16. (11分)如图14,在菱形ABCD中,F是BC边上任意一点,连接AF,交对角线BD于点E,连接EC。求证:AE=CE。

证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = CB，BD平分∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠CBE。
在△ABE和△CBE中，
$\{\begin{array}{l}AB = CB \\∠ABE = ∠CBE \\BE = BE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CBE（SAS），
∴ AE = CE。

【分析】
要证明AE=CE，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先观察图形可知，AE在△ABE中，CE在△CBE中，接下来结合菱形的性质寻找全等条件：菱形的邻边相等，因此AB=CB；菱形的对角线平分一组对角，因此BD平分∠ABC，即∠ABE=∠CBE；再加上两个三角形的公共边BE=BE，即可通过SAS判定△ABE≌△CBE，最后根据全等三角形对应边相等，就能得到AE=CE。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = CB，BD平分∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠CBE。
在△ABE和△CBE中，
$\{\begin{array}{l}AB = CB \\∠ABE = ∠CBE \\BE = BE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CBE（SAS），
∴ AE = CE。
【答案】
AE=CE
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础类几何证明题，解题的关键是熟练掌握菱形的边与对角线的相关性质，准确找到全等三角形的判定条件，掌握这类基础证明方法可以为后续复杂的几何题求解打好基础。
【难度系数】
0.8

17.(12分)(2024·长春)如图15,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,O是边AB的中点,∠AOD=∠BOC。求证:四边形ABCD是矩形。

证明：
∵ O是边AB的中点，
∴ OA = OB。
在△AOD和△BOC中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠B \\OA = OB \\∠AOD = ∠BOC\end{array} $
∴ △AOD ≌ △BOC（ASA）。
∴ AD = BC。
∵ ∠A = ∠B = 90°，
∴ ∠A + ∠B = 180°，
∴ AD // BC。
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
又∵ ∠A = 90°，
∴ 平行四边形ABCD是矩形。

【分析】
要证明四边形ABCD是矩形，可先证明它是平行四边形，再结合已知的直角判定为矩形。首先已知∠A=∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，能推出AD//BC，接下来只需证明AD=BC即可判定平行四边形。结合已知条件：O是AB中点得OA=OB，又有∠A=∠B、∠AOD=∠BOC，可通过ASA证明△AOD≌△BOC，从而得到AD=BC，即可逐步推导得到结论。
【解析】
证明：
∵ O是边AB的中点，
∴ OA = OB。
在△AOD和△BOC中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠B \\OA = OB \\∠AOD = ∠BOC\end{array} $
∴ △AOD ≌ △BOC（ASA）。
∴ AD = BC。
∵ ∠A = ∠B = 90°，
∴ ∠A + ∠B = 180°，
∴ AD // BC。
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
又
∵ ∠A = 90°，
∴ 平行四边形ABCD是矩形。
【答案】
证明：
∵ O是边AB的中点，
∴ OA = OB。
在△AOD和△BOC中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠B \\OA = OB \\∠AOD = ∠BOC\end{array} $
∴ △AOD ≌ △BOC（ASA）。
∴ AD = BC。
∵ ∠A = ∠B = 90°，
∴ ∠A + ∠B = 180°，
∴ AD // BC。
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
又
∵ ∠A = 90°，
∴ 平行四边形ABCD是矩形。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 平行四边形的判定
3. 矩形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是灵活运用全等三角形、平行四边形、矩形的相关判定定理，先通过三角形全等得到对边相等，结合对边平行的条件证得平行四边形，最终推导得到矩形，侧重考查学生的逻辑推理能力和对基础几何定理的掌握程度。
【难度系数】
0.8