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19. (12分)(2025·德阳)在综合与实践活动中,同学们将对学校的一块正方形花园ABCD进行测量规划使用,如图17,点E,F处是它的两个门,且DE=CF,要修建两条直路AF,BE,AF与BE相交于点O(两个门E,F的大小忽略不计)。
(1)请问这两条路是否等长?它们有什么位置关系?说明理由。
(2)同学们测得AD=4米,AE=3米,根据实际需要,某小组同学想在四边形OBCF地上再修一条2.5米长的直路,这条直路的一端在门F处,另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上,并且另一端P与点B处的距离不少于1.5米,请问能否修建成这样的直路?若能,能修建几条?请说明理由。
(1)请问这两条路是否等长?它们有什么位置关系?说明理由。
(2)同学们测得AD=4米,AE=3米,根据实际需要,某小组同学想在四边形OBCF地上再修一条2.5米长的直路,这条直路的一端在门F处,另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上,并且另一端P与点B处的距离不少于1.5米,请问能否修建成这样的直路?若能,能修建几条?请说明理由。
答案
解：(1) AF与BE等长且互相垂直，理由如下：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD=CD，∠BAD=∠D=90°，
∵ DE=CF，
∴ AD-DE=CD-CF，即AE=DF，
在△ABE和△DAF中，
$\{\begin{array}{l}AB=DA \\∠BAE=∠D \\AE=DF\end{array} $
∴ △ABE ≌ △DAF（SAS），
∴ BE=AF，∠ABE=∠DAF，
∵ ∠ABE + ∠AEB = 90°，
∴ ∠DAF + ∠AEB = 90°，
∴ ∠AOE=90°，即BE⊥AF。
(2) 能修建成这样的直路，能修建1条，理由如下：
∵ 正方形ABCD中，AD=AB=4米，AE=3米，∠BAD=90°，
∴ $BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$米，
由$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AB· AE=\frac{1}{2}BE· AO$，得$AO=\frac{4×3}{5}=2.4$米，
∴ $OE=\sqrt{AE^2-AO^2}=\sqrt{3^2-2.4^2}=1.8$米，
∴ $OB=BE-OE=5-1.8=3.2$米，
∵ AF=BE=5米，
∴ $OF=AF-AO=5-2.4=2.6$米，
又∵ AF⊥BE，即OF⊥OB，
∴ 点F到线段OB的最短距离为OF=2.6米，
∵ 2.5＜2.6，
∴ 线段OB上不存在点P使得FP=2.5米。
当点P在BC上时：
∵ DE=CF，DE=AD-AE=1米，
∴ CF=1米，
在Rt△FCP中，∠C=90°，FP=2.5米，
∴ $PC=\sqrt{FP^2-CF^2}=\sqrt{2.5^2-1^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}\approx2.29$米，
∴ $BP=BC-PC=4-\frac{\sqrt{21}}{2}\approx1.71$米，
∵ 1.71＞1.5，满足点P与点B的距离不少于1.5米的要求，该点在线段BC上，符合条件。
综上，能修建成符合要求的直路，共1条。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD=CD，∠BAD=∠D=90°，
∵ DE=CF，
∴ AD-DE=CD-CF，即AE=DF，
在△ABE和△DAF中，
$\{\begin{array}{l}AB=DA \\∠BAE=∠D \\AE=DF\end{array} $
∴ △ABE ≌ △DAF（SAS），
∴ BE=AF，∠ABE=∠DAF，
∵ ∠ABE + ∠AEB = 90°，
∴ ∠DAF + ∠AEB = 90°，
∴ ∠AOE=90°，即BE⊥AF。
(2) 能修建成这样的直路，能修建1条，理由如下：
∵ 正方形ABCD中，AD=AB=4米，AE=3米，∠BAD=90°，
∴ $BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$米，
由$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AB· AE=\frac{1}{2}BE· AO$，得$AO=\frac{4×3}{5}=2.4$米，
∴ $OE=\sqrt{AE^2-AO^2}=\sqrt{3^2-2.4^2}=1.8$米，
∴ $OB=BE-OE=5-1.8=3.2$米，
∵ AF=BE=5米，
∴ $OF=AF-AO=5-2.4=2.6$米，
又∵ AF⊥BE，即OF⊥OB，
∴ 点F到线段OB的最短距离为OF=2.6米，
∵ 2.5＜2.6，
∴ 线段OB上不存在点P使得FP=2.5米。
当点P在BC上时：
∵ DE=CF，DE=AD-AE=1米，
∴ CF=1米，
在Rt△FCP中，∠C=90°，FP=2.5米，
∴ $PC=\sqrt{FP^2-CF^2}=\sqrt{2.5^2-1^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}\approx2.29$米，
∴ $BP=BC-PC=4-\frac{\sqrt{21}}{2}\approx1.71$米，
∵ 1.71＞1.5，满足点P与点B的距离不少于1.5米的要求，该点在线段BC上，符合条件。
综上，能修建成符合要求的直路，共1条。
解析
【分析】
(1) 要判断AF和BE的长度与位置关系，首先利用正方形的性质得到等边和等角，结合已知DE=CF推导出AE=DF，通过SAS证明△ABE≌△DAF，即可得到对应边相等；再利用全等得到的等角，结合直角三角形两锐角互余的性质，推导得到两条线的夹角为90°，即可得到垂直关系。
(2) 解题时分两种情况讨论：①点P在OB上：先利用勾股定理求出BE的长度，再用面积法求出AO的长，进而得到OF的长度，OF是点F到OB的最短距离，将其与2.5米比较，判断OB上是否存在符合条件的点；②点P在BC上：先求出CF的长度，再利用勾股定理求出PC的长度，进而得到BP的长度，判断BP是否满足不少于1.5米的要求，最终统计符合条件的直路数量。
【解析】
(1) AF与BE等长且互相垂直，理由如下：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD=CD，∠BAD=∠D=90°，
∵ DE=CF，
∴ AD-DE=CD-CF，即AE=DF，
在△ABE和△DAF中，
$\{\begin{array}{l}AB=DA \\∠BAE=∠D \\AE=DF\end{array} $
∴ △ABE ≌ △DAF（SAS），
∴ BE=AF，∠ABE=∠DAF，
∵ ∠ABE + ∠AEB = 90°，
∴ ∠DAF + ∠AEB = 90°，
∴ ∠AOE=90°，即BE⊥AF。
(2) 能修建成这样的直路，能修建1条，理由如下：
∵ 正方形ABCD中，AD=AB=4米，AE=3米，∠BAD=90°，
∴ $BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$米，
由$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AB· AE=\frac{1}{2}BE· AO$，得$AO=\frac{4×3}{5}=2.4$米，
∴ $OE=\sqrt{AE^2-AO^2}=\sqrt{3^2-2.4^2}=1.8$米，
∴ $OB=BE-OE=5-1.8=3.2$米，
∵ AF=BE=5米，
∴ $OF=AF-AO=5-2.4=2.6$米，
又
∵ AF⊥BE，即OF⊥OB，
∴ 点F到线段OB的最短距离为OF=2.6米，
∵ 2.5＜2.6，
∴ 线段OB上不存在点P使得FP=2.5米。
当点P在BC上时：
∵ DE=CF，DE=AD-AE=1米，
∴ CF=1米，
在Rt△FCP中，∠C=90°，FP=2.5米，
∴ $PC=\sqrt{FP^2-CF^2}=\sqrt{2.5^2-1^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}\approx2.29$米，
∴ $BP=BC-PC=4-\frac{\sqrt{21}}{2}\approx1.71$米，
∵ 1.71＞1.5，满足点P与点B的距离不少于1.5米的要求，该点在线段BC上，符合条件。
综上，能修建成符合要求的直路，共1条。
【答案】
(1) AF与BE等长且互相垂直；(2) 能修建成符合要求的直路，共1条。
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题结合实际生活中的花园规划场景，考查了几何核心知识的综合应用，解题时需要灵活运用全等三角形、勾股定理等知识，同时要注意分类讨论所有可能的情况，有助于提升逻辑推理能力和实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要判断AF和BE的长度与位置关系，首先利用正方形的性质得到等边和等角，结合已知DE=CF推导出AE=DF，通过SAS证明△ABE≌△DAF，即可得到对应边相等；再利用全等得到的等角，结合直角三角形两锐角互余的性质，推导得到两条线的夹角为90°，即可得到垂直关系。
(2) 解题时分两种情况讨论：①点P在OB上：先利用勾股定理求出BE的长度，再用面积法求出AO的长，进而得到OF的长度，OF是点F到OB的最短距离，将其与2.5米比较，判断OB上是否存在符合条件的点；②点P在BC上：先求出CF的长度，再利用勾股定理求出PC的长度，进而得到BP的长度，判断BP是否满足不少于1.5米的要求，最终统计符合条件的直路数量。
【解析】
(1) AF与BE等长且互相垂直，理由如下：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD=CD，∠BAD=∠D=90°，
∵ DE=CF，
∴ AD-DE=CD-CF，即AE=DF，
在△ABE和△DAF中，
$\{\begin{array}{l}AB=DA \\∠BAE=∠D \\AE=DF\end{array} $
∴ △ABE ≌ △DAF（SAS），
∴ BE=AF，∠ABE=∠DAF，
∵ ∠ABE + ∠AEB = 90°，
∴ ∠DAF + ∠AEB = 90°，
∴ ∠AOE=90°，即BE⊥AF。
(2) 能修建成这样的直路，能修建1条，理由如下：
∵ 正方形ABCD中，AD=AB=4米，AE=3米，∠BAD=90°，
∴ $BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$米，
由$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AB· AE=\frac{1}{2}BE· AO$，得$AO=\frac{4×3}{5}=2.4$米，
∴ $OE=\sqrt{AE^2-AO^2}=\sqrt{3^2-2.4^2}=1.8$米，
∴ $OB=BE-OE=5-1.8=3.2$米，
∵ AF=BE=5米，
∴ $OF=AF-AO=5-2.4=2.6$米，
又
∵ AF⊥BE，即OF⊥OB，
∴ 点F到线段OB的最短距离为OF=2.6米，
∵ 2.5＜2.6，
∴ 线段OB上不存在点P使得FP=2.5米。
当点P在BC上时：
∵ DE=CF，DE=AD-AE=1米，
∴ CF=1米，
在Rt△FCP中，∠C=90°，FP=2.5米，
∴ $PC=\sqrt{FP^2-CF^2}=\sqrt{2.5^2-1^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}\approx2.29$米，
∴ $BP=BC-PC=4-\frac{\sqrt{21}}{2}\approx1.71$米，
∵ 1.71＞1.5，满足点P与点B的距离不少于1.5米的要求，该点在线段BC上，符合条件。
综上，能修建成符合要求的直路，共1条。
【答案】
(1) AF与BE等长且互相垂直；(2) 能修建成符合要求的直路，共1条。
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题结合实际生活中的花园规划场景，考查了几何核心知识的综合应用，解题时需要灵活运用全等三角形、勾股定理等知识，同时要注意分类讨论所有可能的情况，有助于提升逻辑推理能力和实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
