，也可通过对角线公式计算：$S=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×2×2=2$，该选项正确；
D. 计数角度：45°角：正方形每个内角被对角线分为2个45°角，4个内角共8个45°角；直角：除了4个内角是直角，对角线互相垂直，交点O处形成∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOA共4个直角，总计8个直角。因此该选项中“有4个直角”的表述错误。
综上，判断错误的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质；正方形周长与面积计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查对正方形性质的掌握程度，解题时要注意计数角度时不要遗漏对角线相交形成的直角，避免因粗心漏数导致判断错误。
【难度系数】
0.7
7.(2025·自贡)如图6,在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的边长为5,AB边在y轴上,B(0,-2)。若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°,得到正方形A'B'C'D',则点D'的坐标为 ()
A.(-3,5)
B.(5,-3)
C.(-2,5)
D.(5,-2)
A.(-3,5)
B.(5,-3)
C.(-2,5)
D.(5,-2)
答案
A
解析
【分析】
解题时先推导旋转前点D的坐标，再利用点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律计算D'的坐标。第一步结合正方形的性质、AB的位置和B点坐标，先求A点坐标，再根据正方形邻边垂直且相等的特点得到D点坐标；第二步代入旋转坐标变换规则，即可算出D'的坐标。
【解析】
1. 求原正方形中点D的坐标
∵ 正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B点坐标为(0,-2)
∴ A点横坐标为0，纵坐标为$-2+5=3$，即$A(0,3)$
又
∵ 正方形中$AD⊥ AB$，$AD=5$，AB沿y轴方向，因此AD沿x轴正方向
∴ D点纵坐标和A点相同为3，横坐标为$0+5=5$，即原D点坐标为$(5,3)$
2. 求旋转后点D'的坐标
平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点O逆时针旋转90°后，对应点的坐标为$(-y,x)$
将$D(5,3)$代入规律，得$D'$的坐标为$(-3,5)$
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，坐标与图形变化-旋转
【点评】
本题是基础的几何变换类题目，核心是准确求出旋转前对应点的坐标，牢记常见旋转角度的坐标变换规律即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先推导旋转前点D的坐标，再利用点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律计算D'的坐标。第一步结合正方形的性质、AB的位置和B点坐标，先求A点坐标，再根据正方形邻边垂直且相等的特点得到D点坐标；第二步代入旋转坐标变换规则，即可算出D'的坐标。
【解析】
1. 求原正方形中点D的坐标
∵ 正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B点坐标为(0,-2)
∴ A点横坐标为0，纵坐标为$-2+5=3$，即$A(0,3)$
又
∵ 正方形中$AD⊥ AB$，$AD=5$，AB沿y轴方向，因此AD沿x轴正方向
∴ D点纵坐标和A点相同为3，横坐标为$0+5=5$，即原D点坐标为$(5,3)$
2. 求旋转后点D'的坐标
平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点O逆时针旋转90°后，对应点的坐标为$(-y,x)$
将$D(5,3)$代入规律，得$D'$的坐标为$(-3,5)$
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，坐标与图形变化-旋转
【点评】
本题是基础的几何变换类题目，核心是准确求出旋转前对应点的坐标，牢记常见旋转角度的坐标变换规律即可快速解题。
【难度系数】
0.7
8. (2024·攀枝花)如图7,在菱形$ABCD$中,$∠ C=120°$,$DC=4$,E为AB的中点,在对角线BD上有一动点P,则$PA+PE$的最小值为 ()
A.4
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{5}$
A.4
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{5}$
答案
C
解析
【分析】
本题属于几何最短路径问题，可结合菱形的轴对称性转化线段求解。首先回忆将军饮马模型：求直线上一动点到直线同侧两点的线段和最小值时，先作其中一个点关于直线的对称点，将线段和转化为对称点到另一点的线段长度，即为最小值。第一步：菱形的对角线BD是它的一条对称轴，因此点A与点C关于BD对称，可得PA=PC，那么PA+PE就转化为PC+PE；第二步：根据两点之间线段最短，PC+PE的最小值就是线段CE的长度，接下来结合菱形的边长和角度计算CE即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD是菱形的对称轴，点A与点C关于BD对称，
∴$PA = PC$，
∴$PA + PE = PC + PE$，
根据两点之间线段最短可知，当C、P、E三点共线时，$PC+PE$取得最小值，最小值为$CE$的长度。
∵菱形ABCD中，$DC=4$，$∠C=120°$，
∴$BC=AB=DC=4$，$∠ABC + ∠BCD = 180°$，
∴$∠ABC = 180° - 120° = 60°$，
∴△ABC是等边三角形，
∵E为AB的中点，
∴$BE = \frac{1}{2} AB = 2$，$CE⊥AB$，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：
$CE = \sqrt{BC^2 - BE^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，
即$PA+PE$的最小值为$2\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；最短路径问题；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题将特殊四边形的性质与最短路径模型结合考查，解题的关键是利用菱形的轴对称性将待求线段和转化为可直接计算的定长线段，熟练掌握特殊平行四边形的性质和常见几何最值模型是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.6
本题属于几何最短路径问题，可结合菱形的轴对称性转化线段求解。首先回忆将军饮马模型：求直线上一动点到直线同侧两点的线段和最小值时，先作其中一个点关于直线的对称点，将线段和转化为对称点到另一点的线段长度，即为最小值。第一步：菱形的对角线BD是它的一条对称轴，因此点A与点C关于BD对称，可得PA=PC，那么PA+PE就转化为PC+PE；第二步：根据两点之间线段最短，PC+PE的最小值就是线段CE的长度，接下来结合菱形的边长和角度计算CE即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD是菱形的对称轴，点A与点C关于BD对称，
∴$PA = PC$，
∴$PA + PE = PC + PE$，
根据两点之间线段最短可知，当C、P、E三点共线时，$PC+PE$取得最小值，最小值为$CE$的长度。
∵菱形ABCD中，$DC=4$，$∠C=120°$，
∴$BC=AB=DC=4$，$∠ABC + ∠BCD = 180°$，
∴$∠ABC = 180° - 120° = 60°$，
∴△ABC是等边三角形，
∵E为AB的中点，
∴$BE = \frac{1}{2} AB = 2$，$CE⊥AB$，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：
$CE = \sqrt{BC^2 - BE^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，
即$PA+PE$的最小值为$2\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；最短路径问题；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题将特殊四边形的性质与最短路径模型结合考查，解题的关键是利用菱形的轴对称性将待求线段和转化为可直接计算的定长线段，熟练掌握特殊平行四边形的性质和常见几何最值模型是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共18分)
9. 如图8,在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,要使四边形AFDE为菱形,应添加的条件是。(添加一个条件即可)
9. 如图8,在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,要使四边形AFDE为菱形,应添加的条件是。(添加一个条件即可)
答案
$\boldsymbol{AB=AC}$（答案不唯一）
解析
【分析】
解题时首先结合中点条件，利用三角形中位线定理判断四边形AFDE的形状，可知它首先是平行四边形；再根据菱形的判定定理，平行四边形要成为菱形需满足邻边相等或对角线垂直，结合图形中边的对应关系，即可推导出需要添加的条件。
【解析】
解：
∵D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，
∴DE、DF都是△ABC的中位线，
∴DE//AB，且$DE=\frac{1}{2}AB=AF$，DF//AC，且$DF=\frac{1}{2}AC=AE$，
∴四边形AFDE两组对边分别平行，属于平行四边形。
根据菱形的判定规则：一组邻边相等的平行四边形是菱形，
若添加$AB=AC$，则$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC$，即$AF=AE$，
此时平行四边形AFDE的一组邻边相等，满足菱形的判定要求。
（也可添加$∠ B=∠ C$、$AD⊥ BC$等等价条件）
【答案】
$AB=AC$（答案不唯一）
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定
【点评】
本题属于开放型填空题，将三角形中位线性质与特殊四边形的判定结合考查，解题的关键是先确定四边形的基础形状，再结合菱形的判定条件推导所需添加的条件，考查对基础定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合中点条件，利用三角形中位线定理判断四边形AFDE的形状，可知它首先是平行四边形；再根据菱形的判定定理，平行四边形要成为菱形需满足邻边相等或对角线垂直，结合图形中边的对应关系，即可推导出需要添加的条件。
【解析】
解：
∵D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，
∴DE、DF都是△ABC的中位线，
∴DE//AB，且$DE=\frac{1}{2}AB=AF$，DF//AC，且$DF=\frac{1}{2}AC=AE$，
∴四边形AFDE两组对边分别平行，属于平行四边形。
根据菱形的判定规则：一组邻边相等的平行四边形是菱形，
若添加$AB=AC$，则$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC$，即$AF=AE$，
此时平行四边形AFDE的一组邻边相等，满足菱形的判定要求。
（也可添加$∠ B=∠ C$、$AD⊥ BC$等等价条件）
【答案】
$AB=AC$（答案不唯一）
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定
【点评】
本题属于开放型填空题，将三角形中位线性质与特殊四边形的判定结合考查，解题的关键是先确定四边形的基础形状，再结合菱形的判定条件推导所需添加的条件，考查对基础定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图9,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CM 是斜边 AB 的中线,E,F 分别为 MB,BC 的中点,若 EF=2,则 AB=。
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
【分析】
解题时可分两步推导：第一步，观察到E、F分别是MB、BC的中点，可判断EF是△MBC的中位线，利用三角形中位线定理求出CM的长度；第二步，结合直角三角形斜边中线的性质，可知CM等于斜边AB的一半，进而求出AB的长度。
【解析】
∵E为MB的中点，F为BC的中点，
∴EF是△MBC的中位线，
根据三角形中位线定理，可得$EF=\frac{1}{2}CM$，
已知$EF=2$，代入得$CM=2EF=2×2=4$。
又
∵在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，CM是斜边AB的中线，
根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得$CM=\frac{1}{2}AB$，
∴$AB=2CM=2×4=8$。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
三角形中位线定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题关键是准确识别中位线，熟练运用三角形中位线定理和直角三角形的特殊性质，两步推导即可得到结果，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时可分两步推导：第一步，观察到E、F分别是MB、BC的中点，可判断EF是△MBC的中位线，利用三角形中位线定理求出CM的长度；第二步，结合直角三角形斜边中线的性质，可知CM等于斜边AB的一半，进而求出AB的长度。
【解析】
∵E为MB的中点，F为BC的中点，
∴EF是△MBC的中位线，
根据三角形中位线定理，可得$EF=\frac{1}{2}CM$，
已知$EF=2$，代入得$CM=2EF=2×2=4$。
又
∵在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，CM是斜边AB的中线，
根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得$CM=\frac{1}{2}AB$，
∴$AB=2CM=2×4=8$。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
三角形中位线定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题关键是准确识别中位线，熟练运用三角形中位线定理和直角三角形的特殊性质，两步推导即可得到结果，难度较低。
【难度系数】
0.8
11.(2024·常州)如图10,在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于原点O。若点A的坐标是(2,1),则点C的坐标是。
答案
解：∵ 正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O，
∴ 点A与点C关于原点中心对称。
∵ 点A的坐标是(2,1)，
∴ 点C的坐标是(-2,-1)。
∴ 点A与点C关于原点中心对称。
∵ 点A的坐标是(2,1)，
∴ 点C的坐标是(-2,-1)。
解析
【分析】
解题时先结合正方形的性质分析：正方形的对角线互相平分，已知对角线AC、BD交于原点O，可得O是AC的中点，即点A与点C关于原点中心对称。再回忆关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，最后代入点A的坐标即可求出点C的坐标。
【解析】
∵ 正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O，
∴ 点A与点C关于原点中心对称。
∵ 点A的坐标是(2,1)，
∴ 点C的坐标是(-2,-1)。
【答案】
(-2,-1)
【知识点】
正方形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查正方形对角线的性质和平面直角坐标系中点的对称规律，掌握相关性质与坐标变化规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先结合正方形的性质分析：正方形的对角线互相平分，已知对角线AC、BD交于原点O，可得O是AC的中点，即点A与点C关于原点中心对称。再回忆关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，最后代入点A的坐标即可求出点C的坐标。
【解析】
∵ 正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O，
∴ 点A与点C关于原点中心对称。
∵ 点A的坐标是(2,1)，
∴ 点C的坐标是(-2,-1)。
【答案】
(-2,-1)
【知识点】
正方形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查正方形对角线的性质和平面直角坐标系中点的对称规律，掌握相关性质与坐标变化规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
