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12. 已知矩形的一边长为6 cm，一条对角线的长为10 cm，则矩形的面积为 cm²。
答案
$\boldsymbol{48}$
解析
【分析】
解题时首先回忆矩形的核心性质：矩形的四个内角均为直角，因此矩形的相邻两边与对角线可构成直角三角形，其中对角线为斜边。已知一条直角边（边长6cm）和斜边（对角线10cm），可通过勾股定理求出另一条边的长度，最后利用矩形面积公式代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 四边形为矩形，
∴ 矩形的四个内角均为直角，相邻两边与对角线构成直角三角形，且对角线为斜边。
设矩形的另一条边长为$x\,\mathrm{cm}$，
根据勾股定理可得：$x^2 + 6^2 = 10^2$
整理得：$x^2 = 100 - 36 = 64$
∵ 边长为正数，
∴ $x = 8$
∴ 矩形的面积$= 6 × 8 = 48\,\mathrm{cm}^2$
【答案】
$\boldsymbol{48}$
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；矩形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查矩形的基本性质以及勾股定理的简单应用，解题关键是明确矩形相邻边与对角线构成直角三角形，熟练掌握相关性质和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆矩形的核心性质：矩形的四个内角均为直角，因此矩形的相邻两边与对角线可构成直角三角形，其中对角线为斜边。已知一条直角边（边长6cm）和斜边（对角线10cm），可通过勾股定理求出另一条边的长度，最后利用矩形面积公式代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 四边形为矩形，
∴ 矩形的四个内角均为直角，相邻两边与对角线构成直角三角形，且对角线为斜边。
设矩形的另一条边长为$x\,\mathrm{cm}$，
根据勾股定理可得：$x^2 + 6^2 = 10^2$
整理得：$x^2 = 100 - 36 = 64$
∵ 边长为正数，
∴ $x = 8$
∴ 矩形的面积$= 6 × 8 = 48\,\mathrm{cm}^2$
【答案】
$\boldsymbol{48}$
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；矩形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查矩形的基本性质以及勾股定理的简单应用，解题关键是明确矩形相邻边与对角线构成直角三角形，熟练掌握相关性质和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
13. (2025·凉山州)如图11，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，若AC=12，BD=16，则FG的长为。
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
解题时首先从菱形的性质入手，菱形的对角线互相垂直且平分，据此可求出OC、OD的长度，同时得到AC⊥BD；再结合EF⊥BD、EG⊥AC的条件，可判定四边形OGEF是矩形，根据矩形对角线相等的性质，将求FG的长度转化为求OE的长度；最后利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，结合勾股定理求出CD的长度，即可得到FG的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16
∴AC⊥BD，$OC=\frac{1}{2}AC=6$，$OD=\frac{1}{2}BD=8$
在Rt△COD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD
∴∠EGO=∠GOF=∠OFE=90°
∴四边形OGEF是矩形
∴FG=OE（矩形的对角线相等）
又
∵E是CD的中点，△COD是直角三角形
∴OE是Rt△COD斜边CD上的中线
∴$OE=\frac{1}{2}CD=5$
∴FG=5
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
菱形的性质，矩形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题综合考查了特殊平行四边形的性质与直角三角形的性质，解题的关键是通过矩形的性质实现线段的转化，将未知线段FG转化为已知三角形的斜边上的中线，是特殊平行四边形章节的典型考题，熟练掌握相关性质是解题的前提。
【难度系数】
0.65
解题时首先从菱形的性质入手，菱形的对角线互相垂直且平分，据此可求出OC、OD的长度，同时得到AC⊥BD；再结合EF⊥BD、EG⊥AC的条件，可判定四边形OGEF是矩形，根据矩形对角线相等的性质，将求FG的长度转化为求OE的长度；最后利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，结合勾股定理求出CD的长度，即可得到FG的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16
∴AC⊥BD，$OC=\frac{1}{2}AC=6$，$OD=\frac{1}{2}BD=8$
在Rt△COD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD
∴∠EGO=∠GOF=∠OFE=90°
∴四边形OGEF是矩形
∴FG=OE（矩形的对角线相等）
又
∵E是CD的中点，△COD是直角三角形
∴OE是Rt△COD斜边CD上的中线
∴$OE=\frac{1}{2}CD=5$
∴FG=5
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
菱形的性质，矩形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题综合考查了特殊平行四边形的性质与直角三角形的性质，解题的关键是通过矩形的性质实现线段的转化，将未知线段FG转化为已知三角形的斜边上的中线，是特殊平行四边形章节的典型考题，熟练掌握相关性质是解题的前提。
【难度系数】
0.65
14. 如图12,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E为BC的中点,连接EO并延长交AD于点F,∠ABC=60°,BC=2AB。有下列结论:①$AB ⊥ AC$;②$AD=4OE$;③四边形AECF是菱形;④$S_{△ BOE}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}$。其中正确的结论是(填序号)。
答案
解：
1. 验证结论①：
在△ABC中，E为BC中点，BC=2AB，故AB=BE=EC。
由∠ABC=60°，可得△ABE为等边三角形，因此AE=BE=EC。
由AE=EC，得∠EAC=∠ECA，又∠AEB=60°=∠EAC+∠ECA，故∠ECA=30°。
因此∠BAC=180°-∠ABC-∠ECA=90°，即AB⊥AC，①正确。
2. 验证结论②：
平行四边形ABCD中，O为AC中点，又E为BC中点，因此OE是△ABC的中位线，得OE=$\frac{1}{2}$AB。
由平行四边形性质AD=BC，结合BC=2AB，可得AD=2AB=4OE，②正确。
3. 验证结论③：
平行四边形ABCD中，AD//BC，故∠FAO=∠ECO。
又OA=OC，∠AOF=∠COE，因此△AOF≌△COE(ASA)，得AF=EC。
由AF//EC且AF=EC，可知四边形AECF是平行四边形。
由∠BAC=90°，E为BC中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得AE=$\frac{1}{2}$BC=EC。
因此平行四边形AECF邻边相等，四边形AECF是菱形，③正确。
4. 验证结论④：
由O是AC中点，得$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
由E是BC中点，OE是△BOC的中线，得$S_{△ BOE}=\frac{1}{2}S_{△ BOC}$。
因此$S_{△ BOE}=\frac{1}{2} × \frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}$，④正确。
综上，正确的结论是$\boldsymbol{①②③④}$。
1. 验证结论①：
在△ABC中，E为BC中点，BC=2AB，故AB=BE=EC。
由∠ABC=60°，可得△ABE为等边三角形，因此AE=BE=EC。
由AE=EC，得∠EAC=∠ECA，又∠AEB=60°=∠EAC+∠ECA，故∠ECA=30°。
因此∠BAC=180°-∠ABC-∠ECA=90°，即AB⊥AC，①正确。
2. 验证结论②：
平行四边形ABCD中，O为AC中点，又E为BC中点，因此OE是△ABC的中位线，得OE=$\frac{1}{2}$AB。
由平行四边形性质AD=BC，结合BC=2AB，可得AD=2AB=4OE，②正确。
3. 验证结论③：
平行四边形ABCD中，AD//BC，故∠FAO=∠ECO。
又OA=OC，∠AOF=∠COE，因此△AOF≌△COE(ASA)，得AF=EC。
由AF//EC且AF=EC，可知四边形AECF是平行四边形。
由∠BAC=90°，E为BC中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得AE=$\frac{1}{2}$BC=EC。
因此平行四边形AECF邻边相等，四边形AECF是菱形，③正确。
4. 验证结论④：
由O是AC中点，得$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
由E是BC中点，OE是△BOC的中线，得$S_{△ BOE}=\frac{1}{2}S_{△ BOC}$。
因此$S_{△ BOE}=\frac{1}{2} × \frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}$，④正确。
综上，正确的结论是$\boldsymbol{①②③④}$。
解析
【分析】
本题需逐个验证4个结论的正确性，解题思路如下：1. 验证①：结合已知BC=2AB、E是BC中点、∠ABC=60°，先判定△ABE为等边三角形，再通过三角形外角和内角和推导∠BAC的度数，判断是否垂直；2. 验证②：利用平行四边形对角线互相平分得O是AC中点，结合E是BC中点，用三角形中位线定理得到OE和AB的关系，再结合平行四边形对边相等、BC=2AB推导AD和OE的数量关系；3. 验证③：先通过ASA证明△AOF和△COE全等，得到AF和EC平行且相等，判定四边形AECF是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质证邻边相等，判断是否为菱形；4. 验证④：利用三角形中线将三角形面积分为相等的两部分，逐步推导△BOE和△ABC的面积比例。
【解析】
1. 验证结论①：
在△ABC中，E为BC中点，BC=2AB，故AB=BE=EC。
由∠ABC=60°，可得△ABE为等边三角形，因此AE=BE=EC。
由AE=EC，得∠EAC=∠ECA，又∠AEB=60°=∠EAC+∠ECA，故∠ECA=30°。
因此∠BAC=180°-∠ABC-∠ECA=90°，即AB⊥AC，①正确。
2. 验证结论②：
平行四边形ABCD中，对角线互相平分，故O为AC中点，又E为BC中点，因此OE是△ABC的中位线，得OE=$\frac{1}{2}$AB。
由平行四边形性质AD=BC，结合BC=2AB，可得AD=2AB=4OE，②正确。
3. 验证结论③：
平行四边形ABCD中，AD//BC，故∠FAO=∠ECO。
又OA=OC，∠AOF=∠COE，因此△AOF≌△COE(ASA)，得AF=EC。
由AF//EC且AF=EC，可知四边形AECF是平行四边形。
由①得∠BAC=90°，E为BC中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得AE=$\frac{1}{2}$BC=EC。
因此平行四边形AECF邻边相等，故四边形AECF是菱形，③正确。
4. 验证结论④：
由O是AC中点，BO是△ABC的中线，得$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
由E是BC中点，OE是△BOC的中线，得$S_{△ BOE}=\frac{1}{2}S_{△ BOC}$。
因此$S_{△ BOE}=\frac{1}{2} × \frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}$，④正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
平行四边形的性质、菱形的判定、三角形中位线定理
【点评】
本题属于几何综合题，将平行四边形、等边三角形、直角三角形、菱形的性质与判定结合考查，解题时需紧扣已知条件中的特殊角、线段倍数关系、中点等信息，逐一推导验证每个结论，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
本题需逐个验证4个结论的正确性，解题思路如下：1. 验证①：结合已知BC=2AB、E是BC中点、∠ABC=60°，先判定△ABE为等边三角形，再通过三角形外角和内角和推导∠BAC的度数，判断是否垂直；2. 验证②：利用平行四边形对角线互相平分得O是AC中点，结合E是BC中点，用三角形中位线定理得到OE和AB的关系，再结合平行四边形对边相等、BC=2AB推导AD和OE的数量关系；3. 验证③：先通过ASA证明△AOF和△COE全等，得到AF和EC平行且相等，判定四边形AECF是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质证邻边相等，判断是否为菱形；4. 验证④：利用三角形中线将三角形面积分为相等的两部分，逐步推导△BOE和△ABC的面积比例。
【解析】
1. 验证结论①：
在△ABC中，E为BC中点，BC=2AB，故AB=BE=EC。
由∠ABC=60°，可得△ABE为等边三角形，因此AE=BE=EC。
由AE=EC，得∠EAC=∠ECA，又∠AEB=60°=∠EAC+∠ECA，故∠ECA=30°。
因此∠BAC=180°-∠ABC-∠ECA=90°，即AB⊥AC，①正确。
2. 验证结论②：
平行四边形ABCD中，对角线互相平分，故O为AC中点，又E为BC中点，因此OE是△ABC的中位线，得OE=$\frac{1}{2}$AB。
由平行四边形性质AD=BC，结合BC=2AB，可得AD=2AB=4OE，②正确。
3. 验证结论③：
平行四边形ABCD中，AD//BC，故∠FAO=∠ECO。
又OA=OC，∠AOF=∠COE，因此△AOF≌△COE(ASA)，得AF=EC。
由AF//EC且AF=EC，可知四边形AECF是平行四边形。
由①得∠BAC=90°，E为BC中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得AE=$\frac{1}{2}$BC=EC。
因此平行四边形AECF邻边相等，故四边形AECF是菱形，③正确。
4. 验证结论④：
由O是AC中点，BO是△ABC的中线，得$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
由E是BC中点，OE是△BOC的中线，得$S_{△ BOE}=\frac{1}{2}S_{△ BOC}$。
因此$S_{△ BOE}=\frac{1}{2} × \frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}$，④正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
平行四边形的性质、菱形的判定、三角形中位线定理
【点评】
本题属于几何综合题，将平行四边形、等边三角形、直角三角形、菱形的性质与判定结合考查，解题时需紧扣已知条件中的特殊角、线段倍数关系、中点等信息，逐一推导验证每个结论，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共58分)
15. (11分)如图13，P是正方形ABCD内的一点，将△ABP绕点B按顺时针方向旋转到△CBP'的位置，若PB=2，求PP'的长。
15. (11分)如图13，P是正方形ABCD内的一点，将△ABP绕点B按顺时针方向旋转到△CBP'的位置，若PB=2，求PP'的长。
答案
解：
∵ △ABP绕点B按顺时针方向旋转到△CBP'的位置，
∴ BP = BP'，∠ABP = ∠CBP'。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABC = 90°，即∠ABP + ∠PBC = 90°。
∴ ∠CBP' + ∠PBC = ∠PBP' = 90°。
∴ △PBP'是等腰直角三角形。
在Rt△PBP'中，PB = 2，由勾股定理得：
PP' = √(PB² + P'B²) = √(2² + 2²) = 2√2。
∵ △ABP绕点B按顺时针方向旋转到△CBP'的位置，
∴ BP = BP'，∠ABP = ∠CBP'。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABC = 90°，即∠ABP + ∠PBC = 90°。
∴ ∠CBP' + ∠PBC = ∠PBP' = 90°。
∴ △PBP'是等腰直角三角形。
在Rt△PBP'中，PB = 2，由勾股定理得：
PP' = √(PB² + P'B²) = √(2² + 2²) = 2√2。
解析
【分析】
解题时先从已知的旋转条件入手，根据旋转的性质可得对应边BP=BP'、对应角∠ABP=∠CBP'；再结合正方形内角为90°的性质，可推出∠PBP'=90°，从而确定△PBP'是等腰直角三角形；最后在等腰直角三角形中利用勾股定理即可求出PP'的长度。
【解析】
∵ △ABP绕点B按顺时针方向旋转到△CBP'的位置，
∴ BP = BP'，∠ABP = ∠CBP'。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABC = 90°，即∠ABP + ∠PBC = 90°。
∴ ∠CBP' + ∠PBC = ∠PBP' = 90°。
∴ △PBP'是等腰直角三角形。
在Rt△PBP'中，PB = 2，由勾股定理得：
PP' = √(PB² + P'B²) = √(2² + 2²) = 2√2。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
旋转的性质；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是通过旋转的性质和正方形的特征推导出等腰直角三角形，再结合勾股定理求解，解题时要注意旋转前后对应边、对应角相等这一关键性质的运用。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的旋转条件入手，根据旋转的性质可得对应边BP=BP'、对应角∠ABP=∠CBP'；再结合正方形内角为90°的性质，可推出∠PBP'=90°，从而确定△PBP'是等腰直角三角形；最后在等腰直角三角形中利用勾股定理即可求出PP'的长度。
【解析】
∵ △ABP绕点B按顺时针方向旋转到△CBP'的位置，
∴ BP = BP'，∠ABP = ∠CBP'。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABC = 90°，即∠ABP + ∠PBC = 90°。
∴ ∠CBP' + ∠PBC = ∠PBP' = 90°。
∴ △PBP'是等腰直角三角形。
在Rt△PBP'中，PB = 2，由勾股定理得：
PP' = √(PB² + P'B²) = √(2² + 2²) = 2√2。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
旋转的性质；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是通过旋转的性质和正方形的特征推导出等腰直角三角形，再结合勾股定理求解，解题时要注意旋转前后对应边、对应角相等这一关键性质的运用。
【难度系数】
0.8
