18. (12分)(2024·河南)如图16,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,BE//DC交AC的延长线于点E。
(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM,使∠ECM=∠A,且射线CM交BE于点F(保留作图痕迹,不写作法);
(2)证明(1)中得到的四边形CDBF是菱形。

(1) 作图结果
按作一个角等于已知角的基本作图方法，以点C为顶点，CE为一边，在∠ECB内部作出∠ECM=∠A，射线CM交BE于点F，保留完整作图痕迹即可。
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(2) 证明：
在$Rt△ ABC$中，$CD$是斜边$AB$上的中线，
$\therefore CD = AD = BD = \frac{1}{2}AB,$
$\therefore ∠ A = ∠ ACD.$
由作图可知$∠ ECM = ∠ A$，
$\therefore ∠ ECM = ∠ ACD,$
$\therefore CF // AB$（同位角相等，两直线平行），即$CF // DB$。
又$\because BE // DC$，
$\therefore$ 四边形$CDBF$是平行四边形。
又$\because CD = BD$，
$\therefore$ 平行四边形$CDBF$是菱形。

【分析】
(1) 本小问考查作一个角等于已知角的基本尺规作图，解题思路为：以点C为顶点，CE为角的一边，按照“作一个角等于已知角”的标准步骤，在∠ECB内部作出与∠A相等的∠ECM，确保射线CM与BE交于点F，保留所有作图痕迹即可。
(2) 本小问考查菱形的判定，解题思路为：首先利用直角三角形斜边中线的性质得到CD=BD，且推导出∠A=∠ACD；结合作图得到的∠ECM=∠A，可证得CF//AB，结合已知BE//DC，先判定四边形CDBF是平行四边形，再根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可完成证明。
【解析】
(1) 作图：按照作一个角等于已知角的方法，以C为顶点、CE为一边，在∠ECB内部作∠ECM=∠A，射线CM交BE于点F，保留作图痕迹即可。
(2) 证明：
在$Rt△ ABC$中，CD是斜边AB上的中线，
$\therefore CD = AD = BD = \frac{1}{2}AB$，
$\therefore ∠ A = ∠ ACD$。
由作图可知$∠ ECM = ∠ A$，
$\therefore ∠ ECM = ∠ ACD$，
$\therefore CF // AB$（同位角相等，两直线平行），即$CF // DB$。
又$\because BE // DC$，
$\therefore$ 四边形$CDBF$是平行四边形。
又$\because CD = BD$，
$\therefore$ 平行四边形$CDBF$是菱形。
【答案】
(1) 按要求作出对应图形，保留作图痕迹即可；
(2) 四边形CDBF是菱形，证明如上。
【知识点】
作一个角等于已知角；直角三角形斜边中线的性质；菱形的判定
【点评】
本题属于基础综合题，将尺规作图与几何证明相结合，既考查了基本的作图操作能力，又考查了直角三角形性质、平行四边形和菱形的判定定理，要求学生熟练掌握基础几何定理，逻辑清晰地完成推导。
【难度系数】
0.7