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3. (2024·泸州)已知四边形ABCD是平行四边形,下列条件中,不能判定$□ ABCD$为矩形的是 ()
A.$∠ A=90°$
B.$∠ B=∠ C$
C.$AC=BD$
D.$AC⊥ BD$
A.$∠ A=90°$
B.$∠ B=∠ C$
C.$AC=BD$
D.$AC⊥ BD$
答案
D
解析
【分析】
首先明确题目已知四边形ABCD是平行四边形，因此判定它为矩形只需满足两个核心条件之一：①有一个内角是直角；②对角线相等。解题时逐一分析每个选项，判断其是否能推出上述两个条件，无法推出的即为不能判定为矩形的选项。
【解析】
结合平行四边形的性质和矩形的判定定理逐一分析选项：
A. 若$∠ A=90°$，根据“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”，可判定$□ ABCD$是矩形，不符合题意；
B. 平行四边形中$AB// CD$，因此$∠ B+∠ C=180°$，若$∠ B=∠ C$，可推出$∠ B=∠ C=90°$，存在直角，可判定$□ ABCD$是矩形，不符合题意；
C. 若$AC=BD$，即平行四边形的对角线相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定$□ ABCD$是矩形，不符合题意；
D. 若$AC⊥ BD$，即平行四边形的对角线互相垂直，根据判定定理，此时$□ ABCD$是菱形，无法判定为矩形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查特殊平行四边形的判定规则，解题的关键是牢记平行四边形框架下矩形和菱形的判定差异，避免混淆对角线对应的判定条件。
【难度系数】
0.8
首先明确题目已知四边形ABCD是平行四边形，因此判定它为矩形只需满足两个核心条件之一：①有一个内角是直角；②对角线相等。解题时逐一分析每个选项，判断其是否能推出上述两个条件，无法推出的即为不能判定为矩形的选项。
【解析】
结合平行四边形的性质和矩形的判定定理逐一分析选项：
A. 若$∠ A=90°$，根据“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”，可判定$□ ABCD$是矩形，不符合题意；
B. 平行四边形中$AB// CD$，因此$∠ B+∠ C=180°$，若$∠ B=∠ C$，可推出$∠ B=∠ C=90°$，存在直角，可判定$□ ABCD$是矩形，不符合题意；
C. 若$AC=BD$，即平行四边形的对角线相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定$□ ABCD$是矩形，不符合题意；
D. 若$AC⊥ BD$，即平行四边形的对角线互相垂直，根据判定定理，此时$□ ABCD$是菱形，无法判定为矩形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查特殊平行四边形的判定规则，解题的关键是牢记平行四边形框架下矩形和菱形的判定差异，避免混淆对角线对应的判定条件。
【难度系数】
0.8
4. 如图14,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,DF//AB,DE//AC,则当∠B=°时,四边形AEDF是矩形。
答案
$\boldsymbol{45}$
解析
【分析】
首先观察四边形AEDF的对边关系：已知DE//AC，DF//AB，根据平行四边形的判定定理，可先确定四边形AEDF是平行四边形。要使平行四边形成为矩形，根据矩形的判定条件，需要有一个内角为直角，即∠BAC=90°。再结合已知AB=AC，可知△ABC是等腰三角形，利用三角形内角和定理即可求出底角∠B的度数。
【解析】
1. 判定平行四边形：
∵ DE//AC，DF//AB，
∴ 四边形AEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
2. 推导矩形需要的条件：
要使平行四边形AEDF是矩形，需满足有一个内角为直角，即∠BAC=90°（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
3. 计算∠B的度数：
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，∠B=∠C。
又
∵ 三角形内角和为180°，即∠B+∠C+∠BAC=180°，
将∠BAC=90°，∠C=∠B代入得：$2∠ B + 90° = 180°$，
解得$∠ B=45°$。
【答案】
$\boldsymbol{45}$
【知识点】
平行四边形的判定，矩形的判定，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是先明确四边形AEDF的初始形状为平行四边形，再结合矩形的判定条件转化为角的要求，最后利用等腰三角形的性质计算角度，熟练掌握特殊四边形的判定和等腰三角形性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先观察四边形AEDF的对边关系：已知DE//AC，DF//AB，根据平行四边形的判定定理，可先确定四边形AEDF是平行四边形。要使平行四边形成为矩形，根据矩形的判定条件，需要有一个内角为直角，即∠BAC=90°。再结合已知AB=AC，可知△ABC是等腰三角形，利用三角形内角和定理即可求出底角∠B的度数。
【解析】
1. 判定平行四边形：
∵ DE//AC，DF//AB，
∴ 四边形AEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
2. 推导矩形需要的条件：
要使平行四边形AEDF是矩形，需满足有一个内角为直角，即∠BAC=90°（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
3. 计算∠B的度数：
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，∠B=∠C。
又
∵ 三角形内角和为180°，即∠B+∠C+∠BAC=180°，
将∠BAC=90°，∠C=∠B代入得：$2∠ B + 90° = 180°$，
解得$∠ B=45°$。
【答案】
$\boldsymbol{45}$
【知识点】
平行四边形的判定，矩形的判定，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是先明确四边形AEDF的初始形状为平行四边形，再结合矩形的判定条件转化为角的要求，最后利用等腰三角形的性质计算角度，熟练掌握特殊四边形的判定和等腰三角形性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5. 如图15，在$□ ABCD$中，$∠ ABC$和$∠ BCD$的平分线相交于点E，$BF// CE$，$CF// BE$。求证：四边形BFCE是矩形。
答案
证明：
∵ $BF// CE$，$CF// BE$，
∴ 四边形BFCE是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB// CD$，
∴ $∠ ABC + ∠ BCD = 180°$。
∵ BE平分$∠ ABC$，CE平分$∠ BCD$，
∴ $∠ EBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ECB = \frac{1}{2}∠ BCD$，
∴ $∠ EBC + ∠ ECB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ BCD) = \frac{1}{2}×180° = 90°$，
∴ $∠ BEC = 180° - (∠ EBC + ∠ ECB) = 90°$。
∴ 平行四边形BFCE是矩形。
∵ $BF// CE$，$CF// BE$，
∴ 四边形BFCE是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB// CD$，
∴ $∠ ABC + ∠ BCD = 180°$。
∵ BE平分$∠ ABC$，CE平分$∠ BCD$，
∴ $∠ EBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ECB = \frac{1}{2}∠ BCD$，
∴ $∠ EBC + ∠ ECB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ BCD) = \frac{1}{2}×180° = 90°$，
∴ $∠ BEC = 180° - (∠ EBC + ∠ ECB) = 90°$。
∴ 平行四边形BFCE是矩形。
解析
【分析】
要证明四边形BFCE是矩形，可按“先判定平行四边形，再证有一个内角为直角”的思路推导：首先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，结合已知BF//CE、CF//BE，可先证四边形BFCE是平行四边形；再利用平行四边形ABCD的同旁内角互补，结合角平分线的性质推出∠BEC=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $BF// CE$，$CF// BE$，
∴ 四边形BFCE是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB// CD$，
∴ $∠ ABC + ∠ BCD = 180°$。
∵ BE平分$∠ ABC$，CE平分$∠ BCD$，
∴ $∠ EBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ECB = \frac{1}{2}∠ BCD$，
∴ $∠ EBC + ∠ ECB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ BCD) = \frac{1}{2}×180° = 90°$，
∴ $∠ BEC = 180° - (∠ EBC + ∠ ECB) = 90°$。
∴ 平行四边形BFCE是矩形。
【答案】
四边形BFCE是矩形，得证。
【知识点】
平行四边形的判定与性质、角平分线的性质、矩形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是掌握矩形的判定定理，理清“先证平行四边形，再证直角”的证明逻辑，结合平行四边形、角平分线的性质推导即可，对基础定理的熟练度是解题的关键。
【难度系数】
0.75
要证明四边形BFCE是矩形，可按“先判定平行四边形，再证有一个内角为直角”的思路推导：首先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，结合已知BF//CE、CF//BE，可先证四边形BFCE是平行四边形；再利用平行四边形ABCD的同旁内角互补，结合角平分线的性质推出∠BEC=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $BF// CE$，$CF// BE$，
∴ 四边形BFCE是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB// CD$，
∴ $∠ ABC + ∠ BCD = 180°$。
∵ BE平分$∠ ABC$，CE平分$∠ BCD$，
∴ $∠ EBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ECB = \frac{1}{2}∠ BCD$，
∴ $∠ EBC + ∠ ECB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ BCD) = \frac{1}{2}×180° = 90°$，
∴ $∠ BEC = 180° - (∠ EBC + ∠ ECB) = 90°$。
∴ 平行四边形BFCE是矩形。
【答案】
四边形BFCE是矩形，得证。
【知识点】
平行四边形的判定与性质、角平分线的性质、矩形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是掌握矩形的判定定理，理清“先证平行四边形，再证直角”的证明逻辑，结合平行四边形、角平分线的性质推导即可，对基础定理的熟练度是解题的关键。
【难度系数】
0.75
1.如果要证明$□ ABCD$为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明 （）
A.AC与BD互相垂直平分
B.$∠ A=∠ B$且$AC=BD$
C.$AB=AD$且$AC=BD$
D.$AB=AD$且$AC⊥ BD$
A.AC与BD互相垂直平分
B.$∠ A=∠ B$且$AC=BD$
C.$AB=AD$且$AC=BD$
D.$AB=AD$且$AC⊥ BD$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先明确已知前提：四边形ABCD已经是平行四边形，而正方形是同时具备矩形、菱形特征的特殊平行四边形，因此我们需要找到能让该平行四边形同时满足矩形判定和菱形判定的条件，再逐一分析各选项即可。
【解析】
我们先明确平行四边形基础上各特殊图形的判定规则：
1. 平行四边形+一组邻边相等=菱形；平行四边形+对角线相等=矩形；
2. 正方形需要同时是矩形和菱形。
逐一分析选项：
A. 平行四边形对角线本来就互相平分，补充“AC、BD互相垂直”仅能判定为菱形，无法证明是正方形，错误；
B. 平行四边形中∠A+∠B=180°，若∠A=∠B则可得∠A=∠B=90°，可判定为矩形，而矩形本身对角线相等，因此补充“AC=BD”仍是仅能判定为矩形，无法证明是正方形，错误；
C. 补充“AB=AD”，可判定该平行四边形为菱形；补充“AC=BD”，可判定该平行四边形为矩形，既是菱形又是矩形的平行四边形是正方形，正确；
D. 补充“AB=AD”和“AC⊥BD”，均只能判定该平行四边形为菱形，无法证明是正方形，错误。
【答案】
C
【知识点】
正方形的判定；平行四边形的性质；特殊平行四边形判定
【点评】
本题核心考查特殊平行四边形的判定逻辑，解题关键是清晰区分平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的从属关系和判定条件，避免混淆不同图形的判定定理即可快速得分。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确已知前提：四边形ABCD已经是平行四边形，而正方形是同时具备矩形、菱形特征的特殊平行四边形，因此我们需要找到能让该平行四边形同时满足矩形判定和菱形判定的条件，再逐一分析各选项即可。
【解析】
我们先明确平行四边形基础上各特殊图形的判定规则：
1. 平行四边形+一组邻边相等=菱形；平行四边形+对角线相等=矩形；
2. 正方形需要同时是矩形和菱形。
逐一分析选项：
A. 平行四边形对角线本来就互相平分，补充“AC、BD互相垂直”仅能判定为菱形，无法证明是正方形，错误；
B. 平行四边形中∠A+∠B=180°，若∠A=∠B则可得∠A=∠B=90°，可判定为矩形，而矩形本身对角线相等，因此补充“AC=BD”仍是仅能判定为矩形，无法证明是正方形，错误；
C. 补充“AB=AD”，可判定该平行四边形为菱形；补充“AC=BD”，可判定该平行四边形为矩形，既是菱形又是矩形的平行四边形是正方形，正确；
D. 补充“AB=AD”和“AC⊥BD”，均只能判定该平行四边形为菱形，无法证明是正方形，错误。
【答案】
C
【知识点】
正方形的判定；平行四边形的性质；特殊平行四边形判定
【点评】
本题核心考查特殊平行四边形的判定逻辑，解题关键是清晰区分平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的从属关系和判定条件，避免混淆不同图形的判定定理即可快速得分。
【难度系数】
0.7
2. 如图16,在正方形ABCD中,E为AD的中点,P为AB上的一个动点,若AB=2,则PE+PC的最小值为 ()
A.$1+2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$2+\sqrt{5}$
D.$\sqrt{13}$
A.$1+2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$2+\sqrt{5}$
D.$\sqrt{13}$
答案
D
解析
【分析】
本题属于“将军饮马”类最短路径问题，解题核心是利用轴对称将同侧两条线段的和转化为异侧两点间的线段长度，结合两点之间线段最短求解。思考步骤如下：1. 确定动点P的运动轨迹是直线AB，定点为E、C，且两点在AB同侧；2. 作其中一个定点关于AB的对称点，将PE转化为与它相等的对称线段，此时PE+PC可转化为对称点到另一定点的折线段和；3. 当三点共线时折线段和最小，即为两点间线段长度，最后用勾股定理计算即可。
【解析】
我们结合轴对称性质与勾股定理求解：
1. 建立平面直角坐标系，设A为坐标原点(0,0)，AB在x轴上，AD在y轴上。已知正方形边长AB=2，因此各点坐标为：B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)；E为AD中点，故E的坐标为(0,1)。
2. 作点E关于直线AB（x轴）的对称点E'，根据轴对称性质，E'坐标为(0,-1)，且对AB上任意点P，都有PE=PE'，因此PE+PC=PE'+PC。
3. 根据两点之间线段最短，当E'、P、C三点共线时，PE'+PC取得最小值，即为线段E'C的长度。
4. 用勾股定理计算E'C的长度：
$E'C = \sqrt{(2 - 0)^2 + [2 - (-1)]^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$
因此PE+PC的最小值为$\sqrt{13}$。
【答案】
D
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题是最短路径问题的典型应用，解题的关键是熟练掌握将军饮马模型的转化思路，通过轴对称将折线段和的最值问题转化为两点间线段长度计算，对模型的熟悉度是解题的核心。
【难度系数】
0.7
本题属于“将军饮马”类最短路径问题，解题核心是利用轴对称将同侧两条线段的和转化为异侧两点间的线段长度，结合两点之间线段最短求解。思考步骤如下：1. 确定动点P的运动轨迹是直线AB，定点为E、C，且两点在AB同侧；2. 作其中一个定点关于AB的对称点，将PE转化为与它相等的对称线段，此时PE+PC可转化为对称点到另一定点的折线段和；3. 当三点共线时折线段和最小，即为两点间线段长度，最后用勾股定理计算即可。
【解析】
我们结合轴对称性质与勾股定理求解：
1. 建立平面直角坐标系，设A为坐标原点(0,0)，AB在x轴上，AD在y轴上。已知正方形边长AB=2，因此各点坐标为：B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)；E为AD中点，故E的坐标为(0,1)。
2. 作点E关于直线AB（x轴）的对称点E'，根据轴对称性质，E'坐标为(0,-1)，且对AB上任意点P，都有PE=PE'，因此PE+PC=PE'+PC。
3. 根据两点之间线段最短，当E'、P、C三点共线时，PE'+PC取得最小值，即为线段E'C的长度。
4. 用勾股定理计算E'C的长度：
$E'C = \sqrt{(2 - 0)^2 + [2 - (-1)]^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$
因此PE+PC的最小值为$\sqrt{13}$。
【答案】
D
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题是最短路径问题的典型应用，解题的关键是熟练掌握将军饮马模型的转化思路，通过轴对称将折线段和的最值问题转化为两点间线段长度计算，对模型的熟悉度是解题的核心。
【难度系数】
0.7
3. 如图17，E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转$90°$得到$△ CBF$，若$∠ ABE=55°$，则$∠ EGC=$$°$。
答案
$\boldsymbol{80}$
解析
【分析】
解题思路：首先结合旋转的性质，可得旋转前后的三角形全等，对应边相等、对应角相等，且旋转角为90°，据此先推出△BEF是等腰直角三角形，得到∠BEF的度数；再利用正方形内角为90°的性质，计算出∠EBC的度数；随后根据三角形内角和定理求出∠BGE的度数，最后利用邻补角的和为180°，即可求出∠EGC的度数。
【解析】
解：
∵将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到△CBF，
∴△ABE≌△CBF，BE=BF，∠ABE=∠CBF=55°，旋转角∠EBF=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴∠BEF=∠BFE=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠EBC=∠ABC - ∠ABE=90° - 55°=35°，
在△BEG中，由三角形内角和为180°可得：
∠BGE=180° - ∠EBC - ∠BEF=180° - 35° - 45°=100°，
∵∠BGE与∠EGC互为邻补角，
∴∠EGC=180° - ∠BGE=180° - 100°=80°。
【答案】
$\boldsymbol{80}$
【知识点】
旋转的性质，正方形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，将旋转、正方形和三角形的性质结合考查，解题的核心是快速抓住旋转得到的全等关系和等腰直角三角形，再依次推导角度即可，需要同学们熟练掌握几何基本性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先结合旋转的性质，可得旋转前后的三角形全等，对应边相等、对应角相等，且旋转角为90°，据此先推出△BEF是等腰直角三角形，得到∠BEF的度数；再利用正方形内角为90°的性质，计算出∠EBC的度数；随后根据三角形内角和定理求出∠BGE的度数，最后利用邻补角的和为180°，即可求出∠EGC的度数。
【解析】
解：
∵将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到△CBF，
∴△ABE≌△CBF，BE=BF，∠ABE=∠CBF=55°，旋转角∠EBF=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴∠BEF=∠BFE=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠EBC=∠ABC - ∠ABE=90° - 55°=35°，
在△BEG中，由三角形内角和为180°可得：
∠BGE=180° - ∠EBC - ∠BEF=180° - 35° - 45°=100°，
∵∠BGE与∠EGC互为邻补角，
∴∠EGC=180° - ∠BGE=180° - 100°=80°。
【答案】
$\boldsymbol{80}$
【知识点】
旋转的性质，正方形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，将旋转、正方形和三角形的性质结合考查，解题的核心是快速抓住旋转得到的全等关系和等腰直角三角形，再依次推导角度即可，需要同学们熟练掌握几何基本性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
4. 如图18,正方形ABCD的边长为1,连接AC,AE平分∠CAD,交BC的延长线于点E,FA⊥AE,交CB的延长线于点F,则EF的长为。
答案
$\boldsymbol{2\sqrt{2}}$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：1. 先利用正方形边长求出对角线AC的长度；2. 结合角平分线定义和平行线的内错角相等，推导∠CAE=∠E，得到CE=AC；3. 根据FA⊥AE的垂直关系，利用同角的余角相等推导∠FAC=∠F，得到FC=AC；4. 最后EF的长度为FC与CE的和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，边长为1，
∴由勾股定理得对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，且$AD// BE$，$∠ DAC=45°$。
∵AE平分$∠ CAD$，
∴$∠ DAE=∠ CAE$。
又
∵$AD// BE$，内错角相等，
∴$∠ DAE=∠ E$，
∴$∠ CAE=∠ E$，
∴$△ ACE$为等腰三角形，$CE=AC=\sqrt{2}$。
∵$FA⊥ AE$，
∴$∠ FAE=90°$，
∴$∠ F + ∠ E=90°$，$∠ FAC + ∠ CAE=90°$，
结合$∠ CAE=∠ E$，可得$∠ FAC=∠ F$，
∴$△ AFC$为等腰三角形，$FC=AC=\sqrt{2}$。
∴$EF=FC + CE=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{2\sqrt{2}}$
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，将特殊四边形性质和等腰三角形判定结合考查，解题的核心是通过角的等量转换得到两条等长的线段，需要学生熟练掌握常见几何图形的性质，具备基本的角的关系推导能力。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路推导：1. 先利用正方形边长求出对角线AC的长度；2. 结合角平分线定义和平行线的内错角相等，推导∠CAE=∠E，得到CE=AC；3. 根据FA⊥AE的垂直关系，利用同角的余角相等推导∠FAC=∠F，得到FC=AC；4. 最后EF的长度为FC与CE的和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，边长为1，
∴由勾股定理得对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，且$AD// BE$，$∠ DAC=45°$。
∵AE平分$∠ CAD$，
∴$∠ DAE=∠ CAE$。
又
∵$AD// BE$，内错角相等，
∴$∠ DAE=∠ E$，
∴$∠ CAE=∠ E$，
∴$△ ACE$为等腰三角形，$CE=AC=\sqrt{2}$。
∵$FA⊥ AE$，
∴$∠ FAE=90°$，
∴$∠ F + ∠ E=90°$，$∠ FAC + ∠ CAE=90°$，
结合$∠ CAE=∠ E$，可得$∠ FAC=∠ F$，
∴$△ AFC$为等腰三角形，$FC=AC=\sqrt{2}$。
∴$EF=FC + CE=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{2\sqrt{2}}$
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，将特殊四边形性质和等腰三角形判定结合考查，解题的核心是通过角的等量转换得到两条等长的线段，需要学生熟练掌握常见几何图形的性质，具备基本的角的关系推导能力。
【难度系数】
0.6
